Геометрический смысл дифференциала функции

Дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в точке M(x, f(x)), когда аргумент x получит приращение Δx.

 

 

2.4.2. Основные свойства дифференциалов. Таблица дифференциалов основных элементарных функций. Применение в приближенных вычислениях.

 

Свойство 1. Дифференциал постоянной равен нулю:

dc = 0.

Действительно:

dc = c'dx = 0∙dx = 0.

Свойство 2. Постоянное число можно выносить за знак дифференциала:

d(cu) = cdu.

Действительно:

d(cu) = (cu)'dx = c∙u'dx = c d u.

Свойство 3. Дифференциал суммы дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов:

d(u + v) = du + dv.

Действительно,

d(u + v) = (u + v)'dx = u'dx + v'dx = du + dv.

Свойство 4. Дифференциал произведения дифференцируемых функций находится по формуле:

d(uv) = udv + vdu.

Свойство 5. Дифференциал частного дифференцируемых функций находится по формуле:

d æ  u ö =  vdu - udv

                 

(v ¹ 0).

ç v ÷      v 2

è ø

Свойство 6. Инвариантность формы дифференциала.

Рассмотрим дифференцируемые функции u = u(x), y = f(u). Тогда дифференциал сложной функции y = f(u(x)) находится по формуле:

dy = f '(u)du.

Если сравним последнюю формулу с определением дифференциала, то получим, что дифференциал имеет неизменную (инвариантную) форму относительно аргумента.

Действительно, по формуле производной сложной функции имеем:

dy = (f(u(x)))'dx = f '(u) ∙u'(x)dx = f '(u)du,

т.к. du = u'(x)dx.

Пример. Найти дифференциал сложной функции

 

y = sin .

Решение.

d (sin

x) = d sin u = cos u × du = cos

× d x,

гдеu = x.

 

Таблица дифференциалов основных элементарных функций.

1. d (x^a)= ax^{a -1} dx.

2. d (a ^x) = a ^x ln a × dx, d (e^x) = e^xdx.

 

3. d (log a

x) =

1

 

x ln a

 

dx,

d (ln x) = dx.

x

4. d (sin x) = cos xdx.

5. d (cos x) = -sin xdx.

6. d (tgx) =

dx. cos² x

7. d (ctgx) = -

dx. sin ² x

8. d (arcsin x) =  dx

при

x < 1.

 

9.

 

10.

d (arccos x) = -

 

d (arctgx) =

dx

dx.

при

x < 1.

1 + x ²

11.

d (arcctgx) = -

dx.

1 + x ²

 

ТЕМА 2. 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Основные теоремы дифференциального исчисления и их геометрическая иллюстрация. Правило Лопиталя.

2.5.1. Теорема Ферма, еѐ геометрический смысл.

2.5.2. Теорема Роля,, еѐ геометрический смысл.

2.5.3. Теорема Лагранжа, еѐ геометрический смысл.

2.5.4. Правило Лопиталя.

 

2.5.1. Теорема Ферма, еѐ геометрический смысл.

Теорема Ферма.

Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [ a,b ] и в некоторой точке с, лежащей между точками а и b, (а < с < b), принимает свое наибольшее или наименьшее значение. Если в точке с существует производная, то она равна нулю:

f '(c)=0.

 

Доказательство. Пусть для определенности в точке   c функция

f (x)

 

принимает наибольшее значение, т.е.

f (x) £ f (c)

для всех

a £ x £ b. Тогда

приращение функции

D y = f (c + D x) - f (c) £ 0.

Отсюда следует, что

D y £ 0

D x

при

D x > 0,

D y ³ 0

при

D x < 0.

По определению производной

f ¢(c) =

lim

D y £ 0

 

при

D x

D x > 0,

 

f ¢(c) =

 

lim

D y ³ 0

 

при

 

D x < 0. Следовательно,

 

f ¢(c) = 0.

D x ®0 D x

D x ®0 D x