Теорема (достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале).

Пусть функция y=f(x) имеет производную в интервале (а,b). Если в каждой точке интервала производная f '(x) > 0, то функция f(x) возрастает на интервале (а,b).

Если в каждой точке интервала f '(x) < 0, то функция f(x) убывает на интервале (а,b).

ЛЕКЦИЯ 10

Точки максимума и минимума функций. Необходимый признак экстремума.

Точки максимума и минимума функций

Рассмотрим функцию y=f(x), определенную в некоторой окрестности точки х₀.

Определение. Точка х ₀ называется точкой максимума функции y=f(x),

если существует такая окрестность точки х ₀, что для всех

x ¹ x 0

из этой

окрестности  выполняется неравенство f(x) < f(x ₀), т.е. f(x₀) – наибольшее среди значений функции в этой окрестности.

 

Определение. Точка х₀ называется точкой минимума функции y=f(x),

если существует такая окрестность точки х₀, что для всех

x ¹ x 0

из этой

окрестности выполняется неравенство f(x)> f(x₀), т.е. f(x₀) – наименьшее среди значений функции в этой окрестности.

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума этой функции.

Одна и та же функция может иметь несколько точек максимума и минимума с различными значениями функции в них.

Теорема. Необходимый признак экстремума.

Пусть х₀ – точка экстремума функции y= f(x). Тогда производная в этой точке равна нулю или не существует.

Доказательство. Пусть х₀ – точка экстремума и пусть в этой точке существует производная. Так как на некотором интервале, содержащем х₀, значение f(x₀) – наибольшее или наименьшее среди значений, принимаемых на этом интервале, то по теореме Ферма f '(x₀)=0.

Геометрический смысл теоремы.

Если в точке экстремума х₀ существует производная, то касательная, проведенная к графику функции в точке М₀ (х₀, f(x₀)), параллельна оси ОХ.

Примером функции, не имеющей производной в точке экстремума, является функция у=|х|, которая в точке х= 0 имеет минимум и не имеет производной.

Доказанное условие экстремума является необходимым, но не является достаточным.

Например, функция у=х³ в точке х= 0 имеет производную у'=3х²=0, но не имеет в этой точке экстремума.

Определение. Точка х₀ называется критической для функции у=f(x), если функция определена в некоторой окрестности этой точки, а производная в этой точке равна нулю или не существует.

Вопрос о наличии экстремума в критических точках решается с помощью достаточных условий экстремума.

 

2.6.3. Первый достаточный признак экстремума. Второй достаточный признак экстремума.

Теорема. Первый достаточный признак экстремума.

Пусть функция f(x) непрерывна в критической точке х₀ и дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀ (кроме, быть может, самой точки х₀). Тогда, если при переходе через точку х₀ слева направо производная f '(x) меняет знак, то х₀ является точкой экстремума.

Если при переходе через точку х₀ слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то х₀ – точка максимума функции.

Если же при переходе через точку х₀ слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то х₀ – точка минимума.