На поверхности раздела диэлектриков.

 

e₁    e₂                                                    e₁                e₂

b c

               E₂ (D₂)                                  S _т1                      D₂

                               q₂                                                              q₂

 

 q₁                                                               q₁                        S _т2

a d                                                                    

                                                                   S _бок

 

  E₁ (D₁)                                                            D₁

                   а)                                                                            б)

Рисунок 1-1

 

На границе раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями e₁ и e₂ (рис. 1-1) происходит преломление векторов напряженности и смещения. Границу в малой окрестности рассматриваемой точки считаем плоской. Применяя к малому прямоугольному замкнутому контуру «abcd a» (рис.1-1 а), длинные стороны которого параллельны границе и вплотную прилегают к поверхности раздела, запишем закон электромагнитной индукции, учитывая, что магнитный поток сквозь бесконечно малую площадку, ограниченную контуром «abcd a», равен нулю:

.

Представив этот интеграл в виде суммы, получим:

 

.

На отрезках ab и cd, ввиду их малости, считаем напряженность одинаковой и равной соответственно  и  Интегралами по отрезкам bc и ad контура пренебрегли, так как они бесконечно малы по сравнению с отрезками ab и cd (bc= ad<< ab= cd). Окончательно можем записать:

   или           .

 

На поверхности раздела сред с различными диэлектрическими проницаемостями равны касательные (по отношению к границе) составляющие векторов напряженности электрического поля.

 

Для замкнутой поверхности, образованной боковой поверхностью цилиндра и двумя торцевыми поверхностями, расположенными вплотную к поверхности раздела диэлектриков, (рис.1-1 б), применяя постулат Максвелла, можем записать:

 

.

Интегралом по боковой поверхности цилиндра пренебрегаем ввиду его малости, по сравнению с интегралами по торцам, в пределах которых считаем векторы электрического смещения постоянными и равными соответственно и . Потоки через торцы разного знака, так как один из них входит в поверхность, а другой выходит, поэтому, сократив на  можем записать:

;           .

На поверхности раздела диэлектриков отсутствует поверхностные заряды (s = 0). Запишем окончательно граничные условия для вектора электрического смещения:

 

           или          

 

 

На поверхности раздела сред с различными диэлектрическими проницаемостями равны нормальные (по отношению к границе) составляющие векторов электрического смещения.

Поделив соотношения, записанные для составляющих векторов, получим условия преломления векторов на границе раздела:

 

На поверхности раздела проводника и диэлектрика.

 

                     g₁ e₂                                               g₁ e₂

 

       E ₁ (D ₁ ) = 0              E ₂ (D ₂ )                                                                   D₂

 

                               а)                                                                б)

Рисунок 2

В статическом поле заряды располагаются на поверхности проводника (s ≠ 0), поэтому внутри проводника поле отсутствует (E ₁=0, D ₁=0 ). Используя соотношения, полученные выше можем записать:

; ; .

В электростатическом поле векторы напряженности и смещения перпендикулярны поверхности проводника.