Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Многомерный нормальный закон
Пусть a = (a 1, a 2,…, ak) T – известный k -мерный вектор, Σ = [σ i j ] – известная матрица размерности k × k, обладающая следующими свойствами:
Известно, что любая матрица, обладающая такими свойствами, может выступать в качестве ковариационной матрицы некоторого невырожденного k -мерного случайного вектора. В частности, если для двух величин (k =2) заданы их дисперсии σ12, σ22 и коэффициент корреляции ρ, -1≤ρ≤1, то их ковариационную матрицу всегда можно записать в виде (3.1) При k >2 набор коэффициентов корреляции может оказаться противоречивым, поэтому матрицу, построенную по аналогии с (3.1), нужно отдельно проверять на положительную определенность. Пусть теперь k -мерный случайный вектор X = [ ξ1,…, ξ k ] T подчиняется непрерывному закону распределения с плотностью f (x), где x = [ x 1,…, xk ] T, вида (3.2) В этом случае говорят, что вектор X подчиняется k -мерному нормальному закону с параметрами a, Σ: или что X является гауссовым случайным вектором. Легко проверить, что при k =1, когда матрица содержит единственный элемент σ11= σ2>0, формула (3.2) сводится к известной формуле для плотности одномерного нормального закона с нормирующей константой Типичный вид поверхности z = f (x) при k =2 и ее линий уровня приведен на рис.3.1 a, b. Приведем без доказательства основные свойства k -мерного нормального закона. Доказательства, сводящиеся к вычислению соответствующих многомерных интегралов, можно найти в любом достаточно подробном курсе теории вероятностей.
Легко видеть, что соответствующая поверхность уровня имеет вид (3.3) где (3.4) и представляет собой в силу условия Σ>0 эллипсоид в k -мерном пространстве Rk с центром в точке a и направлениями осей, задаваемыми собственными векторами матрицы Σ (или Σ-1). Семейство таких соосных эллипсоидов Q (с), получающихся из (3.3) при различных значениях с, называется семейством эллипсоидов рассеяния вектора X (рис.3.1 b): (3.5) Рис.3.1. Типичный вид плотности 2-мерного нормального закона и ее линий уровня 5. Для случайных векторов имеют место предельные теоремы, аналогичные тем, которые рассматриваются в одномерном случае. Теорема. Пусть X 1 ,…, Xn,… - последовательность независимых одинаково распределенных k -мерных случайных векторов, M Xi = a, cov Xi = B. Тогда
(сходимость по вероятности). Квадратичная форма, стоящая в левой части (3.2), может рассматриваться как квадрат расстояния между векторами X и a. Его называют расстоянием Махаланобиса: Имеет место следующий факт: rM 2(X, a) подчиняется хи-квадрат распределению с k степенями свободы. Таким образом, (3.6) где - случайная величина, распределенная по закону χ2(k). В частности, при k = 2 формула (3.6) имеет особенно простой вид: (3.7) Вообще, нахождение для нормального вектора вероятности попадания в область , сводящееся к вычислению многомерных интегралов осуществляется легко только в трех случаях:
Более сложные интегралы чаще всего приходится вычислять по методу Монте-Карло (см. ниже пример 3.3).
Пример 3.1. . Задана постоянная (неслучайная) матрица G размерности k × m. Найти распределение вектора Y= G X. Решение. Умножение на матрицу – линейная операция, все компоненты вектора Y являются линейными функциями от компонент X, поэтому Y – m -мерный гауссов вектор. Остается найти его математическое ожидание и ковариационную матрицу. Имеем: M Y = M(GX) = G M X = Ga; Cov(Y) = M(Y 0 Y 0 T) = M[ GX 0(GX 0) T ] = M[ G (X 0 X 0 T) GT ] = G M(X 0 X 0 T) GT = G Σ GT, Y 0 = Y – M Y, X 0 = X – X 0. Пример 3.2. X = [ x 1, x 2] T – гауссов случайный вектор, средние его компонент равны нулю, дисперсии σ12=1, σ22=4, коэффициент корреляции ρ = -0.5. Какой угол образует его главная ось с осью Ox? Решение. Ковариационная матрица вектора X Найдем ее собственные числа и собственные векторы оператором [ C, L ] = eig(Σ). Главной оси отвечает минимальное собственное число матрицы (оно же – максимальное собственное число матрицы ) и первый столбец матрицы C, его компоненты – это косинус и синус искомого угла φ. Отсюда находим, что cos(φ)=0.8507, sin(φ)=0.5257, так что φ=0.5535 (рад) = 31.7154о.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-03-09; просмотров: 188; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.116.10.107 (0.009 с.) |