Статически неопределимые балки

 

При перекрытии нескольких смежных пролетов часто применяют неразрезные балки (рис. 9.21). Такие балки, у которых число неизвестных усилий превышает возможное число независимых уравнений равновесия, называются статически неопределимыми балками. Неразрезные балки относятся к статически неопределимым балкам. Однако могут быть статически неопределимыми и однопролетные балки (рис. 9.22).

 

Степень статической неопределимости балок можно найти по формуле:

 

η= С -3,                                                                 (9.15)

где С - число наложенных связей на ось балки. На рис. 9.21 степень статической неопределимости по формуле (9.15):

η= С -3=7-3=4,

а для балки (рис. 9.22):

η= С -3=4-3=1

Следовательно, чтобы рассчитать балку в первом случае необходимо составить четыре дополнительных уравнения, а во втором случае только одно дополнительное уравнение.

Применим для расчета однажды статически неопределимой балки (рис. 9.22) метод начальных параметров. Граничные условия из условия закрепления будут такими: при z=0, v =0, φ=0; при z = l, v= 0. Из первых двух условий вытекает, что кинематические параметры v ₀=0, φ₀=0. Поэтому уравнение прогибов для прогиба по методу начальных параметров будет таким:

                                  (а)

Запишем ещё уравнение равновесия в виде Σ М_В =0        (б)

Подставим вторые граничные условия в уравнение (а) получаем:

,

или

.                                   (в)

Решая совместно уравнения (б) и (в), получаем:

  

Из уравнения равновесия в виде Σ Y =0, найдем реакцию правой опоры:

А далее построение эпюр М и Q, определение перемещенийвыполняется обычным путем как для статически определимой балки с известными значениями реактивных усилий и момента Уравнения поперечных сил, изгибающих моментов и углов поворота сечений балки принимают вид:

;   ;         ; .

По этим уравнениям построены соответствующие эпюры (рис. 9.23).

Рассмотрим расчет однажды статически неопределимой двухпролетной балки (рис.9.24, а), загруженной сосредоточенной силой Р в середине левого пролета. Причем жесткость балки в правом пролете примем в k раз больше жесткости левого пролета.

Отбросим опору С и заменим её действие на балку неизвестной реакцией С (рис. 9.24 б).

Эта балка отличается от заданной балки тем, что точка С получила свободу перемещения в вертикальном направлении (прогиб) Δ _с. Для раскрытия статической неопределимости воспользуемся условием Δ _с =0, так как в заданной балке прогиб отсутствует. Для определения Δ_с воспользуемся принципом независимости действия сил (рис. 9.24 в, г), согласно которому:

Δ _с =Δ_с(Р)-Δ_с(С)=0          (1)

 

Найдем составляющие прогиба Δ _с по правилу Верещагина. Для этого перемножим эпюры изгибающих моментов (рис. 9.24 д, ж). Получаем:

                  (2)

Для этого перемножим эпюры изгибающих моментов (рис. 9.24е, ж). Получаем:

                             (3)

Подставим (2) и (3) в равенство (1) получим:

+ ,

Откуда получаем:

                                                               (4)

 

Составляя уравнения равновесия Σ М_А =0 и Σ М_В =0, получим:

;                                       (5)

В случае если жесткости пролетов одинаковы, то реакции опор будут такими:

;        ;                                         (6)

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для этого случая представлены на рис.9.25 с учетом значений реакций (6).

В случае если жесткость правого пролета EJ_x =∞, то реакции опор будут такими:

;                 ;                                           (7)

С учетом значений реакций (7) на рис. 9.26 показаны эпюры Q и M.