Моделирование многомерных случайных данных

        Если y – случайная величина с математическим ожиданием m и дисперсией σ², то

x = (y – m)/σ

- случайная величина с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, y = m +σ x. Если Y – r -мерный случайный вектор со средним m и ковариационной матрицей Σ, то

X = Σ^-1/2(Y - m)

- r -мерный случайный вектор со средним 0 и ковариационной матрицей E (операция «отбеливания» вектора Y), Y = m + Σ^1/2 X.

   Если функция «квадратный корень из матрицы» недоступна, поступаем следующим образом. Пусть Q -диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа Σ,

P – матрица, столбцами которой являются нормированные собственные векторы S. Построим матрицу

Тогда S ^1/2= . Это позволяет, в частности, моделировать выборки из r -мерного нормального закона N_r (m,Σ), используя стандартный датчик нормально распределенных случайных чисел X = randn(r, n). 

Документ 3.1. Моделирование выборки из 2-мерного нормального закона

N =8;       %объем выборки X = randn (2, N); a =[1 3]'; %вектор средних sx =2; sy =3; rxy =-0.5; %СКО и коэффициент корреляции S=[sx^2 rxy; rxy sy^2]; %=========Моделирование выборки из N (a, S)======== % S 1= sqrtm (S);     %квадратный корень из положительно-определенной матрицы %Если нет доступной функции sqrtm (S), то [ P, Q ]= eig (S);          %собственные векторы и собственные числа S q =[ sqrt (Q (1,1)) sqrt (Q (2,2))]; S 1= P '* diag (q)* P;    % квадратный корень Y = S 1* X;             % отбеливание Z (1, J = a (1)+ Y (1, J; %добавление среднего к 1-й координате Z (2, J = a (2)+ Y (2, J; %добавление среднего к 2-й координате

Ответ: X = 0.4853 -0.1497 -0.0793 -0.6065 0.4694 0.0359 0.5354  -0.2037 0.1326 1.0184 -0.5955 -0.4348 1.5352 -1.3474 -0.9036 -0.6275 0.5529 -2.0543 1.5929 -1.5804 Z = 2.0290 0.7446 0.6879 -0.0766 2.0280 1.1345 2.0141 0.7987 1.1054 3.1924 1.1660 1.7114    7.6108 -0.9791 0.2438 1.1149 4.6041 -3.1392 7.7629 -1.8405

 

Замечание. Имеется следующий распространенный источник ошибок при моделировании векторных выборок. Если имеются случайные величины x, y со средним 0, СКО σ _x, σ _y и число  то матрица

всегда является ковариационной матрицей случайного вектора  Если же величин три или больше, то коэффициенты корреляции между ними нельзя задавать произвольно. Например, если пары величин (x, y) и (y, z) связаны сильной положительной связью, то связь в паре (x, z) не может оказаться отрицательной. Это значит, что, задавая ковариационную матрицу трехмерного случайного вектора в виде

,

можно прийти к противоречию. Критерий корректности задания  состоит в том, что все собственные числа матрицы Σ должны быть больше или равны 0.

Пример 3.3.  Организовать процедуру эмуляции серии значений вектора X из задачи 3.2 и вычислить по методу Монте-Карло вероятность попадания этого вектора в треугольник с вершинами (0,0), (2,1), (1,3).

Документ 3.2. Файл-сценарий в ИМС MatLab

SIG=[1 -1; -1 2]; %ковариационная матрица N=10000;          %число эмуляций в методе Монте-Карло X0=randn(2,N);    %выборка из распределения N(0,E) X=sqrtm(SIG)*X0; %выборка из распределения N(0,SIG) %Ux=[0 2 1];       %абсциссы вершин треугольника %Uy=[0 1 3];       %ординаты вершин треугольника %Находим номера точек, попавших в треугольник(на этих местах I(k)=1) I=inpolygon(X(1, J,X(2, J,Ux,Uy); K=sum(I);          %число точек,попавших в треугольник P=K/N              %относительная частота попадания

Ответ: P =0.0561

 

Задания на лабораторную работу

1. Решить приведенные ниже задачи. Привести вычисления и иллюстрации в ИМС MatLab.

2. Задать 2 набора значений СКО и коэффициентов корреляции. Сформировать 2 3-мерные ковариационные матрицы. Проверить непротиворечивость.

3. Сформировать 2 3-мерных облака точек как выборки объемом 1000 из заданных таким образом нормальных законов.

4. Получить выборочные оценки параметров. Дать графические иллюстрации.

Контрольные вопросы

  3.1. Построить для вектора X из задачи 2 доверительный эллипс с уровнем значимости 0.9.

  3.2. , k = 2, a = [1 2] ^T, σ₁² = 1, σ₂² = 2, ρ = 0. Найти вероятность попадания этого вектора в прямоугольник

D ={(x,y): -1< x <2, 0< y <2.5}.

3.3. , k = 2, a = [1 2] ^T, σ₁² = 2, σ₂² = 2, ρ = 0. Найти радиус R круга, для которого вероятность попадания в него вектора X равна 0.5.