Нелинейные электрические цепи

 

Нелинейные цепи постоянного тока. Графический метод расчета нелинейных цепей постоянного тока

 

Под нелинейными электрическими цепями принято понимать электрические цепи, содержащие нелинейные элементы. Нелинейные элементы подразделяют на нелинейные сопротивления, нелинейные индуктивности и нелинейные емкости.

Нелинейные сопротивления (НС) в отличие от линейных обладают нелинейными вольт-амперными характеристиками. НС могут быть подразделены на две большие группы: неуправляемые и управляемые НС. В управляемых НС в отличие от неуправляемых кроме основной цепи, как правило, есть еще по крайней мере одна вспомогательная или управляющая цепь, воздействуя на ток или напряжение которой можно деформировать ВАХ основной цепи. В неуправляемых НС ВАХ изображается одной кривой, а в управляемых – семейством кривых.

В группу неуправляемых НС входят лампы накаливания, электрическая дуга, полупроводниковые выпрямители (диоды) и др. элементы.

В группу управляемых НС входят трех-электродные (и более) лампы, транзисторы, тиристоры, терморезисторы и др. элементы.

Рис. 1

На рис. 1 изображено 11 типов наиболее часто встречающихся ВАХ неуправляемых НС.

ВАХ типа рис 1 а имеют, например, лампы накаливания с металлической нитью. Чем больше протекающий через нить ток, тем сильнее нагревается нить и тем больше становится ее сопротивление. Такая ВАХ называется симметричной ВАХ.

ВАХ типа рис. 1 б обладают тиритовые сопротивления, некоторые типы терморезисторов и лампы накаливания с угольной нитью. Для данной группы характерно то, что с увеличением протекающего тока сопротивление их уменьшается. ВАХ их симметрична.

ВАХ типа рис. 1 в обладает, например, бареттер. Бареттер выполняют в виде спирали из стальной проволоки, помещенной в стеклянный сосуд, заполненный водородом при давлении порядка 80 мм рт. ст. В определенном диапазоне изменения тока ВАХ бареттера расположена почти горизонтально. Бареттер используют, например, для стабилизации тока накала электронных ламп при изменении напряжения питания. ВАХ также симметрична.

ВАХ типа рис. 1 г в отличие от предыдущих не симметрична. Ею обладают полупроводниковые выпрямители, широко применяемые для преобразования переменного тока в постоянный. Они способны пропускать ток практически только в одном, проводящем, направлении. Широко используют их также в различных датчиках и преобразователях устройств автоматики.

ВАХ типа рис. 1 д имеют электрическая дуга с разнородными электродами, газотрон и некоторые типы терморезисторов. Если напряжение повышать, начиная с нуля, то сначала ток растет, но остается весьма малым, после достижения напряжения U₁ (напряжения зажигания) происходит резкое увеличение тока в цепи и снижение напряжения на электрической дуге или газотроне. Для верхнего участка ВАХ приращению тока соответствует убыль напряжения на НС.

Участок ВАХ типа верхнего участка кривой рис. 1 д называют падающим участком ВАХ. Электрическую дугу широко применяют при сварке металлов, в электротермии (в дуговых электропечах), а также в качестве мощного источника электрического освещения, например, в прожекторах.

Газотрон представляет собой лампу с двумя электродами, заполненную благородным газом (неоном, аргоном и др.) или парами ртути.

ВАХ типа рис. 1 е имеет двухэлектродная выпрямительная лампа – кенотрон. По нити накала лампы пропускают ток. Этот ток разогревает катод (один из двух электродов лампы) до высокой температуры, в результате чего с поверхности катода начинается термоэлектронная эмиссия. Под действием электрического поля поток электронов направляется ко второму, холодному, электроду – аноду. В начальной части ВАХ зависимость тока от напряжения подчиняется закону трех вторых: . ВАХ кенотрона не симметрична, это объясняется тем, что поток электронов направляется с катода на анод только в том случае, если анод положителен по отношению к катоду.

ВАХ типа рис. 1 ж обладают лампы с тлеющим разрядом. К числу их относятся стабилитроны и неоновые лампы. При тлеющем разряде благородный газ, которым заполнена лампа, светится. ВАХ типа рис. 1 ж свидетельствуют о том, что в определенном диапазоне значений токов напряжение на лампе остается практически неизменным.

Некоторые типы точечных германиевых и кремниевых диодов имеют ВАХ типа рис. 1 з.

Электрическая дуга между электродами, выполненными из одного и того же материала и находящимися в одинаковых условиях, имеет ВАХ типа рис.1 и.

ВАХ четырехслойного германиевого (кремниевого) диода – тринистора – изображена на рис. 1 л. ВАХ туннельного диода – на рис. 1 к.

Для нелинейных цепей неприменим принцип наложения. Поэтому неприменимы или применимы с ограничениями все методы расчета цепей, которые на нем основаны: метод контурных токов, метод наложения, метод эквивалентного источника.

Ограничимся далее анализом цепей, содержащих пассивные нелинейные резистивные двухполюсники.

Свойства нелинейного резистивного двухполюсника определяются ВАХ, а его схема замещения представляется нелинейным резистивным элементом (рис. 2). Если ВАХ для изменяющегося во времени тока  и постоянного тока  совпадают, то двухполюсник называется безынерционным, в противном случае — инерционным. Последние здесь не будут рассматриваться.

Каждая точка ВАХ определяет статистическое  и дифференциальное  сопротивления нелинейного двухполюсника (рис. 2).

В некоторых двухполюсниках, например в лампах накаливания, нелинейность ВАХ обусловлена нагревом, причем в силу инерционности тепловых процессов для мгновенных значений синусоидальных тока и напряжения справедливо соотношение , где статическое сопротивление  равно отношению действующих значений напряжения и тока. Такие двухполюсники называются неискажающими или условно-нелинейными.

Рис. 2

Рассмотрим общий случай включения нелинейного резистивного двухполюсника в произвольную линейную цепь, которую относительно выводов этого двухполюсника представим линейным активным двухполюсником (рис. 6.2).

Рис. 3

Заменим активный двухполюсник эквивалентным источником с внешней характеристикой:

,        (1)

или

.

Точка пересечения А внешней характеристики активного двухполюсника и ВАХ нелинейного двухполюсника  определяет рабочий режим цепи (рис. 4). Характеристика (1) называется нагрузочной характеристикой активного двухполюсника, а графоаналитический метод расчета нелинейной цепи с ее применением - методом нагрузочной характеристики.

Рис. 4

Метод нагрузочной характеристики пригоден и в случаях, если нелинейная часть цепи содержит последовательное или параллельное соединение нелинейных двухполюсников с известными ВАХ. Для этого необходимо в первом случае сложить ВАХ нелинейных двухполюсников по напряжению (рис. 5), а во втором - по току (рис. 6). Определив рабочую точку на результирующей ВАХ методом нагрузочной характеристики, далее найдем ток и напряжение каждого нелинейного двухполюсника.

Аналогично рассчитывается цепь, которая содержит смешанное соединение нелинейных двухполюсников (рис. 7).

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Требуется найти токи в ветвях схемы. Заданы ВАХ НС (кривые 1, 2 и 3 рис. 8) и ЭДС Е. Сначала строим ВАХ параллельного соединения в соответствии с методикой на рис. 6 (кривая 1+2 на рис. 8). После этого цепь сводится к последовательному соединению НС3 и НС, имеющего ВАХ 1+2.

Применяем второй способ построения (см. рис. 5). Кривая 3’ рис. 8 представляет собой ВАХ НС3, зеркально отраженную относительно вертикали, проведенной через точку U = Е. В точке пересечения кривой 3’ с кривой 1+2 удовлетворяется второй закон Кирхгофа. U₃ + U₁₂ = E. Сумма токов I₁ + I₂ = I₃.

Нелинейные цепи переменного тока. Неполная векторная диаграмма

 

Если линейная часть цепи с источниками синусоидальных ЭДС и токов не содержит реактивных элементов, то соответствующий ее двухполюсник представляется эквивалентным источником (рис. 9), где

- эквивалентный источник ЭДС.

Расчет режима работы такой цепи выполняется методом нагрузочной характеристики (рис. 10).

Рис. 9

Рис. 10

Для любого момента времени t (например, t₁, t₂) уравнению нагрузочной характеристики

соответствует прямая линия, проходящая через точки  на оси абсцисс и на оси ординат. Режим цепи определяется точкой пересечения соответствующей нагрузочной характеристики и ВАХ нелинейного двухполюсника . Зная напряжение  и ток  в рассматриваемые моменты времени, можно построить зависимости и .

Рис. 11

В частном случае нелинейного резистивного двухполюсника с известной условно-нелинейной ВАХ  (рис. 11) применим графоаналитический метод в сочетании с комплексным методом. При этом цепь линейного активного двухполюсника может быть произвольной. Этой цепи соответствует эквивалентный источник с ЭДС  и выходным сопротивлением  (рис. 12 а).

Рис. 12

Внешняя характеристика эквивалентного источника определяется векторной диаграммой (рис. 6.10, б), где приняты <0 и  = 0:

.

Точка пересечения A внешней характеристики активного двухполюсника U(I) и ВАХ нелинейного двухполюсника определяет рабочий режим цепи: ток I_A и напряжение U_A.

Ток в цепи с вентилем.

На рис. 13 показана кривая тока в цепи с нелинейной ВАХ (для примера взята цепь с полупроводниковым диодом) при синусоидальной форме действующего в ней напряжения.

Рис. 13

Каждому мгновенному напряжению u соответствует по характеристике i(u) ток i. Определяя эти величины, как показано на рисунке, и откладывая их в координатах i, t, можно построить кривую тока в функции времени i(t).

В данном случае кривая тока имеет положительные и отрицательные полуволны, но положительные во много раз больше отрицательных.

Построим кривую тока в цепи последовательно соединенных реального вентиля и элемента с линейным сопротивлением R при синусоидальном напряжении источника питания .

На рис. 14 изображены ВАХ вентиля и элемента цепи с сопротивлением R.

Рис. 14

Для этой схемы справедливо уравнение напряжений

.

На основании этого уравнения построена ВАХ всей цепи i(u) путем суммирования падений напряжения на вентиле () и постоянном сопротивлении () при различных величинах тока.

На том же чертеже в координатах u, t построена кривая напряжения в функции времени u(t).

Чем больше амплитуда напряжения источника, тем сильнее отличается положительная и отрицательная полуволны тока в цепи с вентилем.

При достаточно больших значениях u отрицательную полуволну тока можно не принимать во внимание и считать, что кривая тока состоит только из положительных полуволн (кривые 1 и 1’ на рис. 14).

Кривая тока такого вида наряду с гармоническими имеет постоянную составляющую тем большей величины, чем больше напряжение источника и чем больше ВАХ приближается к идеальной.

При малой амплитуде напряжения источника прямая и обратная полуволны тока могут оказаться близкими по величине (кривые 2 и 2’). В этом случае выпрямляющее действие вентиля незначительно.

 

Полная векторная диаграмма катушки со стальным сердечником

 

Индуктивная катушка с ферромагнитным сердечником является нелинейным устройством. Нелинейность вебер-амперной характеристики (ВбАХ) индуктивной катушки с ферросердечником обусловлена нелинейностью кривой намагничивания B=f(H) ферромагнитного материала сердечника.

Индуктивная катушка с ферромагнитным сердечником обладает большой удельной энергоемкостью (или индуктивностью) по отношению к идентичной по габаритам катушке без сердечника. Однако как объект исследования катушка с ферросердечником существенно более сложнее линейной индуктивной катушки благодаря следующим основным причинам.

Во-первых, процессы в индуктивной катушке с ферросердечником описываются системой нелинейных уравнений.

Во-вторых, циклическое перемагничивание ферромагнитного сердечника (только в режиме переменного тока) вызывает дополнительные потери энергии на гистерезис и вихревые токи.

Как часто бывает на практике, в целях выявления сути процессов, происходящих в нелинейных элементах (устройствах), последние линеаризуют, т.е. считают линейными при определенных условиях. Для описания процессов в нелинейной индуктивной катушке широкое распространение получил метод эквивалентных синусоид. Он заключается в том, что несинусоидальная величина (ток или напряжение) заменятся эквивалентной синусоидальной. При этом критериями эквивалентности являются:

· равенства действующих значений несинусоидальной величины и эквивалентной синусоидальной;

· равенства активных мощностей эквивалентного синусоидального тока (напряжения) и несинусоидального тока (напряжения).

Данные критерии позволяют найти параметры эквивалентной синусоидальной величины и проанализировать процессы в нелинейной индуктивной катушке методами расчета цепей синусоидального тока.