Равномерная непрерывность функции на множестве. Теорема кантора о равномерной непрерывности функции.

⊐ ф.f опр на Х⊂R

f непр на Х⇔"хϵХ "e>0 $d>0

"yϵX, |x-y|<d ↝|f(x)-f(y)|<0

Здесь d>0 зависит от e и от х, т.е. d=d(х,e)

Если f(x)= , x=(0;∞), то d<x рисунок

Определение: если в определении непрерывности f на х удлиняется по заданному e>0 найти d>0 общее для "х, то f-равномерно непрерывна на х.

f равномерная непрерывность на Х: "e>0 $d>0:

"x yϵX, |x-y|<d®|f(x)-f(y)|<e

"x $d

$d "x

f не равномерно непрерывна на Х⇔$e>0 "d>0, $x,y т.ч. |x-y|<d, но |f(x)-f(y)|≥e

Теорема Кантора: если f непрерывна на отрезке [a,b],то f равномерно непр на [a,b]

Док-во: (от противного): допустим, что f неравномерно непр на [a,b] ↝$ |

{ }⊂[a,b]↝ { }-ограничена ↝по Б-В ($ содящ.последовательн)

Рассмотрим п\посл  с теми же наименованиями ↝

По непрерывности f в точке с

26. Определение f'( , правила дифференцирования.

Опр: 1) ⊐ f опр на Е⊂R, ϵE-предельная точка Е

Если $ кон.предел

-производное число f в точке

2) Если этот lim $ для "  ϵЕ, то получаемая функция  ϵE ↝  произ.ф-я f (на Е)

x- приращение аргумента ↝ х=

Правила дифференцирования:

1)

2) h=f+g→h’(

3) h=f*g→h’(

4) h=

5) f(x)-f(

 

Дифференцируемые функции. Уравнение касательной прямой к графику функции.

Определение:

f

При этом (будет доказано) если $ число А:

 Если А $, то оно определенно однозначно и в этом случае линейная функция от h

(df(

Теорема: f дифференциал в точке

равно

A=  a(h)=

→A)*h+((a(h)*h)=σ(h)(h→)) (верно h=0, т.е. fдифференциал в

⇒ f дифференциал в точке

Пусть f определена на Е⊂R,

Касательная прямая к графику функции через точку (

y-  рисунок

Определение: y=

т.е. f(x)-f(

т.е. f дифференциал в точке

Т.о. у графика f в точке  $ прямая ⇔ f дифференциал в

y- )

Производная суперпозиции функций.

1) ⊐

Теорема: если $ f'(  и $ g’(, то $ h'(

Док-во: -f(

т.к. дифф. в  то 

g( *(∆y) (a(∆y) 0)

=

∆x→0 (∆x→0↝∆y=f(  в силу непрерыв f в

$

1) h(x)=sin(

h’(x)=cos(

2) h(x)=

h’(x)=2sinx*cosx=sin2x

2) производная показ. функция

f(x)=U (U(x)>0)

(

f(x)= ↝

f(x)=

f’(x)=

Теорема Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.

Теорема Ферма: ⊐ f определена на <a,b>; cϵ(a,b) и выполняется:

1) f дифференциал в точке с

2)  окрестность U=U(c) т.е. f(c)≥f(x) "xϵU

Тогда

Замечание: если в условии теоремы выполнено только 2), то либо , либо  не $ (критическая точка)

Теорема Ролля: ⊐ f непрерывна [a,b] дифференциал в (a,b), причем f(a)=f(b) (на концах принимают одиночные значения)

Тогда $ сϵ(a,b), такое что

По т.В-са для f $ наибольший (М) и наименьший (m) значения на [a,b]

1) если m=M ↝ f(x)=m(const) ↝  и сϵ(a,b)-любая рисунок

2) ⊐ m<M, тогда хотя бы 1 значение принимает внутри М=f(c) где сϵ(a,b)↝c-т.max

Теорема Лагранжа: ⊐ f непрерывна на [a,b], дифференциал в (a,b)⇒$cϵ(a,b)

Формула Лагранжа f(b)-f(a)=

 рисунок

Рассмотрим функцию j(a)=j(b)↭f(a)-lb↝=

По т.Ролля с этим числом $ сϵ(a,b) т.ч.

= рисунок

a<c<b ⊐

b<c<a c=a+θ(b-a) – x++∆x (∆x≥0)

f(x+∆x)-f(x)=

Правила Лопиталя.

Теорема 1: ®расрытие неопределенностей x®

⊐ функции f,g определены на (a,b>

 на (a,b>

3)

4)

5) $

Тогда $

 если правда lim $, то определим f,g в т. а положив f(a)=g(a)=0

Тогда f,g непрерывны на [a,b> и дифференциалы в (a,b)

Рассмотрим a<x<b на [a,b] можем применить теорему Коши

a<x<b®

Теорема 2: ⊐ f,g определены на <c,∞)

<c,∞)

3)

4)

5) $

Тогда ⊐

⊐ t=

1)  непрерывны на  как суперпозиция непрерывных функций

2)

 

3)

4)

5) =k по т.1 ⊐

Теорема 3: ⊐ f,g определена на (a,b> (-∞≤a)

на (a,b>

3)

4)

5) $

Скорость стремления  рисунок

+ ∞

2)

= = + ∞