Принцип представления чисел в позиционных

Системах счисления

 

(Слайд).Система счисления – это совокупность правил записи чисел цифровыми знаками.

Каждому числу А или каждой цифре d в записи числа А можно сопоставить некоторый количественный эквивалент, выражаемый числом.

Системы счисления бывают позиционные (ПСС) и непозиционные (НПСС). В настоящее время и в технике, и в быту широко используются как позиционные, так и непозиционные системы счисления. Примерами ПСС и НПСС являются, соответственно, десятичная и римская системы счисления.

Позиционной называется система счисления, в которой вес разряда числа определяется его позицией в записи числа. В противном случае систему счисления называют непозиционной.

Вспомним нашу привычную десятичную систему счисления, в которой мы с детства производим все расчеты. Уже в начальной школе мы привыкли к терминам "единицы", "десятки", "сотни", "тысячи", "десятые", "сотые", "тысячные" и не задумываемся над тем, что они означают вес разряда, выраженный в виде числа, равного , где k – целое число. Например, число 125,46 можно представить в виде суммы:

                      

 

Аналогично любое число  в десятичной системе счисления можно представить в виде подобной суммы: (Слайд).

 

(1.1)

 

где n – количество знаков в целой части числа;

m – количество знаков в дробной части числа;

 – вес i-го разряда;

 – весовой коэффициент для i-го разряда числа.

(Слайд). Совокупность п + m = r разрядов, используемое для записи числа, с указанием положения запятой, образует разрядную сетку (рисунок 1.1).

Количество возможных вариантов значения коэффициента  в десятичной системе счисления равно 10, поскольку для записи чисел в ней используются десять знаков – арабские цифры "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8" и "9". Число 10 является основанием системы счисления.

Основание системы счисления – это число, равное количеству знаков, которые используются в этой системе для записи чисел.

Исторически сложилось, что десятичная система получила наибольшее распространение, хотя по этому принципу можно сделать аналогичную запись в любой другой системе счисления c любым другим основанием.

 

 

Рисунок 1.1 – Разрядная сетка для записи числа

 

В таблице 1.1 прослеживается аналогия между позиционными системами счисления. (Слайд).

 

Таблица 1.1 – Параметры позиционных систем счисления
Название системы счисления	Основание системы счисления	Знаки, использующиеся для записи чисел
Двоичная	2	0, 1
Троичная	3	0, 1, 2
Четверичная	4	0, 1, 2, 3
…	…	…
Восьмеричная	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
…	…	…
Десятичная	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
…	…	…
Шестнадцатеричная	16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
…	…	…

 

(Слайд). Для числа в системе счисления с основанием  выражение (1.1) преобразуется к виду:

 

        (1.2)

 

С началом развития цифровой вычислительной техники большой интерес стала вызывать двоичная система, поскольку вычислительная машина любого поколения и любой степени сложности – это совокупность логических схем.