Геометрическое представление векторов

Во многих случаях при описании различных физических явлений возникает необходимость задавать не только численное значение некоторой физической характеристики, но и ее направление. Например, если мы говорим, что тело сместилось на расстояние S, то для определения конечного положения тела нам необходимо указать, в каком направлении произошло это смещение.

Для математического описания таких физических характеристик «изобрели» понятие вектор¹ и разработали правила математических операций над ним.

Вектором мы будем называть математический объект, который задается численной величиной (модулем) и направлением.

Наиболее наглядным представлением вектора является направленный отрезок прямой (рис. 55),

 

рис. 55

который можно изобразить в виде «стрелки» A_oA₁ длина которой равна модулю вектора. Можно говорить о начале вектора (точка А_o) и его конце (точка А₁). Заметим, что все параллельные «стрелки» одинаковой длины являются изображениями одного и того же вектора. Иначе говоря, вектор можно переносить параллельно самому себе − при этом его модуль и направление не изменяются. Будем обозначать векторы латинским буквами со «стрелочкой» сверху, например, вектор

.

Длину вектора (его модуль) будем обозначать

либо той же буквой, но без «стрелочки»: Рассмотрим математические операции, которые можно проводить над векторами. Заметим, что эти правила не доказываются − они задаются «по определению».

1. Умножение вектора на число (рис. 56).

 

рис. 56

Произведением вектора А на число λ называется вектор В, модуль которого равен произведению модуля вектора А на модуль числа λ:

направление не изменяется, если λ > 0; изменяется на противоположное, если λ < 0. Если λ = −1, то вектор

называется вектором, противоположным вектору А, и обозначается

2. Сложение векторов. Для того чтобы найти сумму двух векторов А и В вектор

необходимо изобразить векторы-слагаемые так, чтобы начало второго вектора совпадало с концом первого. Тогда суммой будет вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец − с концом второго. Это правило сложения векторов называется «правилом треугольника» (рис. 57).

 

рис. 57

Легко доказать, что для векторов «от перемены мест слагаемых сумма не изменяется».

Укажем еще одно правило сложения векторов − «правило параллелограмма». Если совместить начала векторов-слагаемых и построить на них параллелограмм, то суммой будет вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма (рис. 58).

 

рис. 58

Понятно, что сложение по «правилу параллелограмма» приводит к тому же результату, что и по «правилу треугольника». «Правило треугольника» легко обобщить (на случай нескольких слагаемых). Для того чтобы найти сумму векторов

необходимо начало второго вектора совместить с концом первого, начало третьего − с концом второго и т. д. Тогда начало вектора С совпадет с началом первого, а конец С − с концом последнего (рис. 59).

 

рис. 59

3. Вычитание векторов. Операция вычитания сводится к двум предыдущим операциям: разностью двух векторов является сумма первого с вектором, противоположным второму:

Можно также сформулировать «правило треугольника» для вычитания векторов: необходимо совместить начала векторов А и В, тогда их разностью будет вектор

проведенный от конца вектора В к концу вектора А (рис. 60).

 

рис. 60

В дальнейшем мы будем говорить о векторе перемещения материальной точки, то есть векторе, соединяющем начальное и конечное положения точки. Согласитесь, что введенные правила действия над векторами вполне очевидны для векторов перемещения.

4. Скалярное произведение векторов. Результатом скалярного произведения двух векторов А и В является число с, равное произведению модулей векторов на косинус угла α между ними.

 

 

рис. 61

Операция скалярного произведения векторов очень широко используется в физике. В дальнейшем нам достаточно часто придется сталкиваться с такой операцией.

¹Существует несколько строгих математических определений векторов, однако сейчас мы не будем стремиться к абсолютной математической строгости в изложении векторного исчисления (предоставим решение этой проблемы специалистам математикам) − нам необходимо получить наглядное представление о векторах и правилах действий над ними.