Понятия о прочности и жесткости элементов конструкций

Понятия о прочности и жесткости элементов конструкций

Сопротивление материалов – раздел технической механики, в котором изучаются экспериментальные и теоретические основы и методики расчета наиболее распространенных элементов различных конструкций под воздействием внешних нагрузок.

Любая конструкция должна быть экономичной, технологичной в изготовлении, удобной при транспортировке и монтаже и безопасной при эксплуатации. Особенно это относится к конструкциям, работающим с огне- и взрывоопасными средами при повышенных температуре и давлении.

• Прочность - способность элементов конструкций сопротивляться действию внешних нагрузок не разрушаясь.
• Жесткость - способность элементов конструкций, под действием внешних нагрузок получать лишь незначительные деформации, лежащие в пределах допустимых значений.
• Устойчивость - способность элементов конструкций принимать первоначальную форму устойчивого равновесия после снятия внешних нагрузок.

Встречающиеся отказы при работе конструкций приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Виды отказов в работе конструкций

Наименование отказа	Характер отказа	Условия, исключающие отказ
Потеря несущей способности		Расчет на прочность   p ≤ [p],   где p – полные истинные напряжения в опасной точке; [p] – допускаемые напряжения
Недопустимо большие деформации		Расчет на жесткость   f ≤ [f],   где f – действительный прогиб; [f] – допустимый или предельный прогиб
Потеря устойчивости		Расчет на устойчивость где [F] – допускаемая нагрузка; Fкр – критическая нагрузка, при которой происходит потеря устойчивости; [n]y – нормативный коэффициент запаса устойчивости

Таким образом, основной задачей сопротивления материалов является разработка методов расчета элементов различных конструкций на прочность, жесткость и устойчивость при одновременном удовлетворении требований надежности и экономичности.

Внешние усилия (нагрузки)

Все внешние силы (нагрузки), действующие на изучаемое тело, следует рассматривать как проявление взаимодействия его с окружающими телами, которое представляется в виде сил или пар сил (моментов).

Все внешние силы (нагрузки) могут рассматриваться как сосредоточенные или распределённые.

В природе сосредоточенных сил не бывает. Все реальные тела практически контактируют через небольшие площадки. Однако принцип Сен-Венана позволяет распределенную нагрузку заменить равнодействующей силой, что упрощает расчёт.

Сосредоточенные нагрузки выражаются в ньютонах [H] и обозначается буквой F.

Распределённые нагрузки обозначается буквой q.

Распределённые нагрузки могут быть поверхностными (например, давление ветра, воды на стенку). Размерность [FL^-2].

Распределённые нагрузки могут быть объёмными. Их размерность [FL^-3].

Распределённые нагрузки по длине (например, силу тяжести стержня, учитывая небольшие размеры его поперечного сечения, рассматривают как распределённую нагрузку по длине). Размерность [FL^-1].

Сосредоточенные и распределённые нагрузки могут быть как статическими, так и динамическими.

Статическими называются нагрузки, которые изменяют свою величину или точку приложения с очень небольшой скоростью, так что возникающими при этом ускорениями можно пренебречь.

Динамическими называются нагрузки, изменяющиеся во времени с большой скоростью. Возникшие при этом силы инерции могут многократно превосходить те же нагрузки, приложенные статически.

Законы изменения нагрузок во времени могут иметь весьма сложный характер.

В сопротивлении материалов основным изучаемым элементом конструкции является брус – тело, у которого один из линейных размеров (длина) значительно превышает два других, определяющих поперечное сечение. При работе конструкции ее элементы воспринимают внешние силы и действие их передают друг другу.

Гипотезы прочности

Напряжения

N_z равномерно распределяется по площади поперечного сечения, вызывая нормальные напряжения.

В наклонном сечении возникают нормальные σ_α и касательные τ_α напряжения (рис. 4.1,в).

причем

 

Деформации

При растяжении (сжатии) наблюдаются абсолютные и относительные деформации (рис. 4.1,а):

l ₁ – l = Δ l - абсолютная продольная деформация (удлинение);

h ₁ – h = - Δ h - абсолютная поперечная деформация (сужение);

 

относительная продольная деформация:

 

относительная поперечная деформация:

 

Отношение

 

называется коэффициентом поперечной деформации (коэффициентом Пуассона).

 

Напряжения и деформации взаимосвязаны законом Гука

где Е - модуль упругости (модуль Юнга).

В общем случае удлинение стержня определяется по формуле

В частном случае, когда жесткость сечения ЕА = const и N_Z = F = const

При ступенчатом изменении нагрузки N_z и конфигурации сечения

В результате деформации бруса его поперечные сечения получают линейные перемещения U_(z). Так, перемещение сечения В, находящегося на расстоянии z от закрепленного конца, равно удлинению Δ l _z части бруса длиной z, заключенной между неподвижным и рассматриваемым сечением.

 

Взаимное перемещение двух сечений В и С бруса равно удлинению части бруса, заключенной между этими сечениями

 

U_(B-C)= Δ l _B-C (рис.4.2)

 

Рис. 4.2

 

Перемещение точек стержневой системы (BCD) (Рис. 4.3) происходит как за счет продольных деформаций (U_СВ = Δ l _BC, U_CD = Δ l _DC), так и за счет поворота деформированных стержней BC₁ и DC₂ относительно шарниров (B, D) как твердого тела по дугам С₁С₃ = δ₁ и С₂С₃ = δ₂, замененными перпендикулярами к радиусам поворота (ВС₁ и DС₂). Отрезок СС₃ = δ_с соответствует полному перемещению узла С в результате деформации стержней ВС и DС.

 

 

Рис. 4.3

 

 

Условие жесткости

Условие жесткости стержня

 

Условие жесткости узла стержневой системы

 

Потенциальная энергия упругой деформации стержня

Кручение круглых валов

Кручением называется такой вид нагружения (деформации), при котором в поперечных сечениях бруса возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент T (рис 5.1). Этот вид нагружения возникает при приложении к брусу пар сил, плоскости действия которых перпендикулярны его оси. Такие брусья принято называть валами.

 

Внешние пары, приложенные к валу, будем называть скручивающими моментами. Они могут быть сосредоточенными М₁, М₂, …, М_n или распределенными m по длине вала l. Крутящий момент является равнодействующим моментом напряжений, возникающих в каком-либо сечении вала относительно его продольной оси.

 

Внутренний крутящий момент

При определении величины крутящего момента используется метод сечений. Суть его заключается в следующем: рассекаем вал сечением и отбрасываем одну из частей вала, расположенную либо справа, либо слева от сечения.

Обычно отбрасывают ту часть, к которой приложено больше скручивающих пар. Действие отброшенной части на рассматриваемую заменяют внутренним силовым фактором – крутящим моментом T. Затем из условий равновесия остановленной части вала определяют крутящий момент:

 

T = М _к = Σ М _i. (5.1)

 

Таким образом, крутящий момент в каком либо сечении вала является уравновешивающей парой сил всех внешних скручивающих пар, приложенных либо слева, либо справа от рассматриваемого сечения.

 

Рис. 5.1

Угол сдвига

Напряжения при кручении

Распределение касательных напряжений

 

Максимальное касательное напряжение

 

Геометрические характеристики круглых сплошных сечений вала:

- полярный момент инерции

 

- полярный момент сопротивления

Деформации вала

Угол закручивания:

- относительный

 

- абсолютный

 

Прямой поперечный изгиб

Поперечным изгибом называется такой вид деформирования бруса, при котором внешние нагрузки действуют перпендикулярно к его продольной оси. Деформация изгиба заключается в искривлении оси бруса. Брус с прямой осью, работающий на изгиб, называется балкой. Если плоскость действия внешних нагрузок проходит через ось балки и одну из главных центральных осей поперечного сечения, изгиб называется прямым. В этом случае ось балки искривляется в плоскости действия нагрузок и является плоской кривой.

 

В сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент М_х и поперечная сила Q_y

 

Правила контроля построения эпюр Q и М при изгибе (рис. 6.1).

Дифференциальные зависимости между q, Q_y и М_х имеют вид:

 

 

1. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, - на эпюре Q_y скачок по модулю равный этой силе, на эпюре М_х – излом навстречу силе.

2. В сечении, где приложена сосредоточенная пара сил, - на эпюре М_х скачок по модулю равный этой паре сил. На эпюре Q_y это не сказывается.

 

3.Если на участке имеется равномерно распределенная нагрузка, то Q_y изменяется по линейному закону, М_х – по параболе, выпуклостью навстречу нагрузке q (М_х = М_экстр – в сечении, где Q_y меняет свой знак).

 

Рис. 6.1

 

Изгиб называется чистым, если в сечении балки возникает только изгибающий момент М_х.

Нормальные напряжения

Рис. 6.2

 

Из балки, нагруженной только изгибающим моментом рис. (6.2) вырежем фрагмент длинной dz, (рис. 6.3)

Рис. 6.3

При изгибе кривизна оси балки:

относительное удлинение слоя ab (рис. 6.4).

Рис. 6.4

 

Распределение нормальных напряжений: по ширине сечения равномерное (const), по высоте сечения

максимальные нормальные напряжения в наиболее удаленных от нейтральной оси точках сечения.

Условие прочности при изгибе балок по нормальным напряжениям:

Касательные напряжения

При поперечном изгибе в сечениях кроме М_х возникает поперечная сила Q_x, вызывающая касательные напряжения:

где S_x^отс -статический момент отсеченной части поперечного сечения относительно центральной оси ох.

Проверка балок по касательным напряжениям:

Так в одном и том же поперечном сечении одновременно возникают и нормальные и касательные напряжения, производим проверку по главным напряжениям с использованием, например, III теории прочности

Расчет на жесткость при изгибе

В большинстве случаев конструкции претерпевающие изгиб, кроме расчета на прочность, рассчитываются и на жесткость, при этом должно выполняться условие:

 

f ≤ [f] (6.6)

 

где f – действительный прогиб (максимальное вертикальное перемещение элемента конструкции);

[f] – допустимый или предельный прогиб, устанавливаемый в зависимости от конкретного элемента конструкции, например по СНиП 2.02.07-85, [f]= l /120… l /160;

l – пролет балки (у консоли – двойной вылет).

Рис. 6.5

 

Изгиб балки или рамы сопровождается искривлением ее оси. Перемещения балки в сечении z подразделяются на линейные – прогиб у и смещение z и угловые – угол поворота Q (рис 6.5).

 

Осевые перемещения, как правило, несоизмеримо малы, т.е. z<<y и ими пренебрегают.

Искомые перемещения при изгибе у и Q могут быть найдены следующими методами:

а) методом начальных параметров (МНП);

б) энергетическим методом.

Для балок с прямой осью и постоянным сечением деформации лучше определять по методу начальных параметров или по способу Верещагина. Без всяких ограничений можно применять метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии и интеграл Мора.

 

Метод начальных параметров

Рис. 6.6

 

 

Энергетические методы

интеграл Мора (рис. 6.7)

Рис. 6.7

 

способ Верещагина (рис. 6.8)

Рис. 6.8

При разделении сложных фигур преимущество отдают треугольникам и симметричным параболам (рис. 6.9).

 

Рис. 6.9

Сложное сопротивление

Косой изгиб

Косым изгибом называется разновидность сложного сопротивления, при которой плоскость действия результирующего изгибающего момента не совпадает ни с одной из плоскостей симметрии поперечного сечения (рис. 7.1).

 

Рис. 7.1

Угол наклона нейтральной линии

Условия прочности

- для сечения произвольной формы

 

- для сечений типа прямоугольник, двутавр, швеллер

Сложное сопротивление

Условие прочности

Условия прочности при внецентренном сжатии

 

 

Ядро сечения

 

Рис. 7.4

 

Координаты вершин ядра сечения (рис. 7.4):

Сложное сопротивление

Изгиб с кручением

Данный вид деформации имеет место когда в сечениях бруса одновременно возникают изгибающий и скручивающий моменты (рис. 7.5)

 

Рис. 7.5

Условие прочности

 

Эквивалентный момент М_экв рассчитывается по одной из гипотез прочности:

 

 

Продольный изгиб

Формула Эйлера (стержни большой гибкости, для которых σ_кр < σ_пц)

Формула Тетмайера - Ясинского (стержни средней гибкости σ_кр > σ_пц)

- для пластичных материалов

F_кp = А ⋅ (а - b⋅ λ) (8.2)

- для хрупких материалов

F_кp = А ⋅ (а - b⋅X + с ⋅ λ²), (8.3)

где а, b, с - коэффициенты, полученные экспериментально для различных материалов.

Гибкость стержня

Коэффициент приведения длины μ (рис. 8.1)

 

Рис. 8.1

 

Условие устойчивости σ= F/(φ⋅A)≤ [σ], (8.5)

где φ - коэффициент продольного изгиба

 

Рис. 8.2

 

Внецентренное приложение нагрузки (рис 8.2,а)

 

F = 4e/π ⋅ F/F_э ⋅ 1/(1 – F/F_э) (8.6)

F_э = π²⋅Е⋅I_x/(μ⋅l)² - Эйлерова сила (8.7)

 

Стержень с начальным искривлением (рис 8.2,б)

 

f = f₀ ⋅ F/(1 – F/F_э) (8.8)

Продольно-поперечный изгиб

Имеет место, когда к брусу приложены одновременно изгибающие (поперечные) и сжимающие (продольные) нагрузки (рис. 8.3)

 

 

Рис. 8.3

 

Максимальный прогиб

 

Максимальное напряжение

 

F_э – Эйлерова сила.

 

Условие прочности

 

Условие жесткости

f ≤ [f]. (8.12)

Устойчивость труб

 

Рис. 8.4

 

Критическая нагрузка

 

Для стальных труб (ν=0,3)

Условие устойчивости

 

 

Динамическое нагружение

На практике влияние динамической нагрузки, как правило, учитывается с помощью динамического коэффициента К _д. Для получения максимальных значений динамических напряжений σ _д и перемещений δ _д динамическая нагрузка заменяется статической, а найденные от нее напряжения σ _ст и перемещения δ _ст умножаются на динамический коэффициент К _д, т.е.

σ _д = σ _ст · К _д (9.1)

 

Оболочки и трубы

 

Тонкостенные сосуды

 

Оболочки, имеющие форму тел вращения (рис. 11.1), стенки которых тонки (t ≤ 0,1D₀), не имеют резких переходов и изломов при действии осесимметричных нагрузок (например, давления жидкости или газа), попадают под класс тонкостенных сосудов и могут быть рассчитаны по безмоментной теории.

Рис. 11.1

 

Связь между меридиональными σ_m и кольцевыми σ_t нормальными напряжениями (рис. 11.1) описывается уравнением Лапласа:

где ρ_m и ρ_t – радиусы кривизны серединной поверхности меридионального и кольцевого сечений на уровне рассматриваемой точки;

р – интенсивность внутреннего давления.

Для определения σ_m обычно используется зависимость

 

где Q – вес части сосуда и жидкости ниже рассматриваемого сечения.

Уравнения (11.1) и (11.2) позволяют найти величины σ_m и σ_t в каждой точке сосуда.

 

Рассмотрим частные случаи:

 

Сферический сосуд под действием внутреннего давления газа (рис.11.2).

 

 

Рис. 11.2

 

Благодаря симметричности сосуда σ_m = σ_t = σ, ρ_m = ρ_t = D/2.

Из уравнения (11.1) находим

 

Цилиндрический сосуд под действием внутреннего давления газа (рис. 11.3).

 

 

Рис. 11.3

 

Для цилиндрической части сосуда имеем:

ρ_t = D/2; ρ_m = ∞; α=0

Из уравнения (11.1) находим σ_t = pD/2t. (11.4)

Из уравнения (11.2), полагая cos α = 1, Q = 0, σ_m = pD/4t. (11.5)

Напряжения в днищах определяем, как в сферическом сосуде:

 

σ_m(дн)= σ_t(дн)=pR₁/2t. (11.6)

 

Напряжения в стенке трубы определяются аналогично, как для цилиндрической части тонкостенного сосуда.

Сравнение (11.4) и (11.5) показывает, что σ_t =2σ_m, т.е. напряжения, растягивающие стенки цилиндрической части сосуда, по окружности в 2 раза больше напряжений вдоль образующей. Поэтому разрушение котлов, труб обычно происходит от кольцевых напряжений вдоль образующей.

σ_m и σ_t являются главными напряжениями, σ_t = σ₁, σ_m = σ₂. Третье главное напряжение, перпендикулярное к поверхности сосуда

со стороны, где действует давление, σ₃ = -р;

с противоположной стороны, σ₃ =0.

 

В тонкостенных оболочках обычно величины σ_m и σ_t намного больше, чем интенсивность внутреннего давления р, и поэтому величиной σ₃ можно пренебречь, т.е. считать равной нулю.

Так как в любой точке тонкостенного сосуда имеет место сложное напряженное состояние, для расчета на прочность в зависимости от материала следует пользоваться соответствующей гипотезой прочности

σ_эквI ≤ [σ]_p

Для рассматриваемой задачи при неучете σ₃ эквивалентные напряжения по третьей гипотезе прочности и по гипотезе Мора одинаковы, т.е.

 

σ_экв^III= σ_эквМ= σ_t (11.7)

а по энергетической теории

Если тонкостенный сосуд имеет резкие переломы в очертании (например, примыкание днищ к цилиндрической части), а также в местах закрепления, приложения сосредоточенных сил, установки патрубков, фланцев, у краев оболочки возникает изгиб. Зоны, прилегающие к таким местам, должны рассчитываться по моментной теории.

Понятия о прочности и жесткости элементов конструкций

Сопротивление материалов – раздел технической механики, в котором изучаются экспериментальные и теоретические основы и методики расчета наиболее распространенных элементов различных конструкций под воздействием внешних нагрузок.

Любая конструкция должна быть экономичной, технологичной в изготовлении, удобной при транспортировке и монтаже и безопасной при эксплуатации. Особенно это относится к конструкциям, работающим с огне- и взрывоопасными средами при повышенных температуре и давлении.

• Прочность - способность элементов конструкций сопротивляться действию внешних нагрузок не разрушаясь.
• Жесткость - способность элементов конструкций, под действием внешних нагрузок получать лишь незначительные деформации, лежащие в пределах допустимых значений.
• Устойчивость - способность элементов конструкций принимать первоначальную форму устойчивого равновесия после снятия внешних нагрузок.

Встречающиеся отказы при работе конструкций приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Виды отказов в работе конструкций

Наименование отказа	Характер отказа	Условия, исключающие отказ
Потеря несущей способности		Расчет на прочность   p ≤ [p],   где p – полные истинные напряжения в опасной точке; [p] – допускаемые напряжения
Недопустимо большие деформации		Расчет на жесткость   f ≤ [f],   где f – действительный прогиб; [f] – допустимый или предельный прогиб
Потеря устойчивости		Расчет на устойчивость где [F] – допускаемая нагрузка; Fкр – критическая нагрузка, при которой происходит потеря устойчивости; [n]y – нормативный коэффициент запаса устойчивости

Таким образом, основной задачей сопротивления материалов является разработка методов расчета элементов различных конструкций на прочность, жесткость и устойчивость при одновременном удовлетворении требований надежности и экономичности.