Приложения определенного интеграла

Задача 9. Пользуясь однократным интегралом, вычислите площадь области, ограниченной линиями.

Рис. 1

Решение. Начать следует с построения области, площадь которой требуется найти.

а) ‑ гипербола, > ‑ ось О х, ‑ прямые параллельные, оси О у (рис. 1).

Так как область интегрирования прилегает к оси О х, для нахождения площади области следует воспользоваться формулой  где – уравнение линии, ограничивающей область сверху.

Тогда

б) ‑ парабола, которая пересекает ось О х в точках
 и имеет вершину в точке , > – прямая, являющаяся биссектрисой I и III координатных углов (рис. 2).

 

Рис. 2

 

Так как область заключена между двумя линиями, то для нахождения ее площади следует воспользоваться формулой  уравнение линии, ограничивающей область сверху, а  − снизу. Для нахождения пределов интегрирования нужно найти абсциссы точек пересечения параболы и прямой, решив совместно эти уравнения.

Задача 10. Решите задачи.

а) Скорость движения точки v равна  м/с. Найдите путь s, пройденный точкой от начала движения до ее остановки;

б) При сжатии пружины на 0,05 м затрачивается работа 25 Дж. Какую работу необходимо совершить, чтобы сжать пружину на 0,1 м?

Решение. а) Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью  за промежуток времени от   t ₁  до t ₂, вычисляется по формуле

Скорость точки равна нулю в момент начала движения и в момент остановки. Для нахождения момента остановки точки нужно решить уравнение

 откуда

Тогда

.

б) Работа, произведенная переменной силой  при перемещении по оси  материальной точки от  >  до  находится по формуле

При решении задачи необходимо использовать закон Гука:   F= kx, где F − сила (Н), х − абсолютное удлинение (м), вызванное силой F, а k − коэффициент пропорциональности (Н/м).

Зная величину сжатия пружины (0,05 м) и произведенную при этом работу (25 Дж), можно воспользоваться формулой работы:

откуда k = 20 000 Н/м. Теперь по этой же формуле следует найти работу:

Кратный интеграл

Повторный интеграл

Задача 11. Найдите повторный интеграл

Решение. Сначала необходимо вычислить внутренний интеграл, считая у переменной, а х − постоянной величиной.

Полученный результат нужно подставить под знак внешнего интеграла и проинтегрировать его по переменной х.

Таким образом,

Двойной интеграл

Задача 12. По области D приведите двойной интеграл к повторному двумя способами и найдите его.

Решение. Нахождение двойного интеграла следует начать с изображения области интегрирования. Все линии, ограничивающие область, необходимо построить и подписать (рис. 3).

 

Рис. 3

 

Затем необходимо перейти от двойного интеграла к повторному. Для этого нужно выбрать порядок интегрирования в повторном интеграле, то есть  или .

Чтобы выбрать наиболее удобный для вычисления порядок интегрирования, надо посмотреть, относительно какой оси нет «узлов» (то есть точек стыка различных линий). В рассматриваемом случае относительно оси О х нет «узлов», поэтому в таком порядке как  будет один повторный интеграл.

Для того чтобы найти внешние пределы интегрирования, необходимо спроецировать крайние точки области на ось, дифференциал которой стоит под знаком внешнего интеграла. В рассматриваемом случае − на ось О х, так как имеет место . В результате получается

Внутренние пределы показывают, как изменяется у. Для их определения внутри отрезка [0; 1] следует провести параллельно оси О у стрелку и определить, чему равен у на линии входа и линии выхода (в данном случае вход − на линии , выход − на линии ). Таким образом,

Для нахождения повторного интеграла сначала нужно вычислить внутренний интеграл, где y является переменной, а х – постоянной.

Затем следует вычислить внешний интеграл, подставив в него результат вычисления внутреннего интеграла.

При расстановке пределов вторым способом получается следующий результат: