О применимости модели равномерного движения

Мы рассмотрели простейший вид механического движения. Теперь с огорчением  вынуждены признать, что такое движение практически не встречается в реальном мире¹: шарик, катящийся по столу, рано или поздно останавливается; автомобили и поезда постоянно изменяют скорость своего движения...

Тем не менее наши усилия по изучению равномерного движения не напрасны − мы построили и описали одну из моделей механического движения, которая, как всякая модель, упрощает действительное движение. Но эта модель может применяться (и применяется!) для описания некоторых реальных движений. Необходимо только строго очертить рамки ее применимости, которые определяются постановкой задачи: насколько подробно, детально и с какой точностью требуется описать движение. По определению, движение является равномерным, если за равные промежутки времени тело проходит равные отрезки пути. Следовательно, движение можно считать (моделировать) равномерным, если можно пренебречь различиями в расстояниях, проходимых телом за равные промежутки времени.

Допустим, нам необходимо описать движение пассажирского поезда дальнего следования: нас интересует его положение через интервалы времени порядка одного часа. Если поезд делает остановки длительностью несколько минут, то можно говорить, что поезд движется приблизительно равномерно, считая, что остановки просто незначительно снижают его среднюю скорость. Проясним смысл такого приближения. В таблице приведен график движения славянского экспресса «Минск − Москва». Время прибытия и отправления местное.

 

№ пп	Название станции	Время прибытия	Время стоянки, мин	Время отправления	Расстояние, км
1.	Минск-Пассажир.	−	−	18.28	0
2.	Смолевичи	19.02	2	19.04	39
3.	Жодино	19.22	2	19.24	61
4.	Борисов	19.40	3	19.43	79
5.	Крупки	20.12	8	20.20	119
6.	Толочин	20.56	2	20.58	169
7.	Орша-Центр.	21.31	14	21.45	212
8.	Осиновка	22.07	2	22.09	238
9.	Смоленск-Центр.	0.07	5	0.12	331
10.	Вязьма	2.21	22	2.43	507
11.	Москва, Бел. вокзал	6.00	−	−	750

 

Несложно посчитать время прибытия и отправления поезда по каждой станции с момента его отправления из Минска. Не забудьте учесть, что белорусское и московское время отличаются на один час. Переход от одного к другому происходит на границе, между станциями Осиновка и Смоленск. Нанесем эти данные (время прибытия, отправления и соответствующие расстояния) на график и соединим их отрезками прямых (рис. 38).

 

 

рис. 38

Тем самым получим график закона движения поезда. Заметим, что и при таком построении мы получим приближенный график, на котором видим, что движение между станциями происходит равномерно, без разгонов и торможений.

Модель равномерного движения предполагает, что скорость на всем пути постоянна. Для построения графика этого приближения следует просто соединить начальную и конечную точки. По наклону этого графика либо с помощью формулы легко найти среднюю скорость движения:

v = S/t = 750/10,5 ≈ 71 км/ч.

Сравнение двух графиков ступенчатого (с учетом остановок) и прямолинейного (приближение постоянной скорости) позволяет оценить погрешность сделанного приближения. В рассмотренном примере погрешность определения координаты (в определенный момент времени) не превышает 25 км. Устраивает вас такая точность описания? Если да, то можете «забыть» об остановках!

Но, по-видимому, для пассажира важнее точность, с которой определяется время прибытия и отправления поезда на станцию − как бы не проспать свою остановку или не опоздать к отправлению!

В качестве последнего примера в данном разделе рассмотрим движение гладкого твердого шара по горизонтальному столу, пущенного с начальной скоростью v_o = 1,0 м/с. Если считать, что эта скорость не изменяется, то график такого приближенного описания будет являться прямой линией (рис. 39).

 

рис. 39

В действительности из-за неизбежного трения скорость шара с течением времени будет уменьшаться, поэтому его координата будет меньше, чем предсказывается законом равномерного движения. Причем это «отставание» будет нарастать с течением времени. Если задана (или вы сами определили) максимально допустимая погрешность определения координаты, то вы можете с помощью графиков определить тот промежуток времени, в течение которого погрешность приближения постоянной скорости вас удовлетворяет. То есть в этом случае требуемая точность описания определяет промежуток времени, в течение которого можно пользоваться моделью равномерно движения.

Подведем итог: критерии применимости модели следует формулировать самостоятельно в каждом конкретном случае.

¹Наиболее значительным примером равномерного движения является распространение света в вакууме, скорость которого постоянна. Но существует ли абсолютный вакуум?