Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Множества и операции над ними. Их свойства.Стр 1 из 6Следующая ⇒
Вопросы для экзамена по математическому анализу. 1. Множества и операции над ними. Их свойства. 2. Определение функции. Образы и прообразы множеств. 3. Биекции, теорема о $ обратной функции. 4. Счетные множества и их свойства. 5. Множество , сечения. Аксиома полноты и теорема о $ точных граней множества в 6. Определение о свойства , неопределённости. 7. Предел монотонной последовательности. Число е. 8. Лемма о последовательности вложенных отрезков. Теорема об открытом покрытии отрезка. 9. Теорема Б-В о подпоследовательности. Критерий Б-К для сходимости числовой последовательности. 10. Множества мощности и их свойства. 11. Наибольший и наименьший пределы последовательности. 12. Определения придела функций на двух языках. 13. Свойства предела функции. 14. Односторонние пределы функции. 15. 16. Предел монотонной функции (один из вариантов). 17. Критерий Б-К для предела функции. 18. Определения непрерывности функции в точке. Непрерывность сужения и суперпозиции функций. 19. Теоремы Коши о непрерывной функции на промежутке. 20. Непрерывность монотоной функции. 21. Степень с вещественным показателем х. 22. Свойства показательной функции f(x)= 23. Логарифмическая функция и замечательные приделы , , 24. Теорема В о Наибольшем и наименьшем значениях Функции на отрезке. 25. Равномерная непрерывность функции на множестве. Теорема кантора о равномерной непрерывности функции. 26. Определение f'(, правила дифференцирования. 27. Дифференцируемые функции. Уравнение касательной прямой кграфику функции. 28. Производная суперпозиции функций. 29. Теорема Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. 30. Правила Лопиталя. 31. Признаки монотонности функции. Экстремумы функции и их признаки. 32. Формула Тейлора и её применение к отысканию экстремума. 33. Формы Лагранжа для в формуле Тейлора. 34. Выпуклые функции (разностное и дифференциальные условия).
Множества и операции над ними. Их свойства. · Способы задания: 1) перечисление (B= f.e. B= – нечётные числа) 2) описание (Х= f.e. X= – ная числа меньше 7 · Операции: М – основное множество А,В с М 1) Объединение: А В = рисунок 2) Пересечение: А В= 3) Разность: А\В= · Свойства: 1) Дистрибутивные законы (А∪В)∩С=(А∩В) ∪ (В∩С), (А∩В) ∪С=(А∪С)∩(В∪С)
2) Законы двойственности (Де Морган) , Предел монотоной последовательности. Число е. Теорема: - если - если не огр, то lim=+∞ Число Эйлера: e=2,718281828 конечный Определения придела функций на двух языках. I) Aϵ lim f при x→a,если ждя " ϑ(А) $ окрестность U(a),т.ч. f(U(a)∩X)ϵ ϑ(A) Станд.окр: 1)≠a,AϵR (конечные) lim f(x)=A↝для всех ε>0 $d≫0 для "xϵX x≠a, |x(x→a)-a|<d↝|f(x)-A|<e II) x≠∅ϵR; aϵ Если U(a)= ϑ(a)\{a}-пред.окр точки а (а-пред.т.мн-ва х, если для " U(a)↝ ϑ(a)∩X≠∅) 1)a-пред.т.Х, когда $ U(n)=(n;∞) a=+∞ Если а-пред.т. ϑ(ф)сод. беск.число т из х I эквивалетно II
Свойства предела функции x⊂ℝ; f,g : X→ ℝ; aϵ 1) единственность: ⊐ 2) if ↝ $ U(a): if xϵ 3) if ↝ $ U(a): f огр в U(a)∩x 4) ↝ $ =A±B Аналогично: (g(x)≠0, B≠0) 5) предельный переход в нер-ве: ↝A≤B f(x)≤g(x) (xϵx, x≠a) 6) предел сужения: ⊐ ) ⊐ g= если $ 7) предел суперпозиции: ⊐ h опр на ↝
14. Односторонние пределы функции. x⊂ℝ; aϵ ℝ-пред.т.Х f:X→ ℝ ; рисунок Определение: ⊐ а-пред.т Если $ -то он называется левостор.предел f при x→a и обозн. через аналог.прав.предел x=ℝ; f(x)=[x-цел.часть х]=E(x)-наиб.число, непровосх.Х Замечание: 1) если а-предел.т.Х, то она явл пред.т. хотя бы одного из множеств 2) если а явл. пред.т. только ), то $-е f(a-0)⇔ 3) если $ обыч. предел и а-пред.т. ,то $ f(a-0), f(a+0) f(a-0)=f(a+0)= =1 1) $ 0<x< рисунок разделим sinx на " вел.в неравенстве sinx<x<tgx 1>sinx/x>cosx ↝ 0<1 sinx/x<1-cosx=2 2sin <2*x/2=x ↝ =1 2) = = =1 следствие: =1/2 =1 15. =e Известно, что =e nϵℕ ↝ " п.посл { нат.чисел, ⊐ { для " k найд.нат.число т.ч. ↝ т.о. доказано =e положим ⊐ = = = = =e следствие = =e 16. Предел монотонной функции (один из вариантов). ⊐ ф-я f опр на х⊂ℝ f возраст: " убыв: " монотонной, если f-возр или f-убыв х⊂ℝ: f-монот на Х, а-пред.т.Х (аϵ ) Рисунок
Теор: $ f возраст на х⊂ℝ; а-пред.т.Х а=sup; (для I) a∉X тогда $ в частности: а) если f огр сверху, то f иеет в т. а кон lim, б) если f не огран сверху, то Док-во: (для кон а) a) ⊐ для "xϵX f(x)≤M<∞ тогда $ кон supf(x)=A
Докажем, что А= рисунок e>0↝$ x’ϵX, т.ч. А-e<f(x') ⊐ d=a-x’ (↝d>0) тогда если хϵХ и a-d<x<a↝A-e<f(x’)≤f(x)≤A a↝|f(x)-A|<e б) ⊐ supf(x)=∞ и число М∈ℝ $ x'ϵX,т.ч. M<f(x’) и ⊐ d=a-x’. Тогда "xϵX, т.ч. x’<x<a спр. M<f(x’)≤f(x) т.е. =∞ точно также аналогично можно с II,III,IV Определения непрерывности функции в точке. Непрерывность сужения и суперпозиции функций. Пусть функция f9x) определена в некоторой окрестности 0() точки (включая саму точку , если существует , равный значению функции f(x) в этой точке: f( Замечание: равенство (1) можно записать в виде: f x), т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу. Пусть ∆x=x- -приведение аргумента ∆y=f(x)-f( - соответствующее приращение функции. Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке. Функцияу=f(x) непрерывна в точке тогда и только тогда, когда Замечание: условие (2) можно трактовать как второе определение непрерывности функции в точке. Оба определения эквивалентны. пусть f(x) опр в полуинтервале [ . Функция f(x) называется непрерывной справа в точке Пусть f(x) опрделена в полуинтервале ( Функция f(x) называется непрерывной слева в точке существует односторонний предел Теорема: (непрерывность сужения функции): Пусть f:X→ℝ; E⊂X; Если f непрерывна в точке то g-непрерывна в (непрерывность суперпозиции функций) Пусть f:X→ℝ; g: X→ℝ; f(x)⊂Y: ϵX f непрерывна в Тогда h=g◦f непрерывна в Пусть { → т.к. f непр в то т.к. g непр в , то g = Правила Лопиталя. Теорема 1: ®расрытие неопределенностей x® ⊐ функции f,g определены на (a,b> на (a,b> 3) 4) 5) $ Тогда $ если правда lim $, то определим f,g в т. а положив f(a)=g(a)=0 Тогда f,g непрерывны на [a,b> и дифференциалы в (a,b) Рассмотрим a<x<b на [a,b] можем применить теорему Коши a<x<b® Теорема 2: ⊐ f,g определены на <c,∞) <c,∞) 3) 4) 5) $ Тогда ⊐ ⊐ t= 1) непрерывны на как суперпозиция непрерывных функций 2)
3) 4) 5) =k по т.1 ⊐ Теорема 3: ⊐ f,g определена на (a,b> (-∞≤a) на (a,b> 3) 4) 5) $ Скорость стремления рисунок + ∞ 2) = = + ∞ Вопросы для экзамена по математическому анализу. 1. Множества и операции над ними. Их свойства. 2. Определение функции. Образы и прообразы множеств. 3. Биекции, теорема о $ обратной функции. 4. Счетные множества и их свойства. 5. Множество , сечения. Аксиома полноты и теорема о $ точных граней множества в 6. Определение о свойства , неопределённости. 7. Предел монотонной последовательности. Число е. 8. Лемма о последовательности вложенных отрезков. Теорема об открытом покрытии отрезка. 9. Теорема Б-В о подпоследовательности. Критерий Б-К для сходимости числовой последовательности. 10. Множества мощности и их свойства. 11. Наибольший и наименьший пределы последовательности. 12. Определения придела функций на двух языках. 13. Свойства предела функции. 14. Односторонние пределы функции. 15. 16. Предел монотонной функции (один из вариантов). 17. Критерий Б-К для предела функции. 18. Определения непрерывности функции в точке. Непрерывность сужения и суперпозиции функций. 19. Теоремы Коши о непрерывной функции на промежутке. 20. Непрерывность монотоной функции.
21. Степень с вещественным показателем х. 22. Свойства показательной функции f(x)= 23. Логарифмическая функция и замечательные приделы , , 24. Теорема В о Наибольшем и наименьшем значениях Функции на отрезке. 25. Равномерная непрерывность функции на множестве. Теорема кантора о равномерной непрерывности функции. 26. Определение f'(, правила дифференцирования. 27. Дифференцируемые функции. Уравнение касательной прямой кграфику функции. 28. Производная суперпозиции функций. 29. Теорема Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. 30. Правила Лопиталя. 31. Признаки монотонности функции. Экстремумы функции и их признаки. 32. Формула Тейлора и её применение к отысканию экстремума. 33. Формы Лагранжа для в формуле Тейлора. 34. Выпуклые функции (разностное и дифференциальные условия).
Множества и операции над ними. Их свойства. · Способы задания: 1) перечисление (B= f.e. B= – нечётные числа) 2) описание (Х= f.e. X= – ная числа меньше 7 · Операции: М – основное множество А,В с М 1) Объединение: А В = рисунок 2) Пересечение: А В= 3) Разность: А\В= · Свойства: 1) Дистрибутивные законы (А∪В)∩С=(А∩В) ∪ (В∩С), (А∩В) ∪С=(А∪С)∩(В∪С) 2) Законы двойственности (Де Морган) ,
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-02-07; просмотров: 60; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.128.78.41 (0.087 с.) |