Колебания систем с двумя степенями свободы

Примером такой системы может быть невесомая балка с двумя сосредоточенными массами М ₁ и  М ₂, рис. 15.10.

Уравнения перемещений масс имеют вид:

,

.

Здесь δ - единичные перемещения, а Р – силы инерции масс в случае собственных колебаний:  и .

Так как при собственных колебаниях уравнения перемещений аналогично (15.6) имеют вид  и , то, подставляя силы инерции  и  в уравнения перемещений, получим систему амплитудных перемещений:

,                       (15.40)

.

Приравнивая определитель этой системы нулю, получим биквадратное частотное уравнение

.

Корни этого уравнения

 (15.41)

определяют две частоты собственных колебаний – меньшую ω₁ и большую ω₂.

Из системы уравнений (15.4) следует, что между амплитудами колебаний существует определенная зависимость

.                                   (15.42)

Частоте ω₁ соответствует коэффициент , а частоте  ω₂ – k ₂ = B ₂ / A ₂. Так можно найти уравнения движения масс и скоростей движения:

,

,

,

.            (15.43)

В этой системе четыре неизвестных – две амплитуды и две начальные фазы. Умножая первое и второе уравнения системы (15.43) на k ₂ и вычитая из них третье и четвертое уравнения при условии , , ,  находим амплитуды колебаний и начальные фазы:

,

,

,       (15.44)

.

По амплитудам и частотам колебаний можно вычислить силы инерции и выполнить динамический расчет прочности балки.

В частном случае симметричной системы, когда , из (2.3) найдем:

, .

 

Этим частотам соответствуют коэффициенты k ₁ =1 и k ₂ =-1, определяющие две формы колебаний – симметричную с низшей частотой колебаний ω₁ и кососимметричную с частотой ω₂, рис. 15.11:

,

.                  (15.45)

Дважды дифференцируя уравнения движения (15.45), можно найти ускорения, а затем и силы инерции колеблющихся масс:

,

.

С учетом перемещений (15.45) получаем:

,

.

В случае вынужденных колебаний (без учета сопротивления движению) от заданной гармонической нагрузки  и

система амплитудных уравнений (15.40) будет неоднородной:

,

.

Отсюда находим амплитуды вынужденных колебаний:

,

Здесь главный определитель системы

.

 

Поперечные колебания систем с распределенными параметрами

 

Системами с распределенными параметраминазываются системы с бесконечным количеством сосредоточенных масс или системы с массой распределенной по известному закону. Ограничимся рассмотрением систем с равномерно распределенной массой интенсивностью m.

Используем приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, рис. 15.12.

 

и дважды его дифференцируем

 

.          (15.46)

Здесь  - интенсивность сил инерции от распределенной массы и возмущающей нагрузки.

Если возмущающей нагрузки нет, когда , то получим дифференциальное уравнение движения сечений балки при собственных колебаниях.