Vi . Работа над задачей после ее решения

- варьирование данных, условия и вопроса;

- решение задачи путём введения в ее условие дополнительных данных

Прокомментируем подробнее каждый из этапов.   

I. Ознакомление с содержанием задачи – восприятие и первичный анализ

Основное назначение этого этапа – понять в целом ситуа­цию, описанную в задаче; выделить условия и требования; назвать известные и искомые объекты, выделить все отноше­ния (зависимости) между ними.

Производя анализ задачи, вычленяя ее условия, мы долж­ны соотносить этот анализ с требованиями задачи. Другими словами, анализ задачи всегда направлен на ее требования.

Известно несколько приёмов, которые можно использо­вать при анализе задачи:

1) выделение в тексте условия задачи и ее требования (или вопроса).

 

 

Работа над той или иной текстовой задачей начинается с чтения или слушания текста задачи. От того, как она будет прочитана или прослушана, зависит ее понимание. Основные требования к чтению задачи:

- правильное чтение всех слов, сочетаний слов, соблюдение знаков препинания;

- правильная расстановка логических ударений, особенно при чтении вопроса задачи.

Разобраться в содержании задачи, вычленить условия и требования можно, если сформулировать специальные вопросы и отве­тить на них:

- О чем задача?

- Что требуется найти в задаче?

- Что обозначают те или иные слова в тексте задачи?

- Что в задаче неизвестно?

- Что является искомым?

2) перефразирование текста задачи.

Большую помощь в понимании содержания задачи оказывает другой приём - перефразирование текста задачи. Он заключается в замене данного в задаче описания некоторой ситуации другим, сохраняющим все отношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим. Цель данного приёма – отбрасывание несущественных дета­лей, уточнение и раскрытие смысла важных элементов задачи. При использовании этого приёма у учащихся развивается абст­рактное мышление, что необходимо для успешного обучения математике.

Постепенное сокращение текста задачи и формирование у учащихся умения выделять ее основной математический смысл – одно из стержневых направлений в учебниках И.И. Аргинской. Самостоятельное и осознанное исключение из текста задачи всех необязательных слов приводит к составлению ее краткой записи и является, по мнению И.И. Аргинской, средством для глубокого и полного анализа математических связей, данных в задаче. Приведём пример задания из учебника для 3 класса И.И. Аргинской [3, С.4].

 

 

 

Использование данного приёма в сочетании с разбиением текста на смысловые части, что, в свою очередь, необходимо для выделения необходимой для поиска решения информации, для понимания и запоминания содержания задачи.

Разбиение текста задачи происходит при фронтальной работе над ее содержанием.

 О чем эта задача? Что требуется узнать? На какие логические части можно разделить ее текст? Приведём пример разбиения текста переформулированной задачи, указанной выше. Задачу можно разбить на следующие части:

а) начало события: «В первый день напряли 54 кг пряжи»;

б) продолжение события: «Во второй день работали 8 часов с такой же скоростью»;

в) конечный момент события, результат действия, о чем обычно говорится в вопросе задачи: «Сколько пряжи напряли во второй день?»

3) Для лучшего понимания содержания задачи можно использовать по-разному сформулированные вопросы, помогающие установить взаимосвязь между данными. Приведём пример[6, С.42]:

4) Для проверки усвоения младшими школьниками содержания задачи возможно предложить им тестовые задания.

Приведём пример[7,С.28]:

II. Моделирование ситуации, описанной в задаче

Назначение этого этапа – представление содержания текста задачи с помощью модели.

Деление на этапы процесса решения текстовой задачи условно. Моделирование, с одной стороны, можно считать как один из приёмов первичного анализа задачи, а с другой – средством, облегчающим составление плана решения задачи. Процесс моделирования ситуации, описанной в задаче, подробно рассматривался в содержании предыдущей темы. Напомним лишь, что в результате первичного анализа текста задачи учащихся подводят к построению либо словесной (с помощью опорных слов или в виде таблицы), либо графической модели (рисунок, условный рисунок, чертёж, схематичный чертёж), которую в методической литературе называют краткой записью условия задачи.

Построению графической модели младших школьников следует специально обучать. Для этого рекомендуется использовать «Памятку»:

1. «Что будем изображать?

2. Как будем изображать?

3. Что в первую очередь будем изображать?

4. Как числа, данные в задаче, помогут построить модель?

5. Как расположим модель?

6. Как на модели обозначим данные?

7. Что теперь нужно изобразить (до тех пор, пока все не будет отражено на модели)?

8. Как на модели обозначим вопрос задачи?»

Чтобы проверить, все ли данные отражены, можно прочитать задачу, соотнося текст и модель.

И таблица, и схематичный чертёж являются вспомога­тельными моделями задачи. Они служат формой фиксации анализа текстовой задачи и являются основным средством поиска плана ее решения.

После построения вспомогательной модели необходимо проверить:

1) все ли объекты задачи показаны на модели;

2) все ли отношения между объектами отражены;

3) все ли числовые данные приведены;

4) есть ли вопрос (требование) и правильно ли он указыва­ет искомое?

Графическое моделирование широко используется в альтер­нативных учебниках по математике для начальной школы (под редакцией                   Н.Б. Истоминой, Н.Я. Виленкина и Л.Г. Петерсон, Д.Б. Эльконина и          В.В. Давыдова). В них чётко прослеживается методи­ка обучения учащихся этому приёму. В учебниках по математике И.И. Аргинской нет прямых указаний на его применение, однако его широкое использование не только предлагается, но и во многих случаях является единственным средством для поиска арифмети­ческого способа решения задачи.

  III. Поиск решения и составление плана решения задачи

Назначение этого этапа: установить связь между данными и исходными объектами, наметить последовательность действий.

План решения задачи – это лишь идея решения, его замысел. Может случиться, что найденная идея неверна. Тогда надо вновь возвращаться к анализу задачи и начинать все сначала.

Однослож­ного ответа на вопрос, как искать план решения текстовой задачи, нет. Поиск плана решения зада­чи является наиболее сложным процессом, который точно не определён. Можно только указать некоторые способы разбора текстовых задач, которые позволят осуществлять этот этап. Одним из наиболее из­вестных способов поиска плана решения задачи арифметиче­ским способом является разбор задачи по тексту или по ее вспомогательной модели.

В начальной школе используются различные способы разбора текстовых задач:

1)от данных задачи к ее вопросу (синтетический способ);

2)от вопросов задачи к ее данным (аналитический способ);

При разборе задачи от данных к вопросу младший школьник выде­ляет в тексте задачи два данных и на основе знания связи ме­жду ними (такие знания должны быть получены при анализе задачи) определить, какое неизвестное может быть найдено по этим данным, и с помощью какого арифметического действия. Затем, считая это неизвестное данным, учащийся вновь вы­деляет два взаимосвязанных данных, определяет неизвестное, которое может быть найдено по ним и с помощью какого действия и т.д., пока не будет выяснено, какое действие при­водит к получению искомого в задаче объекта.

При синтетическом способе разбора задачи формулировки вопросов могут быть следующими:

- Что спрашивается в задаче?

- Берём любые два данных. Задаём вопрос: Зная... и зная..., что можно узнать?

- Отвечаем на вопрос, выбираем ответ, приближающий к от­вету на вопрос задачи.

- Далее пункты 2 и 3 повторяются до получения ответа на вопрос задачи.

Приведём пример составления плана решения задачи и разбора задачи от данных к вопросу из учебника И.И. Аргинской для 3 класса. Синтетический способ разбора задачи представлен в виде схемы, однако чётко прослеживается цепочка рассуждений от данных к вопросу [2,С.85].

При разборе задачи от вопроса к данным необходимо обратить внимание на вопрос задачи и установить (на основе информа­ции, полученной при анализе задачи), что достаточно узнать для ответа на этот вопрос. Для чего нужно обратиться к усло­виям и выяснить, есть ли для этого необходимые данные. Если таких данных нет или есть только одно данное, то установить, что нужно знать, чтобы найти недостающее данное (недо­стающие данные), и т.д. Потом составляется план решения задачи. Рассуждения при этом проводятся в обратном порядке.

Приведём пример составления плана решения задачи и разбора задачи от вопроса к данным из учебника Г.В. Дорофеева для 1 класса [9,С.40].

Разные способы разбора текстовых задач отличаются тем, что при синтетическом способе порядок вычленения простых задач из составной задачи соот­ветствует плану решения, а при аналитическом – противоположен плану.

Ни один из приёмов разбора задачи не может считаться универсальным.

Продумывая работу над той или иной задачей, учитель должен творчески подходить к выбору способа разбора. Остано­вившись на одном из них, он должен позаботиться о чёткости, точности вопросов, которые будут задаваться в ходе анализа.

При решении задач в 3 действия и более не каждый ученик может удержать в памяти всю логическую цепочку. Если задача допускает разные способы решения, то уже в самом начале разбора ребёнок сталкивается с вариативностью рассуждений.

IV. Осуществление плана решения задачи

Назначение данного этапа – выполнить арифметические действия, выбранные при составлении плана решения, и найти ответ на вопрос (требование) за­дачи.

Решение той или иной задачи в начальной школе может выполняться устно или письменно. Примерно половина текстовых задач в начальной школе решается учащимися устно. При этом важны не только арифметические операции, но и пояснения к ним. Учить младших школьников комментировать действия правиль­но и кратко — одна из задач, стоящих перед учителем.

Для текстовых задач, решаемых арифметическим спосо­бом, используются следующие приёмы:

- запись по действиям (с пояснением, без пояснения, с во­просами);

- запись в виде выражения.

В 1 классе и начале 2 класса решение по действиям записывается без пояснений, но они проговариваются устно.

Приведём примеры различных записей плана решения за­дачи: «В трёх одинаковых ящиках 21 кг апельсинов. Сколько килограммов апельси­нов в 8 таких ящиках?»

 1. Запись решения по действиям с пояснением к каждому выполненному действию.

1)21:3 = 7 (кг) – масса одного ящика

2) 7 • 8 = 56 (кг) – масса 8-ми ящиков

2. Запись решения по действиям с вопросами:

1) Какова масса 1 ящика апельсинов?

21: 3 = 7 (кг)

2) Какова масса 8 ящиков?

7 • 8 = 56 (кг)

3. Запись решения в виде выражения.

21: 3 • 8 = 56 (кг)

Каждая форма записи решения используется в соответствие с целевой направленностью урока и конкретно работы над задачей на уроке. Каждый вид записи имеет свою развивающую ценность. В настоящее время редко используется форма записи решения задачи «по действиям с вопросом». Но именно она остаётся полезной для формирования умения осознанно и самостоятельно решать задачи, формулировать вопросы, понимать текст задачи, анализировать его. По-прежнему остаётся полезной форма записи «по действиям с пояснением», которая в большей степени способствует развитию самоконтроля, самооценки, самопроверки, что важно для реализации системно-деятельностного подхода. «Свёрнутая» запись решения задачи «выражением» полезна, когда на уроке решается большое количество задач, а ученики уже готовы удерживать план решения задачи в уме.

V. Проверка решения задачи, запись ответа

«Назначение данного этапа – установить правильность или ошибочность выполнения решения.

Проверка решения задачи – один из важных этапов работы над задачей. Цель проверки – установить, соответствует ли процесс и результат решения образцу правильного решения. В начальном курсе математики могут быть использованы следующие способы проверки решения текстовых задач:

1) составление и решение обратной задачи

«При проверке решения задачи этим способом учащиеся, как известно, должны выполнить ряд действий:

а) подставить в текст задачи найденное число;

б) выбрать новое искомое;

в) сформулировать новую задачу;

г) решить составленную задачу;

д) сравнить полученное число с тем данным первой задачи, которое было выбрано в качестве искомого».

Приведём пример задания из учебника для 4 класса И.И. Аргинской, предполагающего составление и решение обратной задачи [2, С. 30].

2) решение задачи другим способом

Пусть при решении задачи каким-то способом получен не­который результат. Если ее решение другим способом приво­дит к тому же результату, то можно сделать вывод о том, что задача была решена верно.

Под разными способами решения текстовой задачи чаще всего понимают различные арифметические действия, которые отличаются связями между данными и искомыми. Зачастую младшие школьники путают разные формы записи решения задачи (например, запиши решение задачи с помощью выражения) и разные способы ее решения. Пример [2,С.9]:

 

 

 

Если младшими школьниками достаточно хорошо усвоены ранее другие способы решения текстовых задач (алгебраический, практический, графиче­ский), то в ряде случаев каждый из них может выполнить функцию проверки решения задачи. Важно при этом, чтобы связи между данными и искомыми, на которых основаны арифметический и алгебраический способы, не совпадали.

3) соотнесение полученного результата и условия задачи

Суть данного приёма заключается в том, что найденный резуль­тат вводится в текст задачи и на основе рассуждений с выполнени­ем при необходимости арифметических действий устанавливается, не возникает ли противоречий.

При раскрытии содержания этого способа проверки часто выделяют лишь выполнение арифметических действий над числами, полученными в ответе, и соотнесение их с данными в условии. Однако смысл приёма гораздо глубже. Он заключается не только в выполнении арифметических действий и в получении исходных чисел, но и в обосновании рассуждений о том, что при правильном результате все отношения и зависимости между данными и искомыми будут выполнены;

4) прикидка ответа или установление его границ

Данный приём заключается в прогнозировании с некоторой степенью точности правильности результата решения. Применение «прикидки» даёт точный ответ на вопрос, правильно ли решена задача, лишь в том случае, когда полученный результат не соответ­ствует прогнозируемому.

Если в ходе проверки выясняется, что соответствия нет, то следует искать ошибку в решении. Прежде всего, надо проверить правильность всех вычислений. Если в них ошибка не обнаружится, то необходимо провести решение заново или, соотнеся каждое действие с условием, выяснить, правильно ли они выбраны. «Прикидка» облегчает поиск решения задачи, так как пред­полагает проведение первоначального анализа основных связей между данными и искомым, выделение основного отношения меж­ду ними;

5) решение задач «с малыми числами» с последующей проверкой вычислений. Данный приём используется в том случае, когда в задаче представлены многозначные данные. Их заменяют наименьшими числами и устанавливают правильность как хода рассуждений при решении задачи, так и результат решения.

Мы рассмотрели основные способы проверки решения задач. Умелое обучение учащих­ся всем приёмам, постоянное внимание учителя к данной работе, ее целенаправленность и целесообразность – эти факторы позволят превратить рассмотренный этап работы над задачей в средство оптимизации учебной деятельности школьников.

VI. Работа над задачей после ее решения

Назначение данного этапа – более полно и глубоко осознать решение задачи.

«Варьирование (т.е. изменение) данных, условия и вопроса является наилучшим развивающим приёмом (наряду с проверкой) на данном этапе. Регулярное использование этого приёма помогает учащимся лучше осознать ситуацию, предлагаемую в задаче, установить не только связь между данными и искомым, но и их взаимозависимость в динамике; учит младшего школьника не относиться к решению задачи формально, учит элементам поиска и творчества в процессе решения задачи». Приведём пример задания из учебника для 4 класса И.И. Аргинской, где предполагается варьирование условия [3, С 60].

Приведём пример задания из учебника для 4 класса И.И. Аргинской, где предполагается варьирование числовых данных[3, С.33].

 

 

 

Полезно также предложить решение задачи путём введения в ее условие дополнительных данных. Приведём пример[3, С.86].

 

 

Таким образом, систематическое решение текстовых задач будет спо­собствовать привитию учащимся умения самостоятельно мыслить, вдумчиво и рационально использовать приобретённые знания в учебной и практической деятельности. Причём это окажется возможным при условии, что реше­ние задач станет предметом самостоятельной работы уча­щихся. Многословность учителя в период работы над за­дачей снижает активную познавательную деятельность учащихся и в целом является тормозом развития их мышления.

 

           Вопросы и задания для самостоятельной работы

1. Обоснуйте, в чем различие современных методических подходов к обучению младших школьников решению текстовых задач.

2. Ознакомьтесь с видами заданий и сформулируйте их методическую цель.

1) Реши задачу: «В саду посадили 19 яблонь и 23 вишни. Сколько яблонь посадили в саду?»

2) Сравните тексты задач. Чем они похожи? Чем отличаются? Какую из них вы можете решить?

а) «В корзине было 15 огурцов. Несколько огурцов взяли. Сколько огурцов осталось в корзине?»

б) «В корзине было 15 огурцов. 9 огурцов взяли. Сколько огурцов осталось в корзине?»

3) Можно ли ответить на вопрос задачи? «На столе было 5 вилок и 4 ложки. Сколько ножей было на столе?»

 

Какие ещё методические приёмы можно использовать для достижения цели?

3. Как Вы организуете деятельность учащихся при выполнении задания: «Впиши пропущенные числа и запиши вопрос задачи, используя ее решение: (36 - 9): 3»?

В куске____м ткани. От него отрезали____ м. Из оставшейся ткани сшили платья, расходуя на каждое по____м. Сколько_________________________?

 Какой методический приём целесообразно использовать в том случае, если учащиеся допустят ошибки при выполнении задания?

  Один учитель решил воспользоваться приёмом построения схемы, другой – приёмом выбора схемы. Опишите, как организовать деятельность учащихся, если один учитель воспользовался приёмом построения схемы, а другой – приёмом выбора схемы.

4. Ознакомьтесь с заданием: Учительница записала на доске условие задачи: «Масса слив в ящике 36 кг, а в сумке – в 4 раза меньше» и предложила учащимся составить пять вопросов, на которые они смогут ответить, пользуясь данным условием. Какие вопросы составили младшие школьники?

5. Разработайте фрагмент урока, включающий в себя подготовительную работу и знакомство с простой задачей на движение.

6.  Раскройте содержание понятия «решение задачи» в рамках различных методических подходов к обучению решению задач. Какой точки зрения придерживаетесь Вы, почему?

7. Какова роль обучения младших школьников решению задач разными способами? Возможно ли целенаправленное обучение поиску разных способов решения задачи самими учащимися? Если да, то какие приёмы могут быть использованы для этого? Какие свойства арифметических действий можно использовать при решении задач различными арифметическими способами.

8. Какие способы или формы записи решения составных задач осваивают младшие школьники? Какой ошибки следует избегать при использовании термина разные способы решения? Чем обусловлен выбор той или формы для записи решения? В какой последовательности необходимо, на Ваш взгляд, вводить основные формы записи решения задачи? Чем это обусловлено?

9. Перечислите приёмы, помогающие установить верно ли решена задача. Дайте определение понятия «обратная задача». Сколько обратных задач можно составить к предложенной?

10. Какая зависимость существует между величинами, данными в задаче: «Из двух городов выехали одновременно навстречу друг другу два мотоциклиста. Один из них двигался со средней скоростью 70км/ч и проехал до встречи 140 км, а другой двигался со средней скоростью 65 км/ч. Найдите расстояние между городами».

Выполните наглядную интерпретацию задачи. Приведите пример рассуждений младших школьников при решении задачи разными способами. Оцените трудность каждого способа решения для младших школьников. Покажите, какие способы проверки решения задачи целесообразно использовать.

11. Объясните, почему следующая текстовая задача решается делением. «Мишутка выдумал 20 невероятных историй, что в 5 раз больше, чем выдумал Стасик. Сколько невероятных историй выдумал Стасик?» Определите вид задачи. Выполните запись ее условия разными способами. Какой методический приём целесообразно использовать для обоснования выбора действия при решении данной задачи. Приведите примеры рассуждений младших школьников при составлении задачи, обратной данной.

 

Литература

1. Аргинская И.И. Математика / И.И.Аргинская, Е.П. Бененсон, Л.С.Итина, С.Н. Кормишина: учебник для 1 кл: в 2 ч. Ч.2.- 2-е изд.стер. – Самара: Издательство «Учебная литература»: Издательский дом «Федоров», 2012. – 127 с.

2. Аргинская И.И. Математика / И.И. Аргинская, Е.И. Ивановская, С.Н. Кормишина: учебник для 3 кл: в 2 ч. Ч.2.- 2-е изд. – Самара: Издательство «Учебная литература»: Издательский дом «Федоров», 2012. – 144 с.

3. Аргинская И.И. Математика / И.И. Аргинская, Е.И. Ивановская, С.Н. Кормишина: учебник для 4 кл: в 2 ч. Ч.2. - 2-е изд. – Самара: Издательство «Учебная литература»: Издательский дом «Федоров», 2013. – 128 с.

4. Бантова М.А. Методика преподавания математики в начальных классах. Под.ред М.А.Бантовой. Учеб.пособие для учащихся школьных отделений пед.училищ. Изд-е 2-е перераб. и доп. М. «Просвещение», 1976. – 335 с.

5. Башмаков М.И. Математика: 1-й кл: учебник в 2-х ч. Ч.2 / М.И.Башмаков, М.Г.Нефедова. – М: АСТ: Астрель, 2011. – 150 с.

6. Башмаков М.И. Математика: рабочая тетрадь № 1 к учебнику М.И. Башмакова, М.Г. Нефедовой «Математика»: 3 кл./М.И. Башмаков, М.Г. Нефедова. – Москва: АСТ: Астрель,2013. – 65 с.

7. Башмаков М.И. Математика: рабочая тетрадь № 2 к учебнику М.И. Башмакова, М.Г.Нефедовой «Математика»: 3 кл./М.И. Башмаков, М.Г. Нефедова.- Москва: АСТ: Астрель,2013. – 81с.

8. Демидова Т.Е. Математика 1 кл: учебник для организаций, осуществляющих образовательную деятельность. В 3-х ч. Ч.3/ Т.Е.Демидова, С.А. Козлова, А.П.Тонких. – Изд.3-е,испр. – М. Баласс, 2016. – 64 с.

9. Дорофеев Г.В. Математика 1 кл. Учебник для общеобразоват. учреждений в 2ч. Ч.2 / Г.В. Дорофеев. – М.: Просвещение, 2011. – 96 с.

10. Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальной школе. Развивающее обучение: Сборник методических задач / Н.Б. Истомина, Ю.С. Заяц. – Смоленск, 2016. – 200 с.

11. Истомина Н.Б. математика: учебник для 2 класса общеобразовательных учреждений в 2-х ч. Часть 1/ Н.Б.Истомина.- 13-е изд. – Смоленск: Ассоциация XXI век, 2013. – 122с.

12. Кондаков К.И. Логический словарь / К.И. Кондаков. – М., 1971. – 380 с.

13. Моро М.И., Пышкало А.М. Методика обучения математике в I-III классах. Пособие для учителя. М. «Просвещение», 1975. – 304с.

14. Петерсон Л.Г. Математика: учебник для 1 класса в 3-х ч.Ч.3. – Изд-во «Ювента», 2005. – 97с.

15. Пойа Д. Как решать задачу/ Д.Пойа. – Пособие для учителей. – Москва: Государственное учебно-пед.изд-во Просвещения РСФСР, 1959. – 206 с.

16. Примерная основная образовательная программа начального общего образования – http://window.edu.ru/resource/623/70623/files/noo-prim.pdf (20.03.2017).

17. Салмина Н.Г. Знак и символ в обучении / Н.Г.Салмина. М.,1988. – 288с.

18. Стойлова Л.П. Математика / Л.П. Стойлова. – учебник для студ.высш.учеб.заведений – М.: Издательский центр «Академия», 2002. – 424 с.

19. Стойлова Л.П. Основы начального курса математики: учебное пособие для учащихся пед.училищ / Л.П.Стойлова, А.М.Пышкало. М.: Просвещение,1988. – 320с.

20. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования – http://mon.gov.ru/files/materials/7195/373.pdf (11.10.2011).

21. Цитаты и афоризмы о математике –  http://math4school.ru/citation.html

22. Чекин А.Л. Математика: 1 кл. Учебник в 2-х ч./ А.Л. Чекин; под ред. Р.Г. Чураковой. – 6-е изд. М.: Академкнига / Учебник, 2010. – 96 с.

23. Чекин А.Л. Математика: 3 кл. Учебник: в 2-х ч. Ч.1 / А.Л. Чекин; под ред. Р.Г. Чураковой. – 2-е изд., испр. – М.: Академкнига, 2012. – с. 114.

Тема 6. Методические аспекты подготовки младших школьников к Всероссийской проверочной работе в 4 классе по математике