Ульяновское высшее авиационное училище

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (институт)

 

Н.С. Знаенко

О.Е. Кочеткова

 

Математика

интегральное исчисление функции
одной и нескольких переменных

 

 

Учебно-методическое пособие

 

 

 

 

Ульяновск 2012

ББК В1я7

      З 70

 

Рецензент: доцент, канд. физ-мат. наук В. П. Глухов.

Знаенко, Н. С. Математика. Интегральное исчисление функции одной и нескольких переменных: учеб.-метод. пособие / Н. С. Знаенко, О. Е. Коче­ткова. – Ульяновск: УВАУ ГА(И), 2012. – 64 с.

Содержит контрольные вопросы, пример типового расчета и расчетные задачи по математике по разделу «Интегральное исчисление функции одной и нескольких переменных».

© Ульяновское высшее авиационное училище гражданской авиации (институт), 2012

Предназначено для курсантов первого курса профилей подготовки 280700.62.02 – Безопасность технологических процессов и производств и 161000.62.08 – Поисковое и аварийно-спасательное обеспечение полетов воздушных судов.

 

Оглавление

Введение......................................................................................................... 3

Контрольные вопросы.................................................................................. 4

Пример типового расчета............................................................................. 5

Неопределенный интеграл........................................................................ 5

Определенный интеграл.......................................................................... 11

Кратный интеграл................................................................................... 16

Криволинейный интеграл....................................................................... 20

Расчетные задачи......................................................................................... 23

Неопределенный интеграл...................................................................... 23

Определенный интеграл.......................................................................... 40

Кратный интеграл................................................................................... 51

Криволинейный интеграл....................................................................... 56

Библиографический список......................................................................... 63

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Цель преподавания математики на первом курсе очного обучения – ознакомить курсантов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач, научить самостоятельно изучать учебную литературу по математике, развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры. Достижению этой цели способствует выполнение типовых расчетов (ТР).

Курсантам предлагается 30 вариантов ТР.

Выполнение ТР контролируется преподавателем. Решение сдается на проверку в письменном виде. На защите ТР курсант должен ответить на теоретические (контрольные) вопросы, пояснить решение задач, решить задачи аналогичного типа.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Первообразная функции  на множестве .

2. Неопределенный интеграл.

3. Геометрический смысл неопределенного интеграла.

4. Свойства неопределенного интеграла.

5. Закончите формулы

…,

…,

….

6. Укажите одну из первообразных функции .

7. Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

8. Геометрический и физический смысл определенного интеграла.

9. Формула Ньютона-Лейбница.

10. Отличие метода замены переменной в неопределенном и определенном интеграле.

11. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

12. Несобственные интегралы первого и второго рода.

13. Двойной интеграл.

14. Геометрический и физический смысл двойного интеграла.

15. Криволинейный интеграл первого и второго рода.

Пример ТИПОВОГО расчета

Неопределенный интеграл

Табличное интегрирование

Задача 1. Найдите интегралы.

Решение. а) Для нахождения данного интеграла необходимо сначала осуществить почленное деление числителя на знаменатель в подынтегральной функции, выполнить действия со степенями, применяя формулы

и далее использовать формулу интеграла от степенной функции

при n ≠ ‑1, а для случая n = ‑1, а для случая n = − 1 применить формулу

б), в), г) Для нахождения данных интегралов следует использовать формулу

Определенный интеграл

Методы замены переменной и интегрирования по частям
в определенном интеграле

Задача 7. Найдите интегралы.

Решение. а) Необходимо использовать метод замены переменной.

б) Необходимо использовать метод интегрирования по частям.

Несобственный интеграл

Задача 8. Исследуйте несобственные интегралы на сходимость и в случае сходимости – найдите их.

Решение.  следовательно, интеграл расходится.

б) При , то есть при приближении x к нижнему пределу интегрирования, подынтегральная функция  неограниченно возрастает, а в самой точке  терпит разрыв. Промежуток непрерывности для данной функции будет иметь вид

                                      )

                                           1

Тогда

следовательно, интеграл расходится.

Кратный интеграл

Повторный интеграл

Задача 11. Найдите повторный интеграл

Решение. Сначала необходимо вычислить внутренний интеграл, считая у переменной, а х − постоянной величиной.

Полученный результат нужно подставить под знак внешнего интеграла и проинтегрировать его по переменной х.

Таким образом,

Двойной интеграл

Задача 12. По области D приведите двойной интеграл к повторному двумя способами и найдите его.

Решение. Нахождение двойного интеграла следует начать с изображения области интегрирования. Все линии, ограничивающие область, необходимо построить и подписать (рис. 3).

 

Рис. 3

 

Затем необходимо перейти от двойного интеграла к повторному. Для этого нужно выбрать порядок интегрирования в повторном интеграле, то есть  или .

Чтобы выбрать наиболее удобный для вычисления порядок интегрирования, надо посмотреть, относительно какой оси нет «узлов» (то есть точек стыка различных линий). В рассматриваемом случае относительно оси О х нет «узлов», поэтому в таком порядке как  будет один повторный интеграл.

Для того чтобы найти внешние пределы интегрирования, необходимо спроецировать крайние точки области на ось, дифференциал которой стоит под знаком внешнего интеграла. В рассматриваемом случае − на ось О х, так как имеет место . В результате получается

Внутренние пределы показывают, как изменяется у. Для их определения внутри отрезка [0; 1] следует провести параллельно оси О у стрелку и определить, чему равен у на линии входа и линии выхода (в данном случае вход − на линии , выход − на линии ). Таким образом,

Для нахождения повторного интеграла сначала нужно вычислить внутренний интеграл, где y является переменной, а х – постоянной.

Затем следует вычислить внешний интеграл, подставив в него результат вычисления внутреннего интеграла.

При расстановке пределов вторым способом получается следующий результат:

Криволинейный интеграл

РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАЧИ

Неопределенный интеграл

Задача 1. Используя табличное интегрирование, найдите интегралы.

1.1.	1.2.
1.3.	1.4.
1.5. s New Roman"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>;</m:t></m:r></m:e></m:nary></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">	1.6.
1.7.	1.8.
1.9.	1.10.
1.11.	1.12.
1.13.	1.14.
1.15.	1.16.
1.17.	1.18.
1.19.	1.20.
1.21.	1.22.
1.23.	1.24.
1.25.	1.26.
1.27.	1.28.
1.29.	1.30.

Задача 2. Используя метод замены переменной, найдите интегралы.

2.1.	2.2. s New Roman"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>dx</m:t></m:r><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:cs="Times New Roman"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>;</m:t></m:r></m:e></m:nary></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">
2.3.	2.4.
2.5.	2.6.
2.7.	2.8.
2.9.	2.10.
2.11.	2.12. g w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>.</m:t></m:r></m:e></m:nary></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">
2.13. s New Roman"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/></w:rPr><m:t>9</m:t></m:r></m:e></m:d></m:den></m:f><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:cs="Times New Roman"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>.</m:t></m:r></m:e></m:nary></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">	2.14.
2.15.	2.16.
2.17.	2.18.
2.19.	2.20.
2.21.	2.22.
2.23.	2.24.
2.25.	2.26.
2.27.	2.28.
2.29.	2.30.

Задача 3. Используя метод интегрирования по частям, найдите интегралы.

3.1.	3.2.
3.3.	3.4.
3.5. .	3.6.
3.7.	3.8.
3.9.	3.10.
3.11.	3.12.
3.13.	3.14.
3.15.	3.16.
3.17.	3.18.
3.19.	3.20.
3.21.	3.22.
3.23.	3.24.
3.25.	3.26.
3.27.	3.28.
3.29.	3.30.

Задача 4. Используя метод неопределенных коэффициентов, разложите дроби на простейшие.

4.1.	4.2.
4.3.	4.4.
4.5. t wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>4x-1</m:t></m:r></m:e></m:d></m:den></m:f><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math" w:cs="Times New Roman"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>;</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> g w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>;</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">	4.6.
4.7.	4.8.
4.9.	4.10.
4.11.	4.12.
4.13. s New Roman"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/></w:rPr><m:t>;</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">	4.14.
4.15.	4.16.
4.17. s New Roman"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/></w:rPr><m:t>;</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">	4.18.
4.19.	4.20.
4.21.	4.22.
4.23.	4.24. r wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">
4.25.	4.26.
4.27.	4.28.
4.29.	4.30.

Задача 5. Найдите интегралы от рациональных функций.