Тема: основной Закон вращательного движения

1. Момент силы, момент инерции.

 

Мы рассмотрели кинематику вращательного движения, т. е. описание вращательного движения с помощью понятий углового перемещения, угловой скорости и углового ускорения. Рассмотрим теперь динамику, т. е. то, что приводит к вращательному движению. Точно так же, как существует аналогия между уравнениями кинематики поступательного и вращательного движений, имеются вращательные эквиваленты и для динамики. Например, первый закон Ньютона для вращательного движения гласит, что свободно вращающееся тело будет сохранять состояние покоя или вращения с постоянной угловой скоростью до тех пор, пока на него не действуют какие-либо внешние силы (или, как мы скоро увидим, моменты сил), стремящиеся изменить это движение. Ясно, что для того, чтобы тело начало вращаться относительно оси, необходимо наличие силы. Но каким при этом будет направление силы, а также где приложена эта сила?

Известно, что передвинуть массивный предмет (например, ящик) вручную тяжело, гораздо легче передвинуть его с помощью длинной палки, трубы (лома), т.е. с помощью рычага, причем, чем длинней этот рычаг, тем легче это сделать (прикладывается меньшая сила при большей длине рычага). Вспомним знаменитое изречение Архимеда (ок. 286–212 гг. до н.э.): «Дайте мне точку опоры (и рычаг) и я переверну Землю».

Любое тело будет совершать вращательное движение только в том случае, если приложенная сила:

1) Не будет совпадать с осью вращения

2) Если направление силы не будет проходить через ось вращения.

 

Действие силы на твёрдое тело характеризуется тремя величинами: модулем, направлением и линией действия. Все три величины можно объединить в одну, введя понятие момента силы. Необходимо отметить, что моменты сил можно определять относительно центра (некой характерной точки) и оси, причём эти понятия связаны друг с другом, но не являются эквивалентными. Их следует различать. Момент силы относительно центра является величиной векторной, момент той же силы относительно оси представляется скалярной величиной, потому, что, по сути, представляется проекцией вектора момента силы на эту ось.

Пусть в точке А, характеризуемой радиус-вектором , приложена сила . Под действием этой силы тело начнет вращаться вокруг оси, проходящей через точку О. Момент этой силы относительно точки О определится векторным произведением радиус-вектора и силы:

                               (1)        

Модуль момента силы

               (2)      

Направление вектора момента силы определяется по правилу правого винта. Направление момента силы относительно точки можно определять по правилу Н.Е. Жуковского: вектор момента силы относительно неподвижного центра направлен перпендикулярно к плоскости, в которой лежат сила и центр О, таким образом, что с его конца можно видеть стремление силы вращать тело против движения часовой стрелки.

Если на тело действует несколько моментов сил, то движение происходит под действием момента результирующей силы.

Момент силы считается положительным, если он стремится вращать тело против часовой стрелки. Отрицательным считается момент силы, стремящийся поворачивать тело в направлении, совпадающем с ходом часовой стрелки. Момент силы измеряется в [ Н ⋅м]. Момент силы может быть равен нулю только в том случае, если дли- на плеча силы равна нулю. 

 

2. Основное уравнение динамики вращения

 

Разобьем тело на множество материальных точек, характеризующихся массой m_i искоростью v_i. Обозначим f_i, силу действующую на i –ю точку со стороны k -й материальной точки, а через F_i - равнодействующая всех сил, приложенных к i –й точке. Все силы спроецируем на направление перпендикуля рное телу (вектора убираются).

По второму закону Ньютона уравнение движения этой материальной точки имеет вид:

Учитывая связь линейной и угловой скорости:

 

Умножим обе части уравнения на r_i:

Тогда уравнение для всего тела:

             (3)

 

- угловое ускорение