Понятие величины и признаках ее проявления

Автор: Н.Н. Паболкова,

Журнал: Начальная школа. 2004. № 3

Ссылка:https://n-shkola.ru/archive/viewarticle/598

 

Величины предметов в виде представлений входят в жизнь младшего школьника при выполнении упражнений, измерительных работ и решении текстовых задач. Полученные представления о величинах предметов уже в основной и средней школе сменяются строгими определениями, основанными на аксиомах. При этом понятия величина и ее измерение могут остаться вне понимания школьников. Поэтому уже в начальной школе необходимо раскрыть реальную и формальную сущности понятия величины и выделить основные признаки ее проявления. Выбор учителем методики обучения величинам младших школьников непосредственно зависит от его знания теоретических основ математики. Глубокие знания теоретических основ изучения величин и математический кругозор предоставляют учителю возможности для поиска методов и технологий обучения величинам младших школьников. Но даже для ориентации в существующих подходах изучения величин и их измерений в содержании различных учебников учителю необходимо знать исходные стержни понятия величины.

 

Так что же такое величина? Какова ее сущность и признаки ее проявления? Возникновение и первоначальное развитие понятий величины и ее измерения диктовались задачами естествознания. В процессе жизненной практики возникала необходимость рассматривать множества предметов, характеризующихся общим непрерывным свойством количественно (делением на составные части) так, что в своем проявлении это свойство для каждого элемента соответствующего множества различно. Такое свойство назвали величиной.

 

Исторически известно, что понятие величины возникло как абстракция некоторых свойств реальных объектов и явлений, измерение которых привело к понятию числа. Но, несмотря на то что число является результатом измерения величины, в начале XX столетия был признан факт самостоятельного существования понятий величины и числа. Теория чисел стала развиваться независимо от теории величин и получила более содержательное развитие, чем теория величин. Трактовки же величин в различных дисциплинах естественного цикла до сих пор носят неоднозначный характер. «Величина есть все то, что может быть больше или меньше», — говорили древнегреческие математики. «Множество величин есть то, к чему приложены понятия больше и меньше, но точно не измеримых» — мнение академика А.Н. Крылова (1863–1945). «Величина есть все то, что способно увеличиваться и уменьшаться», — определение члена корреспондента Петербургской академии наук Г. Дарбу (1842–1917). Характеризуя такого рода определения, французский математик Г. Лебег (1875–1941) заметил: «Следовало бы создать теорию, которая могла бы прилагаться одновременно к объемам, к честолюбию, к температуре, к аппетиту, к государственному бюджету, к плодородию почвы, к уму, к уровню воды в Сене, к удивлению и т.п., в частности, к величине числа, измеряющего величину. Можно прямо сказать, что настоящее затруднение начнется с поисков чего-нибудь, что не является величиной, что в том или ином смысле не способно увеличиваться или уменьшаться. Если хотят иметь возможность проводить исследования, то нужно указать область, которой будут ограничиваться» [2, 153]. Эта мысль Г. Лебега заложена в определении величины, сформулированном советским математиком Н.Я. Виленкиным: «Величиной, заданной отношениями а b и а = b с в множестве Ω (области определения величины), называется разбиение этого множества на классы эквивалентности по отношению «а равновелико b» [1]. Такое определение конкретно, но, во-первых, оно предусматривает существование действительных чисел и операций над ними, что противоречит учению о числе как результате измерения величины; во-вторых, его трудно считать доступным для понимания школьником; в-третьих, оно не раскрывает сущности понятия величины.

Если учесть, что на данный момент существуют две концептуальные точки зрения относительно сущности понятия величины: величина — это свойство и величина — это число, то какой точке зрения надо придерживаться? В некоторых учебниках математики и в учебниках физики величина —это свойство, а в учебниках геометрии под величиной понимают число. Практика показывает, что при изложении и усвоении материала о величинах возникает ряд трудностей математического и методологического характера. Поэтому в этой статье мы опишем подход к понятию величины, основанный на трактовке древнегреческого философа Аристотеля (384–322 до н.э.), так как в основе его системы философии математики лежит понимание математических знаний как отражения объективного мира, что является методологической основой для многих математических понятий, в том числе для понятия величины. Создавая систему философии математики, Аристотель писал: «Количеством называется то, что может быть разделено на составные части, каждая из которых является чем-то одним, данным налицо. То или другое количество есть множество, если его можно счесть, это — величина, если его можно измерить. Множеством при этом называется то, что делится на части не непрерывные, величиною — то, что делится на части непрерывные....Непрерывное есть само по себе нечто смежное. Смежное есть то, что, следуя за другим, касается его. Прерывное (дискретное) образование формируется соединением дискретных, далее не делимых элементов. Но так как неделимое не имеет частей, им необходимо касаться целиком, но касающееся целиком не образует непрерывного» [2].

Исходя из философских рассуждений Аристотеля, величина предмета не может быть числом, так как его нельзя разделить на части непрерывные: число — абстрактное понятие. Следовательно, величина — это свойство предмета, оно определяет реальную сущность понятия величины. О том, что величина — свойство, говорит и тот факт, что величина является характеристикой объектов и явлений. А то, что характеризует объект или явление, называют свойством. Тогда по правилу силлогизма величина предмета — это его свойство. Свойство выражает характеристику предмета, которая обусловливает его различие или общность с другими предметами и обнаруживается в его отношении к ним. Каждый предмет обладает множеством свойств. К свойствам предметов относятся: масса, время, пол, цвет, запах, сообразительность, честность, форма, длина, площадь, знания, скорость, твердость, сила, температура и др.Если рассматривать множества элементов различной природы, то можно заметить, что элементы каждого множества обладают какими-то общими свойствами хотя бы потому, что они входят в одно и то же множество: например, множество объектов, имеющих цвет, или множество объектов, имеющих длину. Общим свойством называют свойство, присущее всем предметам данного множества. Специфическое или индивидуальное проявление общего свойства в каждом элементе множества называют значением данного свойства. Ведь у каждого предмета того или иного множества, например, свой цвет или длина, т.е. значение цвета или длины. Если значения цвета несут в себе качественную характеристику, порождая ответ на вопрос «Какой цвет?» (зеленый, красный, синий и т.д.), то значения длины кроме качественной характеристики (длинный —короткий) несут в себе количественную характеристику, порождая ответ на вопрос «Сколько?», и их можно записать определенным образом. Причем ответ на вопрос «Сколько?» наводит на размышление: «столько же», «много» или «мало», но по сравнению с чем? Например, площадь, занимаемая посаженным картофелем на дачном участке, занимает «столько же» (относительно площади свеклы) места, что и площадь посаженной свеклы, «много» (относительно площади редиски) по сравнению с площадью посаженной редиски, но «мало» (относительно площади дачного участка) по сравнению с площадью всего дачного участка. Здесь речь идет о внешней определенности предмета, которая может выражаться количеством, если найдены критерии сравнения. Длины предметов можно сравнивать приложением, массы — взвешиванием, емкость — вместимостью, время — продолжительностью события и т.д. Надо заметить, что сравнивают только однородные свойства предметов, т.е. такие, которые характеризуют одно реальное состояние предмета: или линейную протяженность, или инертность, или трехмерную протяженность, или продолжительность события и т.д. Если, например, длина елочки занимает на прямой «столько же» места, что и длина волны, «много» места по сравнению с длиной стрелы, но «мало» места по сравнению с длиной палки, то значение длины елочки может выражаться количеством волн и записываться определенным образом — (|) волн; количеством стрел и записываться — (| | _|) стрел; количеством палок и записываться — (_|) палок. При этом длину волны, длину стрелы, длину палки называют единицами длины елочки. Сравнение, которое «отвечает» на вопрос: «Равны ли длины елочки и волны?», устанавливает отношение равновеликости (елочка равна волне по длине). Отношение равновеликости рефлексивно, симметрично, транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности, а следовательно, порождает разбиение множества предметов на классы эквивалентности равных по длине предметов. Сравнение, которое «отвечает» на вопросы: «Во сколько раз длина елочки больше длины стрелы?» (в (| | _|) раза) и «Во сколько раз длина елочки меньше длины палки?» (в (_|) раза), устанавливает отношение кратности. Отношение кратности антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением нестрогого порядка. Если задать вопрос: «На сколько длина елочки больше длины стрелы и меньше длины палки?», то ответ тоже будет выражаться количеством и запишется определенным образом: на (| _|) стрелы и на (|) елочку. Сравнение, которое «отвечает» на вопрос: «На сколько длина елочки больше длины стрелы и меньше длины палки?», устанавливает разностное отношение. Разностное отношение не подчиняется свойству транзитивности, но оно порождает отношение «больше» (или «меньше»), которое является отношением строгого линейного порядка. Таким образом, длина елочки порождает ответы на вопросы: «Какова длина елочки по сравнению с длинами волны, стрелы и палки?» (равная, длинная или короткая), «Сколько волн, стрел и палок укладывается по длине елочки?» ((|) волна, (| | _|) стрелы и (_|) палки) и записывается определенным образом.

Свойства предметов: масса, время, длина, площадь, скорость, температура и др. — являются непрерывными, если любые смежные части предмета обладают той же величиной; их значения порождают ответы на вопросы «Какой?» (равный или относительно противоположный) и «Сколько?» (относительно конкретно); и их можно записать определенным образом. Такие свойства принято называть величинами. Величина является обобщающим понятием непрерывных особых свойств предметов, является их абстракцией. Иначе говоря, величина — абстрактное понятие, выражающее качественно и количественно непрерывное свойство предмета. Качество определяется равенством (такой же) или относительной противоположностью (большой — маленький, тяжелый — легкий, высокий — низкий, толстый — тонкий, длинный — короткий и т.д.), количество определяется относительно выбранной единицы величины. Таким образом, абстрагирование от свойств предметов порождает понятие величины, реальная сущность которой определяется реальными свойствами предметов.

Если использовать формальную запись величины предметов: (|) волна, (| | _|) стрелы, (_|) палки и др., то мы переходим на второй уровень абстракции свойств предметов, который определяет формальную сущность понятия величины предметов (см. схему). При постижении реальной и формальной сущностей понятия величины преодолевается разрыв между формальной записью (в том числе именованным числом) значения величины и реальным свойством предмета. Поэтому под величиной предмета с точки зрения реальности понимают свойство предмета, а с формальной точки зрения —формальную запись величины (именованное число). При таком подходе к понятию величины можно найти «точки соприкосновения» между всеми существующими трактовками понятия величины. Определение: общее непрерывное свойство совокупности предметов, значения которого порождают ответы на вопросы «Какой?» (равный или относительно противоположный) и «Сколько?» (относительно конкретно) и их можно записать определенным образом, называется величиной. Это определение величины построено конструктивно: через род и видовое отличие. Родовым понятием величины является «общее непрерывное свойство совокупности предметов», видовым отличием — «значения которого порождают ответы на вопросы «Какой?» (равный или относительно противоположный) и «Сколько?» (относительно конкретно) и их можно записать определенным образом»

.Сформулированное определение можно использовать для распознавания величины предмета. Например:— масса является общим непрерывным свойством совокупности предметов, и ее значения порождают ответы на вопросы: «Какая масса каждого из совокупности предметов такая же? тяжелее или легче? (равная или относительно противоположная)», «Сколько единиц содержится в массе каждого из совокупности предметов?» (относительно конкретно). Масса —величина;— цвет тоже является общим непрерывным свойством совокупности предметов, но его значения порождают ответ только на вопрос: «Какой цвет каждого из совокупности предметов красный? голубой? зеленый? или другой?» (относительно не противоположный). Следовательно, цвет — не величина; — синий цвет (синева) — общее непрерывное свойство совокупности предметов, и его значения порождают ответ на вопрос: «Какой синий цвет каждого из совокупности предметов такой же? Темный или светлый?» (равный или относительно противоположный). Но на вопрос: «Сколько единиц содержится в синем цвете каждого из совокупности предметов?» ответа нет, так как единица синего цвета не определена (не придумана). Синий цвет — не величина. Хотя если ввести единицу интенсивности синего цвета и построить шкалу обозначений для каждого значения синевы (шкалу измерения), то синий цвет станет величиной. Если А = {а, b, с, d, e,...} — множество предметов, обладающих величиной Ω, то отношение равновеликости порождает разбиение множество А на классы равных предметов по величине Ω: А = {А1, А2, А3, А4, А5,...}. Тогда отношения кратности или больше определят строгий линейный порядок между классами равных предметов по величине Ω. Множество А = {А1, А2, А3, А4, А5,...} станет упорядоченным по величине Ω, что позволяет построить шкалу обозначений для каждого значения величины Ω (шкалу измерения). Из вышесказанного можно сформулировать признаки определения величины предмета

. 1. Величина предмета как абстрактное понятие выражает непрерывное свойство предмета, так как любые смежные части предмета обладают той же величиной.

2. Величина предмета порождает ответ на вопрос «Какой?» (равный или относительно противоположный: большой — маленький, тяжелый — легкий, высокий —низкий, толстый — тонкий, длинный — короткий, сильный — слабый и т. д.) — качественная характеристика.

3. Величина предмета определяется количеством (характеристикой деления на составные части) определенным образом.

4. Величина предмета имеет единицу величины, которую можно дробить.

5. Величина предмета порождает ответ на вопрос «Сколько?» относительно конкретно, и ее значение можно записать определенным образом (формально) — количественная характеристика.

6. Величину предмета можно сравнивать с однородной величиной (свойство сравнимости). Сравнение, определяющее равные значения величины, устанавливает отношение равновеликости на множестве предметов по данной величине. Сравнение, определяющее, во сколько раз одно значение величины больше или меньше другого, устанавливает кратное отношение. Сравнение, определяющее, на сколько одно значение величины больше или меньше другого, устанавливает разностное отношение. Сравнение, определяющее, больше или меньше одно значение величины другого, устанавливает отношение строгого линейного порядка.

7. Величина, задавая отношение равновеликости на множестве предметов, порождает разбиение этого множества на классы эквивалентности равных по данной величине предметов. Опираясь на признаки проявления величины предметов, можно выполнять следующие операции над их величинами: сложение и вычитание, умножение на натуральное число, деление на равные части и деление по содержанию. Таким образом, подход к понятию величины, изложенный в настоящей статье, раскрывает реальную и формальную сущности понятия величины, признаки ее проявления и, на наш взгляд, доступен пониманию школьника, а следовательно, после адаптации может быть использован в школьном преподавании. Во всяком случае, по нашему мнению, приведенные рассуждения в отношении понятия величины и признаков ее проявления полезны как будущему учителю начальных классов, так и настоящему в целях повышения профессиональной компетентности и развития творчества учителя.

 

 

      К вопросу об изучении величин в начальной школе.

Автор: Р.Н.Шикова

Выходные данные: журнал начальная школа. 2006 год, 6 выпуск

Ссылка: https://n-shkola.ru/storage/archive/1407237212-1332344965.pdf

Основными понятиями начального курса математики являются «число» и «величина». В методико-математической литературе, используемой при подготовке учителей начальных классов, этому уделяется много внимания.

Как показывает практика, у учителя нередко наблюдается неуверенность в использовании термина величина. Грубый методический просчет допускает учитель, когда при решении задачи «Купили 5 кг моркови и 4 кг капусты. Сколько всего килограммов овощей купили?», задавая вопрос: «О каких величинах идет речь в задаче?» — соглашается с ответом ученика, что в задаче речь идет о килограммах. Килограмм — это единица величины. В задаче речь идет о массе купленных овощей.

На уроке при решении задач нередко можно услышать: «Находим величину площади», а т.к. площадь — это величина, то данное выражение равнозначно следующему: «Находим величину величины», что некорректно.

Автор методического пособия для учителей начальных классов на основе анализа программ и учебников различных систем обучения математике в начальной школе отмечает, что при обучении учащихся математике по некоторым системам и учебникам «...интуитивные представления детей о конкретных величинах не только не уточняются, но в определенной мере искажаются: авторы отождествляют объект и величину, характеризующую его, они также не разводят понятия величина, значение величины, числовое значение величины, смешивают физический и математический смысл величины. В результате представления учащихся о величине, полученные из учебников этого направления, могут быть противоречивыми, алогичными и формальными».

При ознакомлении с той или иной величиной «...важно, чтобы у детей сложилось определенное представление о том, что такое величина вообще и как ее измерять. Не менее важно, чтобы представление о величинах связывалось у ученика с предметами и явлениями окружающего мира и, так же как понятие числа, понятие величины приобретало для них практическую значимость».

В начальных классах используется интуитивный подход, в соответствии с которым формируются представления о величинах как о некоторых свойствах предметов или явлений, связанных прежде всего с измерением. Прежде всего, необходимо ознакомить учащихся со свойствами различных предметов и научить учащихся выявлять как качественные, так и количественные свойства: например, сравнить 2 кубика одинакового цвета по размеру и по массе. Сравнивая большой и маленький кубики, ученики приходят к выводу, что один из них больше по размеру, а другой больше, например, по массе. Выполняя такие упражнения, учащиеся начинают понимать, что сравнение нужно проводить по определенному свойству. При измерении тех или иных величин важно, чтобы учащиеся осознавали, что величина — это свойство предметов, по отношению к которому можно проводить сравнение и сложение.

В учебниках математики М.И. Моро и других для начальной школы введен термин величина и предлагается система упражнений, которая дает возможность сформировать у учащихся понятие величина и выработать прочные умения выполнения арифметических операций над величинами. При выполнении этих упражнений школьники усваивают, что величина — это свойство предметов, причем такое свойство, которое позволяет сравнивать и устанавливать пары объектов, обладающих свойством в равной мере, или выяснять, какой из них обладает этим свойством в большей мере.

В учебнике математики Н.Б. Истоминой предлагаются задания, которые помогут осознанному выполнению различных действий над величинами. Приведем в качестве примера некоторые из них.

При выполнении заданий такого типа учащиеся начинают осознавать, что складывать или сравнивать можно только однородные величины. При изучении каждой последующей темы включается ранее пройденный материал, что благоприятно сказывается на усвоении учащимися знаний, формировании умений и навыков.

Вопрос об использовании термина величина в процессе обучения решению текстовых задач требует особого внимания. Как известно, в любой задаче идет речь не менее чем о двух значениях величины, находящихся в некоторых связях и отношениях. На их основе выбирается действие, посредством которого решается задача. Эти связи и отношения бывают самыми разнообразными и довольно сложными, поэтому не только детям, но иногда и учителям трудно осознать, о каких величинах идет речь в задаче и какие связи и зависимости могут быть между ними. В связи с этим задавать вопрос: «О каких величинах идет речь в задаче?» не всегда целесообразно, так как, возможно, учащиеся еще не знают о существовании той или иной величины.

Поясним сказанное на примере решения задачи: «Сколько лошадей заменит один большегрузный самосвал, если он берет 25 т груза и движется со скоростью 20 км/ч, а лошадь берет 500 кг груза и движется со скоростью 10 км/ч?» (с. 225, № 106).

На вопрос: «О каких величинах идет речь в данной задаче?» учащиеся отвечают, что в задаче речь идет о массе и скорости. Однако что можно найти по этим данным и какая зависимость существует между скоростью и массой перевозимого груза за один рейс, определить учащимся крайне трудно.

Что же можно найти по этим данным? На самом деле в задаче идет речь о работе и мощности. При решении используется формула мощности. Но в начальных классах ознакомление с этими формулами не предусмотрено программой.