Глава 7: механика жидкостей и газов

 

Лекция № 10

1. Давление жидкости. Законы Паскаля и Архимеда

Молекулы газа, совершая беспорядочное, хаотическое движение, слабо связаны силами взаимодействия, поэтому они движутся свободно и в результате соударений стремятся разлететься во все стороны, заполняя весь предоставленный им объем, т. е. объем газа определяется объемом того сосуда, который газ занимает.

Молекулы жидкости расположены близко друг к другу, совершают колебательные движения вокруг положения равновесия, время от времени некоторые молекулы могут перескакивать с одного положения равновесия в другое. Этим объясняется свойство жидкости – текучесть. Жидкость же, имея определенный объем, принимает форму того сосуда, в который она заключена. Но в жидкостях в отличие от газов среднее расстояние между молекулами остается практически постоянным, поэтому жидкость обладает практически неизменным объемом.

 

Гидродин а мика (от гидро... и динамика), раздел физики, в котором изучаются движение несжимаемых жидкостей и взаимодействие их с твёрдыми телами.

 

При решении любой задачи в гидродинамике применяют основные законы и методы механики и, учитывая общие свойства жидкостей, получают решение, позволяющее определить скорость, давление и касательную напряжения в любой точке занятого жидкостью пространства. Механическое напряжение, мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешних воздействий.

 

Движение жидкостей или газов представляет собой сложное явление. Для его описания используются различные упрощающие предположения (модели). Под моделью несжимаемая жидкость предполагается  жидкость, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем. Под идеальной жидкостью понимают жидкость без внутреннего трения между движущимися слоями.

 

 Если в покоящуюся жидкость поместить тонкую пластинку, то части жидкости, находящиеся по разные стороны от нее, будут действовать на каждый ее элемент ΔS с силами ΔF, которые независимо от того, как пластинка ориентирована, будут равны по модулю и направлены перпендикулярно площадке ΔS, так как наличие касательных сил привело бы частицы жидкости в движение.

Физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со стороны жидкости на единицу площади, называется давлением р жидкости:

                      (1)

 Единица давления — паскаль (Па): 1 Па равен давлению, создаваемому силой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1 м² (1 Па = 1 Н/м²). Давление при равновесии жидкостей (газов) подчиняется закону Паскаля: давление на поверхности жидкости, произведенное внешними силами, передается жидкостью одинаково во всех направлениях.

При равновесии жидкости давление по горизонтали всегда одинаково, иначе не было бы равновесия. Поэтому свободная поверхность покоящейся жидкости всегда горизонтальна вдали от стенок сосуда. Если жидкость несжимаема, то ее плотность не зависит от давления.

 

При поперечном сечении S столба жидкости, его высоте h и плотности р

вес Р = pgSh, а давление на нижнее основание:

             (2)

т.е. давление изменяется линейно с высотой. Давление pgh называется гиростатическим давлением.

Согласно формуле (2), сила давления на нижние слои жидкости будет больше, чем на верхние, поэтому на тело, погруженное в жидкость, действует сила, определяемая законом Архимеда: на тело, погруженное в жидкость(газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа):

                (3)

где ρ — плотность жидкости; V— объем тела, погруженного в жидкость.

 

2. Уравнение неразрывности

Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости — потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока.   Линия тока (применяется при неустановившемся движении) это кривая, в каждой точке которой вектор скорости в данный момент времени направлены по касательной.

Трубка тока - трубчатая поверхность, ограниченная линиями тока с бесконечно малым поперечным сечением. Часть потока, заключенная внутри трубки тока называется элементарной струйкой.

Рис. Линия тока и струйка

Течение жидкости может быть установившимся и неустановившимся. Установившимся движением называется такое движение жидкости, при котором в данной точке русла давление и скорость не изменяются во времени

υ = f(x, y, z) р = φ f(x, y, z)

Движение, при котором скорость и давление изменяются не только от координат пространства, но и от времени, называется неустановившимся или нестационарным

υ = f₁(x, y, z, t) р = φ f₁(x, y, z, t)

 

 

Рассмотрим какую-либо трубку тока.

S₁ и S₂ - сечения п ерпендикулярные направлению скорости.

 

За время Δt через сечение S проходит объем жидкости SvΔt;

 

Следовательно, за 1 с через S₁ пройдет объем жидкости S₁v₁, где v₁ — скорость течения жидкости в месте сечения S_1.

Через сечение S₂ за 1 с - S₂v₂

Здесь предполагается, что скорость жидкости в сечении постоянна. Если жидкость несжимаема (р = const), то через сечение S₂ пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение S₁ т. е.

Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой жидкости на

поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока. Данное соотношение называется уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости.

 

3. Уравнение Бернули

 

При движении идеальной жидкости не происходит превращения механической энергии во внутреннюю, поэтому выполняется закон сохранения механической энергии.

 

Стационарным принято называть такой поток жидкости, в котором не образуются вихри. В стационарном потоке частицы жидкости перемещаются по неизменным во времени траекториям, которые называются линиями тока. Опыт показывает, что стационарные потоки возникают только при достаточно малых скоростях движения жидкости.

 

Рассмотрим стационарное движение идеальной несжимаемой жидкости по трубе переменного сечения. Различные части трубы могут находиться на разных высотах. У идеальной жидкости трение полностью отсутствует.

Выделим в стационарно текущей несжимаемой идеальной жидкости трубку тока, ограниченную сечениями S₁ и S₂, по которой жидкость течет слева направо. Пусть в месте сечения S₁ скорость течения v₁ давление р₁ и высота, на которой это сечение расположено, h₁. Аналогично, в месте сечения S₂ скорость течения v₂, давление р₂, высота сечения h₂. За малый промежуток времени Δt жидкость перемещается от сечения S₁ к сечению S’₁, от S2 к S'₂.

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии Е₂ — Е₁ идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы т жидкости, где    — полные энергии жидкости массой т в местах сечений S₁ и S₂ соответственно.

 

С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S₁ и S₂, за рассматриваемый малый

промежуток времени Δt:

   

аналогично

 

Тогда работа:

Приравниваем правые части:

сокращаем на ΔV и переносим слагаемые с индексом 1 влево, а с2 вправо:

Или

р - статическое давление (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела),

- дина мическое давление,

pgh - гидростатическое давление.

Уравнение Бернулли: сумма статистического, динамического и гидравлического давлений остается неизменной вдоль всей трубы.

 

При переходе жидкости с участка трубы с большим сечением на участок с меньшим сечением скорость течения возрастает, т. е. жидкость движется с ускорением.Следовательно, на жидкость действует сила. В горизонтальной трубе эта сила может возникнуть только из-за разности давлений в широком и узком участках трубы. Давление в широком участке трубы должно быть больше чем в узком участке.Если участки трубы расположены на разной высоте, то ускорение жидкости вызывается совместным действием силы тяжести и силы давления. Сила давления – это упругая сила сжатия жидкости. Несжимаемость жидкости означает лишь то, что появление упругих сил происходит при пренебрежимо малом изменении объема любой части жидкости.

 

4. Поверхностное натяжение

 

Выделим внутри жидкости какую-либо молекулу А. Эта молекула взаимодействует со всеми молекулами, которые находятся вокруг нее. Результирующая сила взаимодействия равна нулю, т.к. все силы скомпенсированы.

Иначе обстоит дело, если молекула, расположена в точке В. В данном случае молекула взаимодействует с молекулами жидкости не со всех сторон (взаимодействием с молекулами газа можно пренебречь, т.к. оно мало), поэтому результирующая сила будет направлена внутрь жидкости. Таким образом, результирующие силы всех молекул поверхностного слоя оказывают на жидкость давление, называемое молекулярным (или внутренним).

Молекулярные силы действуют на любую замкнутую линию на свободной поверхности жидкости по нормали к этой линии таким образом, что стремятся сократить площадь поверхности жидкости. В этом и проявляется поверхностное натяжение.

Молекулярные силы, действуют на любую свободную поверхность жидкости по нормали к этой поверхности, таким образом, что стремятся сократить площадь поверхности жидкости. Следовательно, жидкость при отсутствии внешних сил будет принимать такую форму, чтобы при заданном объеме она имела минимальную поверхность, т.е. форму шара.

Коэффициент поверхностного натяжения равен силе поверхностного натяжения, приходящейся на единицу длины контура, ограничивающего поверхность.

             

Единица поверхностного натяжения — Ньютон на метр  

 

Коэффициент поверхности зависит от химического состава жидкости, ее температуры и от примесей, имеющихся в жидкостях.

Поверхностное натяжение с повышением температуры уменьшается, так как увеличиваются средние расстояния между молекулами жидкости и увеличивается амплитуда колебаний молекулы в положении равновесия.

Суммарная энергия частиц жидкости складывается из энергии их хаотического (теплового) движения и потенциальной энергии, обусловленной силами межмолекулярного взаимодействия. Для перемещения молекулы из глубины жидкости в поверхностный слой надо затратить работу. Эта работа совершается за счет кинетической энергии молекул и идет на увеличение их потенциальной энергии. Поэтому молекулы поверхностного слоя жидкости обладают большей потенциальной энергией, чем молекулы внутри жидкости. Эта дополнительная энергия, которой обладают молекулы в поверхностном слое жидкости, называемая поверхностной энергией, пропорциональна площади слоя ΔS: