Учет гармонической нагрузки в весомых балках

 

В случае гармонической силы P (t)= P sinθ t в установившемся режиме вынужденных колебаний с частотой возмущения θ можно использовать метод начальных параметров с уравнением движения сечений (15.52) с одной гармоникой

.      (15.60)

Амплитудное значение гармонической силы Р в уравнении (15.60) учитывается слагаемым, аналогичным слагаемому, содержащему Р ₀, т.е. слагаемым  на участках справа от места приложения возмущающей силы с координатой а.

Пример 15.9. Консоль с распределенной массой интенсивностью m и сосредоточенной массой М загружена гармонической силой , рис. 15.17. Найти расчетный изгибающий момент.

Решение. Уравнение колебательных движений сечений (15.60) при выборе начала координат на левом конце балки будет иметь вид

,

где начальный параметр Р ₀ состоит из амплитудного значения приложенной гармонической   Р и силы инерции колеблющейся сосредоточенной массы Р_и

.

Тогда уравнения изогнутой оси балки и углов поворота примут следующий вид:

,                  (15.61)

.               (15.62)

Здесь обозначено , .

Из условий защемления консоли  получаем систему уравнений, откуда находим начальные параметры:

, .

Здесь  - определитель системы уравнений, описывающих условия защемления балки.

Используя сочетания функций Крылова:

, ,

,

формулы начальных параметров можно представить в виде:

,

.

Заметим, что, приравнивая знаменатель этих формул нулю, получим частотное уравнение (15.57).

В конкретном случае, рассмотренном в примере 1 п. 15.3.4, при ξ=1 получена частота первого тона колебаний . Примем частоту возмущения θ=0,49ω₁. Тогда . По этому аргументу находим значения тригонометрических и гиперболических функций: , , ,  и вычисляем коэффициенты начальных параметров: , .

 

Дифференцированием (15.62) находим уравнение изгибающих моментов:

.

 

Подставляя сюда значения коэффициентов начальных параметров, при z = l находим расчетный изгибающий момент в заделке

.

 

Заметим, что при динамическом загружении динамические коэффициенты по прогибам, углам поворота и моментам не одинаковы.

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. М.; Высш. шк., 1969.

2. Кисилев В. А. Строительная механика. Специальный курс (Динамика и устойчивость сооружений). –М.: Из-во лит. По строительству, 1964. –331 с.

3. Писаренко Г. С., Квітка О. Л., Уманський Е. С. Опір матеріалів.-К.: Вища шк., 1993. 665 с.

4. Писаренко Г. С. и др. Сопротивление материалов.:Высш. шк., 1986.-775 с

5. Смирнов А.Ф. Сопротивление материалов. -М.; Высш. шк., 1975.-479 с.

6. Тимошенко С.П., Дж. Гере. Механика материалов. - М.: Мир,1976.- 670с.

7. Феодосьев В. И Сопротивление материалов..-М.; Наука., 1986.-512 с.

8. Шевченко Ф. Л. Изгиб стержневых систем: Учеб. Пособие.-Донецк:ДПИ,1984.-95 с.

9. Шевченко Ф. Л. Механика упругих деформируемых систем. Часть 1,Напряженно деформированное состояние стержней. Учеб. пособие.-Киев,1993 279 с.

10. Шевченко Ф. Л. Механика упругих деформируемых систем. Часть 2,Сложное напряженное состояние Учеб. пособие.-Киев,1993 239 с.

11. Шевченко Ф. Л. Механика упругих деформируемых систем. Часть 3. Учеб. пособие.-Киев. УМК ВО,1993 95 с.

12. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. – М.: Наука, 1967. –442с.