Уравнения электромагнитного поля в интегральной форме.

Лекция 1

Закон полного тока и закон электромагнитной индукции

В дифференциальной форме.

 

Применим названные законы для малого контура l₀, ограничивающего некоторую поверхность D S, сквозь которую проходит ток D i (либо магнитный поток D Ф). Стягивая контур l₀, в точку, т.е. устремляя D S к нулю, рассмотрим пределы отношений обеих частей уравнений к величине DS, при ее стремлении к нулю:

;                 

 

(В законе электромагнитной индукции в правой части стоит частная производная по времени, так как поток изменяется и во времени и за счет уменьшения размеров площадки DS, охваченной контуром интегрирования).

Для правой части закона полного тока можем записать:

,

где b – угол между вектором плотности тока и нормалью к поверхности, ограниченной контуром интегрирования l _o. Предел отношения в левой части уравнения называется проекцией ротора вектора на ту же нормаль:

.

Ориентируя нормаль к площадке вдоль осей координат, получим равенство всех компонентов рассматриваемых векторов. Это означает, что оба вектора равны друг другу. Поэтому можем записать закон полного тока в векторной форме:

.

Ротор вектора также является вектором, поэтому записанное уравнение содержит три уравнения для проекций вектора и является инвариантным по отношению к системе координат. Записать это уравнение в декартовой системе координат можно с помощью оператора «набла», применяя операцию векторного умножения:

=

 

= () + () + () .

В скобках записаны проекции вектора плотности тока на оси координат:

J_x= ; J_y= ; J_z= .

По аналогии запишем выражение для закона электромагнитной индукции:

.

Оно также содержит три уравнения для проекций.

Полная система уравнений электромагнитного поля в дифференциальной форме.

; ; ; ; ; ; .

 

Представленная полная система уравнений позволяет рассчитывать любые электромагнитные поля. В частных случаях для расчета могут потребоваться только некоторые уравнения из системы. Для решения системы дифференциальных уравнений необходимо задать граничные и начальные условия, соответствующие рассматриваемой конкретной задаче. Для задания граничных условий необходимо представлять, как изменяются векторы в электромагнитном поле на границах раздела сред с различными свойствами.

Граничные условия

Граничные условия в электростатическом поле.

На поверхности раздела сред с различными магнитными проницаемостями равны касательные (по отношению к границе) составляющие векторов напряженности магнитного поля и нормальные составляющие векторов индукции магнитного поля.

 

Лекция 1

Уравнения электромагнитного поля в интегральной форме.

 

Нам уже известно, что электромагнитное поле – это особый вид материи,  существующий как в связи с заряженными частицами, составляя с ними единое целое, так и в виде электромагнитных волн, или фотонов, движущихся со скоростью света.

Электромагнитное поле является носителем энергии, способной легко преобразовываться в другие виды энергии - механическую, тепловую, химическую, световую. Электромагнитное поле обладает и массой, величина которой чрезвычайно мала.

Кроме того, электромагнитное поле обладает особыми свойствами, оно оказывает силовое воздействие на заряженные частицы, пропорциональное заряду частицы и скорости ее движения. Только с помощью электромагнитного поля возможно ускорение и изменение траектории заряженных частиц.

Электрическое и магнитное поля – две стороны единого электромагнитного поля, которые неразрывно связаны между собой. В зависимости от изменения условий наблюдения может проявляться либо одна, либо другая его сторона.

 

Во всех случаях при наличии электрического тока возникает магнитное поле. Связь между электрическим током и напряженностью магнитного поля устанавливает закон полного тока (первое уравнение Максвелла):

.             

Этот закон справедлив для любого замкнутого контура. Ток в правой части уравнения проходит сквозь площадку, ограниченную контуром интегрирования, и включает в себя как ток проводимости, так и токи переноса и смещения, в том числе и ток смещения в пустоте.

 

Существует еще один закон, устанавливающий связь между электрическим полем и изменяющимся магнитным полем, это закон электромагнитной индукции (второе уравнение Максвелла):

.

При каждом изменении магнитного поля возникает связанное с ним электрическое поле.

Возникновение магнитного поля при появлении электрического тока, описываемое законом полного тока, было установлено экспериментально по действию на магнитную стрелку.. Попытки постановки эксперимента, иллюстрирующего закон электромагнитной индукции, долго оставались безуспешными. Даже великий Ампер, пытаясь установить возможность получения электрического поля с помощью магнитного поля, поставил в 1820 г. следующий опыт. Он подключил многовитковый соленоид к гальванометру, расположив его и соленоид в соседних комнатах, чтобы исключить возможность влияния манипуляций с соленоидом на гальванометр. Затем вносил постоянный магнит внутрь соленоида и переходил в соседнюю комнату, чтобы зафиксировать показания гальванометра. Никакого эффекта он не обнаружил. Аналогичный опыт 29 августа 1831 года осуществил Майкл Фарадей. Однако он работал с помощником, который по его команде вносил магнит в соленоид. Сам Фарадей в это время находился у гальванометра и зафиксировал отклонение его во время перемещения постоянного магнита. Тем самым был экспериментально установлен факт, подтверждающий наличие искомого эффекта – появление электрического поля при изменении магнитного поля.

Источником электрического поля являются также электрически заряженные тела. Связь электрического поля с вызывающим его зарядом устанавливают постулат Максвелла и теорема Гаусса:

;                      .

Мы помним, что линии векторов электрического смещения и напряженности электрического поля начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах.

Линии индукции магнитного поля являются замкнутыми сами на себя (не имеют начала и конца), что математически выражается принципом непрерывности магнитного потока:

.

Мы вспомнили основные уравнения электромагнитного поля в интегральной форме. С одной стороны в них находятся интегралы по поверхностям или по контурам от векторов поля, а с другой – суммы токов или зарядов в некоторой области пространства.

Из этих уравнений ничего нельзя сказать о величине векторов поля (D, E, B,H) в отдельных точках пространства. При этом неясно, как влияет распределение токов или зарядов, записанных в правой части уравнений, на величины векторов в отдельных точках. А именно эта информация необходима для расчета локальных нагревов, усилий, запаса электрической прочности и других важных технических параметров электротехнических устройств и установок.

Мы использовали интегральные соотношения для введения интегральных параметров электрических цепей. Сопротивление резистора (R) характеризует связь между напряжением и током в устройстве, позволяет определить тепловые потери в нем, но не дает информации, как распределен ток внутри проводника. Электрическая емкость конденсатора (С) характеризует связь между зарядом и разностью потенциалов между двумя заряженными телами в диэлектрике, позволяет определить запасенную в нем энергию электрического поля, но не дает информацию о величинах напряженности в произвольных точках диэлектрика. Индуктивность катушки (L) является коэффициентом пропорциональности между током в катушке и созданным им магнитным потоком, позволяет определить запасенную в ней энергию магнитного поля, однако не дает информацию о распределение магнитного поля около проводника с током и внутри него.

Вместе с тем имеются некоторые уравнения, дающие связь между различными характеристиками поля в каждой точке пространства:

;    ;

 ; ; .

 

Три последние составляющие плотности тока формально объединяют в одно уравнение:

 

Следует иметь в виду, что первое и второе слагаемое в этом уравнении не могут существовать одновременно в одной и той же точке пространства.

Представим уравнения, записанные в интегральной форме, в так называемой дифференциальной форме, т.е. получим связь между физическими величинами, характеризующими поле, в каждой точке пространства.