Зависимость координат точек снимка от координат точек местности

 

     Для вывода формул связи координат точек снимка и местности рассмотрим соответствующий чертеж (рис. 3.4):

X

Z´

X´

XA´-XS´

Z

X´

Z´

S

A

ZA´-ZS´

снимок

xc

a

f

xс

o

α

 

Рис.3.4. К зависимости координат точек снимка от координат точек местности

Поскольку ось Х´ параллельна оси хс, то можно записать отношение подобия

,     

из которого следует

.

Аналогично

и

Выразим   X′, Y′, Z ′ через   X, Y, Z.

Между  этими системами координат существует следующая зависимость:

Очевидно, что такая зависимость будет справедлива и для приращений координат:

,

где Х,У,Z – координаты точки А в системе координат ХУZ.

Отсюда

 Тогда окончательно запишем:

       (3.18)

       (3.19)

Выражениями (3.18), (3.19) решается задача вычисления координат точек снимка по координатам тэтих точек на местности. Их называют уравнениями коллинеарности

  Пример. Пусть

Х=ХА=7771,176 м, У=УА=52385,585м,  f=100,000 мм, Х_s=6426,16 м, Y_s =52346,11 м, Z_s=1654,17 м, ZА=154,16 м,. По формулам (3.18), (3.19) найдем хс, ус..

Задаваясь такими же значениями α=3º, ω=0, κ=0, что и в предыдущее задаче, найдем матрицу Аα, которая в данном случае равна А (3.11). Вычислим знаменатель формул (3.18),(3.19)

-0,0523360(7771,176-6426,16)+0+ 0,998630(154,16-1654,17)=-1568,348.

Тогда получаем

хс=-100,000(0,998630(7771,176-6424,160)+0+0,0523360(154,16-1654,17)/

(-1568,348)=80,637(мм),

ус=-100,000(0+ 1(52385,585-52346,11)+0)/(-1568,348)=2,517(мм).

Как видим, результат абсолютно совпал с исходными данными числового примера парагрвфа 3.1

Задача 3.3. Решить обратную к задаче 3.1. По известным координатам точки местности вычислить соответствующие ей координаты на снимке. Исходными принять данные к задаче 3.1 и результаты ее решения.

Масштаб снимка

       В общем случае  масштаб снимка зависит от углов его наклона и рельефа местности. Однако исследование его масштаба в зависимости от одного угла наклона, например, от продольного – α, имеет также практический интерес. В этом случае можно определить допуски на углы наклона, при которых снимком можно пользоваться как горизонтальным и при которых такой снимок можно считать планом для тех или иных целей.

В случае одного угла наклона снимка центральная проекция имеет вид линейной перспективы (рис. 3.5)

           

Y

T

o

O

c

C

n

N

α

α /2

α

S

T

h

h

i

i

v

v

I

Q

P

E

H

X

x

f

Рис. 3.5. Линейная перспектива

На   рис.3.5 S – центр проекции или точка фотографирования, SO – главный луч, SO = f – фокусное расстояние, Н – высота фотографирования, Е – предметная плоскость, Р – плоскость снимка, О – главная точка снимка как пересечение главного луча со снимком, α – угол наклона снимка (в данном случае только продольный), ТТ – линия основания, Q – плоскость главного вертикала (ее обозначают еще через W), υυ – главная вертикаль как пересечение плоскостей снимка и главного вертикала, hh – главная горизонталь, ii – линия истинного горизонта, I – главная точка схода, N, n – точки стояния (надира) на местности и на снимке.

  Обозначая отрезок изображения на снимке через dl (рис.3.6)как элементарный отрезок, а ему соответствующий  на местности  - dL, запишем формулу  масштаба изображения:

 

                                               (3.20)

 

Рис. 3.6. Элементарный отрезок на снимке

 

 Для придания выводам большей общности примем, что настоящий отрезок  находится под углом  к оси x.

Для упрощения выводов формула (3.20) несколько изменяется:

.                         (3.21)

где dx, dX – дифференциалы координат точки на снимке и на местности

Поскольку

то

где

,

а dX и dY -дифференциалы координат точки местности.

Выразим их через дифференциалы координат на снимке

 Для этого воспользуемся формулами связи координат точек снимка и местности (3.5)

для частного случая,  когда  α=α, ω=0, κ=0

, или

,

z_c=- f,

Тогда

                                                         (3.22)

                                                            (3.23)        

, где Н – высота фотографирования.

Для простоты  дальнейшего изложения примем X_S= Y_S=0, X_A= X, Y_A= Y.

Тогда

                                                                            (3.24)

                                                                                     (3.25)

Найдем dX, dY

Раскроем скобки

,

и получим

В учебниках по фотограмметрии эта формула несколько преобразовывается. В ней числитель и знаменатель делятся на f²

Вводится обозначение  и тогда

.

Для вычисления dY запишем

.

Тогда

 В данной формуле с помощью выражения

 заменим dy через dx  и запишем

Числители этого выражения разделим и умножим на f, а знаменатели разделим и умножим на f². Тогда

.

Обозначая

запишем

или

Зная dx, dy, найдем

или

.

Вернемся к формуле масштаба

С учетом полученного выражения для dL запишем ее так

                         (3.26)

В зависимости от значений φ и угла наклона α возможны различные значения масштаба снимка. Так при φ=0, y=0 в частности будет:

1)   в главной точке снимка при   x=0 ;

2) в точке стояния (n)  при х =- ftgα ;        

3) в точке i  при х= fctgα ;

4) в точке нулевых искажений c  при х=- ftg(α/2) будет k=-1 и

Задача 3.4. Вычислить масштаб снимка в точке с заданными координатами в его характерных точках при значениях х,у, α, φ, f, H,  заданным по вариантам (табл.3.2).

Таблица 3.2. Исходные данные по вариантам к задачам 3.4 3.5

Номер варианта	x,мм	y,мм	α в градусах	φ в градусах	f, мм	H,м
1	10	20	1	30	100	1000
2	20	30	2	40	200	2000
3	30	20	3	50	100	3000
4	40	20	3	60	200	1000
5	50	20	2	70	100	2000
6	60	20	3	80	200	3000
7	70	30	1	90	100	1000
8	80	40	2	100	100	2000
9	90	50	3	110	200	3000
10	100	60	1	120	100	1000
11	110	70	2	130	200	2000
12	130	80	3	140	100	2000
13	120	90	1	150	200	1000
14	10	100	2	160	100	2000
15	20	20	3	170	200	3000
16	30	120	1	180	100	1000
17	40	110	2	190	200	3000
18	50	100	3	200	100	2000
19	60	100	1	210	200	1000
20	70	100	2	220	100	2000
21	80	100	3	230	200	3000
22	90	100	1	240	100	1000
23	100	20	2	250	200	2000
24	110	20	3	260	100	3000
25	120	20	1	270	200	1000
26	130	20	2	280	100	2000
27	10	120	3	290	200	3000
28	20	110	1	300	100	1000
29	30	100	2	310	200	2000
30	40	90	3	320	200	1000