Объемное напряженное состояние

Совокупность напряжений, действующих по площадкам, проведенным через исследуемую точку, составляет напряженное состояние в рассматриваемой точке. На площадках общего положения действуют нормальные и касательные напряжения (рис. 3.1).

 

 

Рис. 3.1

Значения касательных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках подчиняются закону парности касательных напряжений:

Относительные деформации и напряжения связаны обобщенным законом Гука.

 

Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными, а нормальные напряжения, действующие по этим площадкам, называются главными напряжениями (рис. 3.2).

Обозначение главных напряжений:

Напряженное состояние называется объемным или трехосным, если

 

Рис. 3.2

 

Относительное изменение объема: где К – модуль объемной упругости,

 

Удельная потенциальная энергия упругой деформации:

полная

 

изменение объема

 

изменение формы

Плоское напряженное состояние

Напряженное состояние называется плоским или двухосным, если одно из главных напряжений равно нулю (рис. 3.3).

 

Рис.3.3

Напряжения на наклонной площадке (рис. 3.4,а)

 

Величина и направление главных напряжений (рис. 3.4,б)

 

Чистый сдвиг σ_x = σ_y = 0 (рис. 3.4,в)

 

Рис. 3.4

Линейное напряженное состояние

Напряженное состояние называется линейным или одноосным, если два главных напряжения равны нулю.

Проверка прочности при линейном напряженном состоянии проводится по условию прочности:

В сложном напряженном состоянии проверку прочности проводят по гипотезам прочности по эквивалентному напряжению:

Величина σ_экв определяется, исходя из принятого критерия эквивалентности, лежащего в основе одной из гипотез разрушения или гипотез прочности, при котором сложное напряженное состояние заменяется эквивалентным ему растяжением или сжатием.

Гипотезы прочности

Центральное (осевое) растяжение-сжатие

Осевым растяжением (сжатием) брусьев называют такой вид деформирования, при котором в их поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор – продольная сила N_z.

Для определения продольной силы используется метод сечений (Рис. 4.1,б).

 

N_z= Σ F_z^вн (4.1)

 

 

Напряжения

N_z равномерно распределяется по площади поперечного сечения, вызывая нормальные напряжения.

В наклонном сечении возникают нормальные σ_α и касательные τ_α напряжения (рис. 4.1,в).

причем

 

Деформации

При растяжении (сжатии) наблюдаются абсолютные и относительные деформации (рис. 4.1,а):

l ₁ – l = Δ l - абсолютная продольная деформация (удлинение);

h ₁ – h = - Δ h - абсолютная поперечная деформация (сужение);

 

относительная продольная деформация:

 

относительная поперечная деформация:

 

Отношение

 

называется коэффициентом поперечной деформации (коэффициентом Пуассона).

 

Напряжения и деформации взаимосвязаны законом Гука

где Е - модуль упругости (модуль Юнга).

В общем случае удлинение стержня определяется по формуле

В частном случае, когда жесткость сечения ЕА = const и N_Z = F = const

При ступенчатом изменении нагрузки N_z и конфигурации сечения

В результате деформации бруса его поперечные сечения получают линейные перемещения U_(z). Так, перемещение сечения В, находящегося на расстоянии z от закрепленного конца, равно удлинению Δ l _z части бруса длиной z, заключенной между неподвижным и рассматриваемым сечением.

 

Взаимное перемещение двух сечений В и С бруса равно удлинению части бруса, заключенной между этими сечениями

 

U_(B-C)= Δ l _B-C (рис.4.2)

 

Рис. 4.2

 

Перемещение точек стержневой системы (BCD) (Рис. 4.3) происходит как за счет продольных деформаций (U_СВ = Δ l _BC, U_CD = Δ l _DC), так и за счет поворота деформированных стержней BC₁ и DC₂ относительно шарниров (B, D) как твердого тела по дугам С₁С₃ = δ₁ и С₂С₃ = δ₂, замененными перпендикулярами к радиусам поворота (ВС₁ и DС₂). Отрезок СС₃ = δ_с соответствует полному перемещению узла С в результате деформации стержней ВС и DС.

 

 

Рис. 4.3