Расчет тонкостенных оболочек по безмоментной теории

 

Рассмотрим тонкостенную осесимметричную оболочку, испытывающую действие внутреннего давления жидкости или газа (рис. 13.1) Выделим из этой оболочки двумя кольцевыми и двумя меридиональными сечениями бесконечно малый элемент, и рассмотрим его в равновесии (рис.13.3).

Рис. 13.3

 

Принимая во внимание осевую симметрию оболочки и полярно симметричную нагрузку в меридиональном и кольцевом направлении, можно полагать, что по сечениям отсутствуют деформации сдвига. Следовательно, касательные напряжения по таким сечениям будут равны нулю. По граням рассматриваемого элемента действуют только нормальные напряжения, вызванные двумя растягивающими продольными усилиями в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.

На площадках окружных сечений действуют меридиональные напряжения σ _m, а на меридиональных площадках - окружные напряжения σ _t.

Меридиональным σ _m называется такое нормальное напряжение, которое действует в оболочке в меридиональном направлении.

Кольцевым σ _t называется такое нормальное напряжение, которое действует в оболочке в кольцевом направлении.

Напряжения σ _m и σ _t, как сказано выше, распределены по площади сечений равномерно.

Срединная поверхность оболочки является поверхностью двоякой кривизны. Радиус кривизны в меридиональном направлении обозначим через ρ_{m ,,} а в окружном – ρ_{t .} (рис. 13.3). На внутреннюю поверхность оболочки действует распределенная нагрузка, равнодействующая которой равна

                                                   dP = p dS_m dS_t

Равнодействующая нормальных напряжений по меридиональным сечениям

                                                 dN_t = σ _m dF_t = σ _m d S_t δ

Аналогично по кольцевым сечениям

                                              dN_m = σ _t dF_m = σ _t dS_m  δ

 

Запишем условие равновесия элемента, спроектировав все силы на ось nn.

                                S F_nn =2 N_t  sin d α _m /2+ 2 N_m sin d α_t/2 – dP = 0

                                2σ _m d S_t  δ sin d α _m /2 + 2 σ _t dS_m  δ sin d α _t /2 – p dS_m dS_t = 0            13.1

Ввиду малости углов и можно записать

                                  sin d α_t/2= d α_t/2,  sin d α _m /2 = d α _m /2

 

После преобразований получим

                                                                                                                  13.2

 

Это уравнение получено французским астроном и физиком Лапласом в начале XIX века, который решал задачу, связанную с поверхностным натяжением в жидкостях. Аналогичность этих явлений состоит в том, что пленка в капле жидкости, как и стенке оболочки, испытывают растяжение, удерживая в равновесии некоторый объем жидкости. Этим можно объяснить применение в практике строительства каплевидных резервуаров, обладающих рядом преимуществ по сравнению с другими формами оболочек. Однако изготовление каплевидных резервуаров представляет определенные трудности.

Формула (13.2) содержит два неизвестных σ _m и σ _t.

Для определения меридионального напряжения σ _m рассмотрим (рис. 13.1 б). Нижняя часть отсеченной оболочки находится в равновесии. Следовательно,

 

                         S F _оо = σ _m 2π R δ cos α – p π R ^{2 –} – Q = 0                                                      13.3

 

отсюда

                                                                                                      13.4

Здесь:

Q – вес части сосуда и жидкости, расположенных ниже рассматриваемого сечения,

P - давление в жидкости, определяемое по закону Паскаля с учетом избыточного давления по сравнению с атмосферным – q,

γ – плотность жидкости.

p = γ h + q

 

Используя формулы (13.2) и (13.4) можно найти меридиональные и окружные напряжения в оболочке.

Нормальные напряжения σ _m и σ _t, действующие по площадкам, на которых отсутствуют касательные напряжения, являются главными. Третье главное напряжения изменяется в пределах: ноль на наружной поверхности оболочки до значения р на внутренней поверхности. В тонкостенных оболочках σ _m и σ _t значительно больше р, поэтому значением главного напряжения σ₃ пренебрегаем. Следовательно, материал тонкостенной оболочки находится в плоском напряженном состоянии. Давая оценку прочности оболочки, будем пользоваться четвертой теорией прочности

                                                                                                     13.5