Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Микрочастица в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме
Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергия частицы много меньше, чем в соседних областях. Постановка задачи. Рассмотрим одномерную задачу о движении частицы в силовом поле, в котором потенциальная энергия частицы задана следующими соотношениями [4]: (5.12) Вид потенциального поля приведен на рис. 5.6, а. Видно, что частица находится в бесконечно глубокой потенциальной яме (), за пределы которой она выйти не может.
Рис. 5.6 Решение уравнения Шредингера. Так как микрочастица локализована в области , то уравнение Шредингера необходимо решать именно для этой области. Запишем уравнение Шредингера, учитывая, что в области ямы . Решением этого уравнения является сумма двух плоских монохроматических волн де Бройля (бегущей и отраженной) . Учитывая, что волновая функция должна быть непрерывна, запишем граничные условия в этой задаче: , . Подставляя данные граничные условия в волновую функцию, получим ее явный вид: В формулу для волновой функции входит номер квантового состояния , причем значение исключается, так как вероятность найти частицу внутри потенциальной ямы и вне ее будет равна нулю, т. е. частица не существует, а это противоречит условию задачи [4]. Используя условие нормировки, находим постоянную . Таким образом, собственные волновые функции, описывающие поведение частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме, имеют вид (5.13) Для собственных значений энергии частицы получим: , (5.14) Анализ полученного решения. Из формулы (5.14) следует, что энергетический спектр частицы является дискретным (энергия частицы может принимать только определенные значения) и расходящимся, минимальное значение энергии отлично от нуля и равно (рис. 5.6, а) , . (5.15) Состояние частицы при квантовом числе = 1, называется основным состоянием частицы, а все остальные ее состояния называются возбужденными. Для сравнения: в классической механике энергетический спектр частицы является непрерывным (энергия может принимать абсолютно любые значения), минимальное значение энергии равно нулю.
Как видно, выводы классической и квантовой механики при малых значениях квантового числа находятся в несоответствии между собой [4]. Обсудим теперь вероятность обнаружения микрочастицы внутри потенциальной ямы. В классической механике частица движется равномерно по траектории от одной стенки до другой, и поэтому классическая плотность вероятности обнаружения частицы будет одинаковой во всех точках потенциальной ямы, так как частица одинаковое время находится вблизи любой точки [4]. Запишем формулу для квантовой плотности вероятности обнаружения микрочастицы внутри потенциальной ямы . (5.16) Из формулы (5.16) следует, что квантовая плотность вероятности обнаружения микрочастицы внутри потенциальной ямы зависит от координаты x и от номера квантового состояния n. Так, например, для квантового состояния с плотность вероятности на краях потенциальной ямы равна нулю, а в ее середине будет максимальной. Число максимумов на зависимости будет равно номеру квантового состояния , а вся площадь под каждым графиком плотности вероятности равна единице (рис. 5.6, б), так как физический смысл площади под всем графиком – вероятность обнаружения частицы внутри ямы. Вероятность обнаружения частицы в квантовом состоянии внутри потенциальной ямы в области пространства равна площади под графиком соответствующей плотности вероятности и ограниченной по оси абсцисс значениями l 1 и l 2, а также может быть вычислена по формуле (5.17) Итак, движение частицы внутри потенциальной ямы при небольших значениях необходимо описывать в рамках квантовой механики. Однако, при больших значениях квантового числа n возможно применение классической механики при описании движения микрочастицы. Это связано с тем, что при увеличении n возрастает модуль волнового вектора (), следовательно, уменьшается длина волны де Бройля (), соответствующая движению частицы, и при некотором значении n будет выполняться условие применимости классической механики для описания движения микрочастицы: << [4].
Причем для больших n происходит относительное сближение энергетических уровней, энергетический спектр становится квазинепрерывным , (5.18) Большое число максимумов и минимумов на графике зависимости плотности вероятности от координаты (при большом n) приводит к тому, что усредненное значение < > квантовой плотности вероятности будет совпадать с классическим значением плотности вероятности. Cсоответствие выводов квантовой и классической теории при больших значениях квантовых чисел, является частным случаем принципа соответствия, согласно которому: при больших значениях квантовых чисел выводы квантовой механики должны соответствовать выводам классической механики [4]. Туннельный эффект Потенциальным барьером называется область пространства, в которой потенциальная энергия частицы больше, чем в соседних областях. Постановка задачи. Рассмотрим одномерную задачу о движении частиц с энергией W вдоль оси . Частицы из области 1 налетают на прямоугольный потенциальный барьер (область 2) высотой , причем W < (см. рис. 5.7, а). Что же происходит с частицами при их встрече с потенциальным барьером? Согласно законам классической механики все частицы, для которых W < , отражаются от потенциального барьера и летят обратно. Проникновение таких частиц в области 2 и 3 (область за барьером) невозможно. Решение уравнения Шредингера. В квантовой механике чтобы описать движение микрочастиц, при их встрече с потенциальным барьером, необходимо решить уравнение Шредингера в трех областях (см. рис. 5.7, а). Запишем уравнение Шредингера для каждой из областей и сразу приведем их решения. Область 1: , . Область 2: , . Область 3: , , . Из решения уравнения Шредингера для второй области видно, что не носит волнового характера, т. е. ее нельзя представить в виде гармонической функции синуса (косинуса). Это означает, что частица не может находиться в этой области сколь угодно долго, по истечении определенного промежутка времени она должна покинуть эту область пространства [4]. В третьей области пространства отражения нет, поэтому отраженной волны в области не будет. Рис. 5.7 Полученные в ходе решения уравнения Шредингера для трех областей волновые функции, необходимо «сшить» на границе этих областей, т. е. наложить на волновые функции стандартные условия. На рис. 5.7, б приведен график зависимости квадрата модуля волновой функции от координаты с учетом стандартных условий (условий сшивания), накладываемых на волновые функции на границах потенциального барьера. Из рис. 5.7, б видно, что вероятность обнаружения микрочастицы внутри потенциального барьера (вторая область) уменьшается с ростом координаты и что вероятность найти микрочастицу в области 3 (область за барьером) будет отлична от нуля [4]. Анализ полученного решения. При встрече микрочастиц с потенциальным барьером возникает туннельный эффект – явление проникновения частиц сквозь высокий (W < U 0) потенциальный барьер. Коэффициент прозрачности D потенциального барьера – величина, определяющая вероятность проникновения частиц сквозь потенциальный барьер и равная отношению интенсивности волны, прошедшей потенциальный барьер, к интенсивности волны, падающей на барьер. Это отношение интенсивностей волн можно найти с учетом условий сшивания, накладываемых на волновую функцию на границах потенциального барьера (см. рис. 5.7) [4]
. (5.19) Как следует из формулы (5.19), коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера зависит от массы частицы (), ширины барьера () и соотношения между высотой потенциального барьера и полной энергией налетающей на него частицы (). В случае потенциального барьера произвольной формы (рис. 5.7, в), коэффициент прозрачности барьера определяется по формуле: . (5.20) Туннельный эффект объясняет многие наблюдаемые на опыте явления, такие например, как -распад ядер, холодную эмиссию электронов из металла. Вопросы и задания для самоконтроля к лекции 15 1. Запишите стационарное уравнение Шредингера и поясните все входящие в него величины. 2. Сформулируйте определение потенциальной ямы. Каким энергетическим спектром обладает микрочастица, находящая внутри бесконечно глубокой потенциальной ямы? 3. Протон находится в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Волновая функция, описывающая его состояние имеет вид указанный на рисунке. Чему равна вероятность обнаружить протон на участке ? 4. Сформулируйте определение потенциального барьера. В чем состоит туннельный эффект? 5. К потенциальному барьеру высотой U 0 > W и шириной d приближаются различные частицы с энергией одинаковой W: электрон, атом гелия, и молекула водорода. Для какой частицы коэффициент прозрачности барьера будет наименьшим? Основы физики атомного ядра Лекция 16 Основные понятия и законы, которые должны быть освоены в ходе лекции: ядерные силы и их свойства, дефект масс, энергия связи, удельная энергия связи; a-, b- и g-распады; основной закон радиоактивного распада, период и постоянная распада, среднее время жизни и активность радиоактивного ядра,; ядерные реакции и их энергия.
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-04-05; просмотров: 320; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.148.104.215 (0.024 с.) |