Условие модельной задачи 2 (условие – жирным шрифтом, пояснения к задаче - обычным).

Вы вложили в коммерческий банк 1000 грн. на срок 4 года под 10% годовых на условиях ежегодного сложного начисления процентов. Это означает, что в конце каждого года Вы не будете получать в банке проценты. Эти проценты Вы будете оставлять в конце каждого года на счету, а на них будут начисляться новые проценты. В конце четвертого года Вам вернут Ваши 1000 грн., вложенные в начале первого года и проценты, начисленные за все 4 года. Вклад денег в банк называется депозитный вклад. Требуется найти фактическую общую сумму денег, которую Вы получите по окончании четырех лет.

Решение модельной задачи 2

Рассмотрим данную финансовую операцию по этапам:

этап 1: в начале первого года Вы положили на депозит 1000 грн.;

этап 2: в конце первого года Вы имеете на депозитном счету 1100 грн.:

1000 грн. + 1000 грн. * 0,1 = 1000 грн. * (1+0,1) = 1100 грн.

100 грн. – Ваш процент за первый год – Вы оставляете в банке этот процент. На начало второго года у Вас на депозитном счету уже 1100 грн.

этап 3: в конце второго года Вы имеете на депозитном счету 1210 грн.:

1100 грн. + 1100 грн. * 0,1 = 1100 грн. * (1+0,1) = 1210 грн.

Данный расчет можно провести иначе:

1000 грн. * (1+0,1) * (1+0,1)=1000 грн. * (1+0,1)²=1000 грн. * 1,21 =1210 грн.

На начало третьего года у Вас на депозитном счету уже 1210 грн.

этап 4: в конце третьего года Вы имеете на депозитном счету 1331 грн.:

1210 грн. + 1210 грн. * 0,1 = 1210 грн.*(1+0,1) = 1331 грн.

Данный расчет можно провести иначе:

1000 грн. * (1+0,1) * (1+0,1) * (1+0,1) = 1000 грн. * (1+0,1)³ = 1000 грн. * 1,331 = 1331 грн.

На начало четвертого года у Вас на депозитном счету уже 1331 грн.

этап 5: в конце четвертого года Вы имеете на депозитном счету 1464.1 грн.:

1331 грн. + 1331 грн. * 0.1 = 1331 грн.*(1+0,1) = 1464.1 грн.

Данный расчет можно провести иначе:

1000 грн. * (1+0,1) * (1+0,1) * (1+0,1) * (1+0,1) = 1000 грн. * (1+0,1)⁴ = 1000 грн. * 1,4641 = 1464,1 грн.

В конце четвертого года Вы получите на руки 1464,1 грн.

Итак, в начале первого года Вы вложили 1000 грн., а по окончании четырех лет Вы получили фактически 1464.1 грн., т.е. Вам вернули вложенные Вами 1000 грн. и начислили в каждом из четырех лет проценты по сложной схеме (начисление процентов на процент), что в сумме составило 464.1 грн. процентов.

МЕХАНИЗМ НАЧИСЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ ОБУСЛАВЛИВАЕТ ИХ КАПИТАЛИЗАЦИЮ (возрастание), ТО ЕСТЬ БАЗА, ОТ КОТОРОЙ ИДЕТ НАЧИСЛЕНИЕ, ПОСТОЯННО ВОЗРАСТАЕТ.

В данной модельной задаче 2 вложенные Вами на депозит 1000 грн. – это PV, полученные Вами фактически 1464,1 грн. – это FV, процентная ставка равна 10% годовых – это i, количество раз начисления процентов – это n.

Из анализа этапов данной модельной задачи 2 можем записать формулу сложного начисления процентов:

,                                 (6)

где: FV – будущая стоимость (смотри п.1.1) в ден. ед.;

PV – настоящая стоимость (смотри п.1.1) в ден. ед.;

i – процентная ставка в долях (смотри п.2.1) в каждом из периодов начисления процентов n;

n – количество периодов начисления процентов, в каждом из которых процентная ставка равна i.

Используя (6), решение модельной задачи 2 принимает вид:

Ответ: фактическая общая сумма денег, которую Вы получите по окончании четырех лет будет FV = 1464,1 грн.

Как видно из модельных задач 1 и 2, разные схемы начисления процентов приводят одинаковые базовые условия вклада (сумма вклада - 1000 грн.) к совершенно различным конечным суммам денег. Схема простых процентов дает, в итоге 1400 грн., а схема сложных процентов – 1464,1 грн.

Видим, что схема сложных процентов дает большую будущую стоимость. Поэтому финансисты всего мира считают будущую стоимость по сложной схеме начисления процентов, если иное не оговорено в условиях.

Ö ЗАПОМНИТЕ: ЕСЛИ В УСЛОВИЯХ НЕ ОГОВАРИВАЕТСЯ СХЕМА НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ (СЛОЖНАЯ ИЛИ ПРОСТАЯ), ТО ВСЕГДА РАСЧЕТ ВЕДЕТСЯ ПО СЛОЖНОЙ СХЕМЕ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ.

 

Формулы (5) и (6) используются для расчетов с использованием процентных ставок. Если же необходимо выполнить расчет с использованием учетных ставок то пользуются формулами (7), (8).

Формула начисления простых процентов при использовании учетной ставки:

                            (7)

где d –учётная ставка в каждом из n периодов начисления  процентов.                                                                                                                                                            Значение символов PV, FV, n –то же, что и в формуле (5).                               

Формула начисления сложных процентов при использовании учетной ставки:

                            (8)

Суть символов PV, FV. n, d – та же, что и в формуле (7)

Ö ЗАПОМНИТЕ: ЕСЛИ В УСЛОВИЯХ НЕ УКАЗАНО, КАКУЮ СТАВКУ – УЧЕТНУЮ ИЛИ ПРОЦЕНТНУЮ – ИСПОЛЬЗОВАТЬ ПРИ РАСЧЕТЕ, ТО ПОДРАЗУМЕВАЕТСЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ (формулы(5),(6)).                                                                             Закрепим полученные знания на примере решения следующих задач                                                                                                                      

Задача 1

Рассчитайте наращенную сумму с исходной суммы в 2 млн. грн. при размещении ее в банке на срок 10 лет на условиях начисления: а) простых и б) сложных процентов, если годовая ставка 15%, а периоды наращения (начисления) следующие:

- квартал;

- полугодие;

- один год;

- 5 лет;

- 10 лет.

Стратегия решения задачи

Для решения поставленной задачи требуется произвести 10 расчетов и получить 10 значений величины FV. Годовая процентная ставка – 15%.

Решение задачи

Условие начисления процентов – простое (вариант а).

1) ежеквартальное начисление процентов (формула (5)):

Для начала подготовим данные, входящие в формулу (5) к нашим условиям задачи: PV = 2 млн. грн., n рассчитаем из знания того, что год имеет 4 квартала, а общее количество лет вклада 10. Следовательно, количество периодов начисления n = 40, процентная ставка в условии задачи дается, как годовая, следовательно, для квартала процентная ставка i =0,15/4. Подготовленные значения подставим в формулу (5), получим:

2) полугодовое начисление процентов (формула (5)):

n рассчитаем из знания того, что год имеет 2 полугодия, а общее количество лет вклада 10. Следовательно, количество периодов начисления n =20, процентная ставка в условии задачи дается, как годовая, следовательно, для полугодия процентная ставка i =0,15/2. Подготовленные значения подставим в формулу (5), получим:

3) годовое начисление процентов (формула (5)):

n = 10, i = 0,15 Подготовленные значения подставим в формулу (5), получим:

4) начисление процентов раз в 5 лет (формула (5)):

n рассчитаем из знания того, что в 10-и годах есть 2 периода по 5 лет. Следовательно, количество периодов начисления n =2, процентная ставка в условии задачи дается, как годовая, следовательно, для пятилетнего периода процентная ставка i = 0,15*5. Подготовленные значения подставим в формулу (5), получим:

5) начисление процентов раз в 10 лет (формула (5)):

n рассчитаем из знания того, что в 10-и годах содержится 1 период из 10 лет. Следовательно, количество периодов начисления n =1, процентная ставка в условии задачи дается, как годовая, следовательно, для десятилетнего периода процентная ставка i = 0,15*10. Подготовленные значения подставим в формулу (5), получим:

Условие начисления процентов – сложное (вариант б).

6) ежеквартальное начисление процентов (формула (6)).

Для начала подготовим данные, входящие в формулу (6) к нашим условиям задачи: PV = 2 млн. грн., n рассчитаем из знания того, что год имеет 4 квартала, а общее количество лет вклада 10. Следовательно, количество периодов начисления n = 40, процентная ставка в условии задачи дается, как годовая, следовательно для квартала процентная ставка i =0,15/4. Подготовленные значения подставим в формулу (6), получим:

7) полугодовое начисление процентов (формула (6)):

n рассчитаем из знания того, что год имеет 2 полугодия, а общее количество лет вклада 10. Следовательно, количество периодов начисления n =20, процентная ставка в условии задачи дается, как годовая, следовательно, для полугодия процентная ставка i =0,15/2. Подготовленные значения подставим в формулу (6), получим:

8) годовое начисление процентов (формула (6)):

n = 10, i = 0,15 Подготовленные значения подставим в формулу (6), получим:

9) начисление процентов раз в 5 лет (формула (6)):

n рассчитаем из знания того, что в 10-и годах есть 2 периода по 5 лет. Следовательно, количество периодов начисления n =2, процентная ставка в условии задачи дается, как годовая, следовательно, для пятилетнего периода процентная ставка i =0,15*5. Подготовленные значения подставим в формулу (6), получим:

10) начисление процентов раз в 10 лет (формула (6)):

n рассчитаем из знания того, что в 10-и годах содержится 1 период из 10 лет. Следовательно, количество периодов начисления n =1, процентная ставка в условии задачи дается, как годовая, следовательно, для десятилетнего периода процентная ставка i = 0,15*10. Подготовленные значения подставим в формулу (6), получим:

Анализируя приведенную задачу, можно сделать следующие выводы:

ВЫВОД 1: При начислении простых процентов разбиение срока вклада на периоды начисления не влияет на величину наращенной суммы.

ВЫВОД 2: При начислении сложных процентов разбиение срока вклада на периоды начисления влияет на величину наращенной суммы. Более частое начисление сложных процентов обеспечивает более быстрый рост наращиваемой суммы.

                                          Задача 2

Банк предлагает 20% годовых. Чему должен быть равен первоначальный вклад, чтобы через 3 года иметь на счете 5 млн. грн.

Стратегия решения

Известно, что FV = 5 млн. грн. Схема начисления процентов не указана, следовательно – сложная. Вид ставки не оговаривается, следовательно, ставка – процентная. Периоды начисления не оговариваются, следовательно, период начисления – ежегодно. Тогда i =20%, n =3. Найти величину PV.

Решение задачи

Используем формулу (6) в которой неизвестной величиной есть PV.

Из этой формулы выразим PV, получим:

                                                    (9)

Подставляем исходные данные и получаем ответ:

Ответ: Для того, чтобы через 3 года иметь на счете 5 млн. грн. при процентной ставке 20% необходимо положить в банк на счет 2,894 млн. грн.

Задача 3