Зависимости ускорения от времени

Если для материальной точки, движущейся вдоль прямой, известна зависимость ускорения от времени а(t), то задача определения закона движения разбивается на два этапа − расчет зависимости скорости от времени v(t), по которой рассчитывается закон движения х(t). Для расчета зависимости скорости от времени можно использовать процедуру, аналогичную рассмотренной в предыдущем разделе. Следует разбить время движения на малые промежутки Δt_i, в течение которых движение приблизительно можно считать равноускоренным. Изменение скорости за этот промежуток времени равно

Δv_i = а_iΔt_i.

Если в момент времени t_o скорость точки равнялась v_o, то в момент времени t скорость может быть рассчитана по формуле

Далее можно провести процедуру расчета координаты, описанную в предыдущем параграфе.

Таким образом, знание зависимости ускорения точки от времени и двух дополнительных условий (начальной скорости и начальной координаты) позволяет построить закон движения материальной точки.

8.4. Определение закона движения − основная задача кинематики

Мы определили кинематические характеристики механического движения − скорость, ускорение (скорость изменения скорости). В общем случае ускорение также может изменяться в процессе движения, поэтому можно было бы ввести и такую характеристику движения, как «скорость изменения ускорения». Однако она уже является излишней, так как законы динамики позволяют находить именно ускорение движения. Поэтому основная задача кинематики в самой общей постановке формулируется следующим образом: по известной зависимости ускорения от времени, координаты и скорости найти закон движения тела.

Рассмотрим общий алгоритм решения уравнений динамики, которые имеют вид

а = f(t, х, v), (1)

где a = Δv/Δt − ускорение точки, движущейся вдоль оси Х, v = Δv/Δt − скорость тела, f − отношение суммы сил, действующих на тело, к массе тела.

Действительно, на тело могут действовать силы, которые зависят от координат (силы упругости, гравитационного, электрического и магнитного взаимодействий и т. д.), скорости (рассматриваемая сила сопротивления воздуха, сила Лоренца и т. д.) и от времени (внешние переменные силы). Поэтому уравнение (1) является наиболее общим.

Трудно предложить что-нибудь более оригинальное, чем в очередной раз разбить время движения на малые промежутки времени Δt и попытаться определить приближенные значения координаты х_k и скорости v_k в дискретные моменты времени:

 

t_k = t_o + kΔt (k = 1, 2, 3...).

 

Зная начальные условия (при t = t_o, х = х_o, v = v_o), по формуле (1) можно вычислить начальное ускорение:

 

а_o = f(t_o, х_o, v_o).

 

В течение малого промежутка времени Δt можно пренебречь изменением ускорения и считать движение равноускоренным. В этом приближении скорость и координата тела по окончании промежутка Δt рассчитываются по формулам

 

v₁ = v_o + a_oΔt;

 

x₁ = x_o + v_oΔt + a_o(Δt)²/2.

 

Далее расчет можно продолжить:

– вычислить ускорение в момент времени t₁, считая его постоянным в течение следующего промежутка Δt,

– найти скорость и ускорение в следующий момент времени и т. д.

Таким образом, мы приходим к пошаговому алгоритму определения закона движения по известной зависимости ускорения тела от времени, координат и скорости. Этот метод называется методом Эйлера и выражается формулами

a_k = f(t_k, x_k, v_k);

 

v_k+1 = v_k + a_kΔt;

 

x_k+1 = x_k + v_kΔt + a_k(Δt)²/2.

 

Подчеркнем, что описанный метод решения основной задачи механики носит, скорее, теоретический характер − он является доказательством принципиальной разрешимости поставленной задачи. При решении большинства задач он используется крайне редко − разработаны более совершенные методы, иногда позволяющие получить аналитическое (в виде формулы) выражение для закона движения. Для решения многих задач механики используются чрезвычайно сложные математические методы, более того, именно потребности механики во многом стимулировали развитие математики (достаточно сказать, что основы дифференциального и интегрального исчислений были разработаны И. Ньютоном для решения механических задач). Правда, число задач, допускающих аналитическое решение, невелико, поэтому в настоящее время для расчета движения широко используют приближенные компьютерные методы, позволяющие получить решение с любой требуемой точностью. Суть этих методов и сводится к разбиению движения на малые интервалы, аналогично рассмотренному методу Эйлера.

Самое существенное в нашем изложении − убежденность в том, что знание зависимости ускорения от времени, координат и скорости, а также начальных условий (координат и скоростей в некоторый момент времени) позволяет рассчитать закон движения любой механической системы.

Задание для самостоятельной работы

Пусть для материальной точки, движущейся вдоль оси X, известна зависимость скорости точки от координаты v(х). Построим график зависимости величины обратной скорости 1/v(x) от координаты. Какой смысл имеет площадь под графиком зависимости 1/v(x)? Разработайте процедуру расчета закона движения материальной точки x(t) по известной зависимости v(х).