Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

С помощью линейных уравнений с одним неизвестным можно решать многочисленные.задачи, в которых либо имеется только одно неизвестное, либо среди неизвестных можно указать одно «ведущее», через которое выражаются остальные. Но многие ситуации описываются несколькими параметрами, вообще говоря, равноправными друг другу; эти ситуации требуют разработки новых алгебраических средств их изучения. В качестве одного из таких средств в курсе алгебры выступает класс систем двух линейных уравнений, с двумя неизвестными.

Приведенное рассуждение может быть положено в основу методики изучения указанного класса. Такой способ введения подчеркивает прикладную значимость уравнений с двумя неизвестными, однако изучение этого класса требует введения обширной совокупности формальных понятий и методов, поэтому отмеченная схема изложения, в которой проводится содержательная мотивировка данного класса, не единственный способ изложения этого материала.

Изложение темы можно начать с рассмотрения понятий, входящих в качестве компонентов в понятие системы линейных уравнений с двумя неизвестными; их соединение формирует представление о данном классе. Эти компоненты таковы: представление о конъюнкции логических условий, которое формализуется в понятии системы уравнений; представление о наличии в составе логического условия двух переменных, представление о линейном уравнении с двумя неизвестными, непосредственно связанное с данным классом систем.

Рассмотрим эти компоненты подробнее. Полезность изучения понятия уравнения с двумя неизвестными перед введением понятия о системе уравнений заключается в том, что при этом могут быть рассмотрены два важных в дальнейшем вопроса: выражение одного из неизвестных через другое (это преобразование используется при изучении метода подстановки) и введение понятия графика уравнения с двумя неизвестными.

Существенно новым представлением, которое получают учащиеся при изучении этой темы, является представление о том, что решением уравнения с двумя неизвестными служит не число, а упорядоченная пара чисел. Вторым представлением, резко расширяющим кругозор учащихся, служит то, что множество решений уравнения с двумя неизвестными, как правило, бесконечно и его изображение на координатной плоскости — некоторая линия.

Изучение этой темы может рассматриваться как определенный мостик, связывающий понятие функции и понятие уравнения с двумя неизвестными: с одной стороны, уравнение с двумя неизвестными, в котором одно из них выражено через другое, по виду формулы совпадает с функцией; с другой — оказывается, что один и тот же геометрический образ является и графиком уравнения, и графиком функции. Эти первые представления в дальнейшем подвергаются неоднократному уточнению и переосмысливанию, но уже и в таком несовершенном виде они с успехом используются при изучении систем уравнений.

Тема «Уравнение с двумя неизвестными» в случае наличия ее в курсе изучается недолго. Цель ее изучения состоит скорее во введении новых представлений, чем в развитии навыков.

Непосредственно за ней или на ее месте рассматривается тема «Линейные уравнения с двумя неизвестными». Этот класс изучается детальнее. Здесь необходимо приобрести навыки перехода от линейного уравнения ах+ b у=с к уравнению y=kx+b или x =k₁y+b₁. Кроме того, требуется усвоить факт: график линейного уравнения ах + b у= с, где а ¹ 0 или b ¹ 0, есть прямая линия, а также научиться строить график конкретных линейных уравнений с двумя неизвестными.

Непосредственно перед изучением систем линейных уравнений может быть введено понятие о системе уравнений с двумя неизвестными. Но здесь необходимы некоторые уточнения. Понятие системы уравнений в курсе школьной математики строго определено быть не может из-за отсутствия в нем понятия конъюнкции. Однако для развития теории уравнений достаточно оказывается формировать представление о системе уравнений косвенным образом, посредством указания на цель — нахождение общих решений, двух данных уравнений. Заметим, что общее понятие о системе уравнений в этот момент и необязательно вводить. Общее понятие формируется постепенно на основе своего ведущего частного случая — системы линейных уравнений,— который и составляет непосредственный предмет изучения. Фактически получается так, что понятие о системе уравнений формируется у учащихся на основе осмысления понятия «решение уравнения» и представления о том, что значит решить уравнение. |

Переход к изучению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными целесообразно осуществить при помощи того же процесса выделения математических понятий из текстовой задачи, который был использован в изучении первого класса уравнений. Если реализуемая в учебнике методическая система не содержит пропедевтики этого понятия, такой подход является единственно возможным. Однако даже и при наличии подготовки он позволяет уточнить формальные характеристики вводимого класса систем уравнений и подчеркнуть некоторые существенные моменты: например, что решением системы является не одно число, а пара чисел

Основное содержание рассматриваемой темы состоит в изучении двух алгебраических способов решения таких систем, графического способа решения и исследования систем этого класса.

Отметим наиболее важные отличия в изучении этого материала от изучения класса линейных уравнений с одним неизвестным.

Алгоритмы решения систем линейных уравнений намного сложнее алгоритма решения линейного уравнения с одним неизвестным. Поэтому при их изучении учитель должен четко указывать последовательность операций, используемых в этих алгоритмах, а также провести изучение каждого действия. Эти алгоритмы, по существу, являются первым нетривиальным примером алгоритма в линии уравнений и неравенств.

В развертывании содержания данной темы используются геометрические представления, которые не только в ряде мест могут пояснить изложение, но имеют важное самостоятельное значение. Наиболее принципиальным является их применение для проведения исследования данного класса систем. Возможны различные уровни развертывания этого материала — от иллюстраций, поясняющих смысл различных типов множеств решений, и до использования геометрических представлений для выведения аналитических условий, определяющих каждый случай.

Второй, более высокий уровень в современном школьном курсе алгебры обычно не достигается.

 

3. Квадратные уравнения.

Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений и неравенств. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений. В значительной мере именно на материале этой темы осуществляется синтез материала, относящегося к уравнениям.

Во всех современных школьных учебниках алгебры и термин, и объем понятия квадратного уравнения одинаковы. Понятие вводится посредством явного определения, что обязывает организовать работу по усвоению его формальных признаков. Это тем более необходимо, что соответствующие признаки существенно используются при построении теории квадратных уравнений, в частности при выводе формулы корней и в теореме Виета.

Вывод формулы корней квадратного уравнения может быть осуществлен несколькими различными способами: сразу для общего или сначала для приведенного квадратного уравнения, сведением к уравнению х²—а=0 или к уравнению х ² =а. Но в любом случае приходится использовать выделение полного квадрата в трехчлене ах ² +b х + с, сводящее уравнение к двучленному. Выделение последовательности шагов, приводящих к решению квадратных уравнений, проводится сначала на конкретных примерах.

Необходимым этапом при выводе формулы корней квадратного уравнения служит исследование, выявляющее три возможных случая: отсутствие корней, наличие одного или двух корней. При этом вводится дискриминант уравнения. В результате исследования формулируется вывод: «Если дискриминант квадратного уравнения ах ² +b х + с = 0 отрицателен, то оно не имеет действительных корней; если дискриминант равен нулю, то имеется один корень, равный - b/2a; если дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня ».

Учитывая этот вывод, решение конкретных квадратных уравнений проводится следующим образом: сначала вычисляется дискриминант, сравнивается с нулем, и если он неотрицателен, то применяются формулы для нахождения корней.

В ряде учебников, кроме основной формулы для корней квадратного уравнения ах² + b х + с = 0, приводятся еще формулы корней уравнения x²+px+q=0 или x²+2px+q=0. Иногда использование этих формул упрощает вычисления, при наличии времени полезно их рассмотреть.

При изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются и неполные квадратные уравнения. Обычно они изучаются перед выводом корней общего квадратного уравнения. Хотя различные виды неполных квадратных уравнении имеют разные алгоритмы решения, при изучении данной темы необходимо показать, что общая формула корней применима и для этих случаев.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной — только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета. Например, при нахождении корней квадратного уравнения подбором ссылаться нужно на обратную теорему Виета, а не на прямую, как часто делают учащиеся. Для того чтобы распространить теоремы Виета на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашения проявляется при разложении квадратного трехчлена на множители.

Владение теорией квадратных уравнений существенно расширяет возможности решения уравнений методами, изучаемыми в курсе алгебры. Так, прямо сводятся к квадратным дробно-рациональные уравнения вида и биквадратные уравнения.

Еще один класс составляют алгебраические уравнения, которые разложением на множители могут быть сведены к линейному и квадратному уравнениям. Богатство и разнообразие приемов, имеющихся у учащихся, овладевших сведением различных уравнений к квадратным, служат необходимой предпосылкой перехода к завершающему этапу освоения методов решения уравнений. Особенно это сказывается на приложении к алгебраическому методу решения текстовых задач. Сюжеты их становятся более разнообразными, возрастает также сложность перевода на язык математики. В целом можно сказать, что освоение темы «Квадратные уравнения» поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики.

Глава II.Методико - педагогические основы использования самостоятельной работы, как средство обучения решению уравнений в 5 - 9 классах.

§ 1. Организация самостоятельной работы при обучения решению уравнений в 5 - 9 классах.

При традиционном способе преподавания учитель часто ставит ученика в положение объекта передаваемой ему извне информации. Такой постановкой образовательного процесса учитель искусственно задерживает развитие познавательной активности ученика, наносит ему большой вред в интеллектуальном и нравственном отношении.

«Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью», — эти слова Л. Н. Толстого должны стать смыслом работы учителя.

Самостоятельную деятельность учащихся можно и нужно организовывать на различных уровнях: от воспроизведения действий по образцу и узнавания объектов путем их сравнения с известным образцом до составления модели и алгоритма действий в нестандартных ситуациях.

Учителю Необходимо учитывать, что при составлении заданий для самостоятельной работы степень сложности должна отвечать учебным возможностям детей.

Переход с одного уровня на другой должен осуществляться постепенно, только когда учитель будет убежден, что учащийся справится со следующим уровнем самостоятельности. Иначе в атмосфере спешки и нервозности у ученика возникают пробелы в знаниях.

Очень важно, чтобы содержание самостоятельной работы, форма и время ее выполнения отвечали основным целям обучения данной теме на данном этапе.

В то же время учителю нужно знать, что злоупотребление самостоятельной работой в учебном процессе также вредно, как и ее недооценка. Бывает так, что учитель включает в урок самостоятельную работу без особой необходимости, просто ради разнообразия, не продумав ее содержание и форму организации. Результаты бывают плачевны: или дети не готовы выполнить задание, или не хватило времени и т. п. А в результате — зря потрачено драгоценное время урока. Но если, составляя план урока, учитель тщательно продумал место и время самостоятельной работы; четко определил ее общее содержание, разбил задания по разным уровням сложности, то она сыграет свою положительную роль.

Поэтому учителю очень важно знать формы и виды самостоятельных работ, их место в процессе обучения.

Но нельзя забывать, что на успехи ученика огромное влияние оказывает настрой самого учителя. Здесь очень важен известный психологам эффект Резенталя — Якобсона. Эти исследователи провели следующий эксперимент: они давали учителям заведомо неправильную информацию о показателях умственного развития детей. Как выяснилось, последующие достижения учеников зависели от этой информации, т. е. от мнения учителя о возможностях ученика. Те дети, которые воспринимались учителем как более одаренные (хотя таковыми не являлись), показали большие сдвиги в учебе по сравнению с детьми, которых учитель считал менее одаренными.

Вот почему так важно умение учителя создать в классе доброжелательную атмосферу, особенно во время выполнения самостоятельных работ.

В зависимости от целей, которые ставятся перед самостоятельными работами, они могут быть:

1) обучающими;

2) тренировочными;

3) закрепляющими;

4) повторительными;

5) развивающими;

6) творческими;

7) контрольными.

 

1 Смысл обучающих самостоятельных работ заключается в самостоятельном выполнении школьниками данных учителем заданий в ходе объяснения нового материала. Цель таких работ — развитие интереса к изучаемому материалу, привлечение внимания каждого ученика к тому, что объясняет учитель. Здесь сразу выясняется непонятное, выявляются сложные моменты, дают себя знать пробелы в знаниях, которые мешают прочно усвоить изучаемый материал.

Самостоятельные работы по формированию знаний проводятся на этапе подготовки к введению нового содержания, а также при непосредственном введении нового содержания, при первичном закреплении знаний, т. е. сразу после объяснения нового, когда знания учащихся еще непрочны. Учителю необходимо знать следующие особенности обучающих самостоятельных работ:

их надо составлять в основном из заданий репродуктивного характера, проверять немедленно и не ставить за них плохих оценок.

Так как самостоятельные обучающие работы проводятся во время объяснения нового материала или сразу после объяснения, то их немедленная проверка дает учителю четкую картину того, что происходит на уроке, какова степень понимания учащимися нового материала на самом раннем этапе его изучения. Цель этих работ — не контроль, а обучение, поэтому им следует отводить много времени на уроке.

 

Тема: «Линейное уравнение с двумя переменными».

Цель:    1. Дать понятие линейного уравнения с двумя переменными,

решения уравнения с двумя переменными; познакомить со свойствами уравнений с двумя переменными; закрепить понятие линейного уравнения с одной переменной.

2. Развивать вычислительные навыки, речь, мышление, память.

3. Воспитывать самостоятельность активность, трудолюбие, любовь к математике.

 

Оборудование: карточку ax+by>c.

 

Ход урока.