Разряд конденсатора через резистор

При напряжении источника равном нулю  и , имеем

ток течет в направлении встречно показанному на рисунке.

Напряжение на емкости изменяется непрерывно, а ток в начальный момент  делает скачок.

П.п. заканчивается за время .

 

 

Включение цепи с   на синусоидальную э.д.с.

       Установившееся значение напряжения на емкости: , где .

Тогда , пусть при ,

т.е. конденсатор был разряжен, тогда:

Напряжение на емкости: .

Ток: ,

при  свободная составляющая тока равна нулю  и процесс будет сразу установившимся.

Переходный процесс в цепи .

       При подключении э.д.с.  к цепи  переходный процесс описывается уравнением:

1.  

2. Решение найдем классическим методом:

3. Принужденный режим. Пусть на входе схемы действует постоянная эдс .
В принужденном режиме ток равен нулю, т.к. постоянный ток через ёмкость не протекает.

4. Свободный режим.

4.1 Составим характеристическое уравнение:  или в приведенном виде , с корнями: ,
где   - резонансная частота. Тогда свободный ток равен и переходный ток .

4.2 Постоянные интегрирования определим из начальных условий .

      

                   .

Начальные условия.

Независимые начальные условия:

Ток  по первому закону коммутации. Напряжение на конденсаторе – по второму.

Пусть конденсатор до коммутации был заряжен до .

Затем зависимые начальные условия:  найдем из исходного уравнения (1)
для .  подставляя это выражение в систему уравнений получаем:

      

       И окончательно ток:      .

 

 

В зависимости от соотношения параметров r, L, C возможны три варианта вида корней, а следовательно, и виды переходного процесса, рассмотрим их.

1. , т.е.  - апериодический процесс.

В этом случае  и  - отрицательные действительные величины [согласно (2)].
Если  соответствует верхнему знаку в (), то , и кривая  уменьшается медленнее, чем , определяя общую длительность п.п.

Ток п.п. определяется по формуле (3).

 

 

2. ,   (критический случай).

В этом случае корни характеристического уравнения одинаковы:  [согласно (2)]. Выражение (3) даст неопределенность типа 0/0. Ток, с учетом что , определим  по формуле .
Для получим .
Значит , и при  имеем .
Откуда ток п.п. .
Вид кривой аналогичен приведенной выше.

 

3. , т.е.   (колебательный характер).

корни характеристического уравнения комплексные и сопряженные: , где   - угловая частота свободных или собственных колебаний в цепи

, а период этих колебаний.

Ток в цепи определим из выражения

т.е. при , где  - критическое сопротивление, в цепи возникают затухающие синусоидальные колебания с огибающими .

 

Колебания возникают вследствие периодического преобразования энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно, причем эти колебания сопровождаются потерей энергии в резистивных сопротивлениях.
При  ордината огибающей в  меньше начального значения, поэтому величину
 считаем постоянной времени колебательного контура.

Функции  - имеют одинаковый множитель затухания.
При  кривая  начинается с нуля.

Чем меньше  по сравнению с  тем медленнее затухают кривые и тем ближе  к .

В пределе, при ,  колебания не затухают вообще.

 

 

При коротком замыкании цепи , т.е. при  и

Ток в цепи обусловлен разрядом емкости. Принужденные значение напряжения на емкости и тока в цепи равны нулю, а свободные составляющие аналогичны приведенным выше.

Включение цепи  на синусоидальное напряжение.

В этом случае напряжения и токи принужденного режима также имеют синусоидальный характер и на них накладываются напряжения и токи свободного режима, затухающие как сумма затухающих экспонент.