Геометрический смысл теоремы.

Рассмотрим график функции y=f(x), определенной на отрезке [ a,b ], и точки                А(а, f(a)) и В(b, f(b)) графика. Построим секущую АВ. Теорема Лагранжа утверждает, что на графике функции y=f(x) между точками А и В найдется такая точка М, в которой касательная параллельна секущей АВ (рис.3).

Рис.2.5.3.

2.5.4. Правило Лопиталя.

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида

 

 

é0 ù

êë0 úû

 

 

饠ù

и

êë ¥ úû

 

 

при

вычислении пределов, который основан на применении производных.

Теорема.

Пусть для функций f(x) и φ(х) выполнены следующие условия:

а) они определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки х ₀ за исключением, быть может, самой точки х ₀, причем φ(х) ≠ 0 и φ'(х) ≠ 0 в указанной окрестности;

б) функции f(x) и φ(х) при х→х₀ совместно стремятся к 0 или ∞:

 

или

lim

x ® x 0

lim

x ® x 0

f (x) =

f (x) =

lim j (x) = 0

x ® x 0

lim j (x) = ¥

x ® x 0

в) существует (конечный или бесконечный) предел отношения производных:

 

lim

f ¢(x).

x ®  x 0 j¢(x)

Тогда существует и предел отношения функций, равный пределу отношения производных:

 

lim

f (x) =

 

lim

f ¢ (x).

x ® x 0 j (x) x ® x 0 j¢ (x)

Замечания.

1. Правило Лопиталя справедливо и при х →∞ (при соответствующих условиях).

2. Правило Лопиталя можно применять несколько раз при выполнении условий правила Лопиталя.

 

 

Пример. Найти

lim x - sin x.

x ®0   x 3

 

lim   x - sin x = é 0 ù = lim ( x - sin x) ¢  = lim 1 - cos x = é 0 ù =

Решение.

x ®0    x 3

êë0 úû

 

x ®0

(x ³)¢

 

x ®0

3 x ²

êë0 úû

= lim (1 - cos x) ¢  == lim sin x = é 0 ù = lim (sin x ) ¢  = lim cos x =  1.

 

x ®0

(3 x ²)¢

x ®0 6 x

êë0 úû

 

x ®0

(6 x)¢

x ®0 6   6

 

 

Пример. Найти lim ln x.

x ®+¥ x

Решение.

lim

ln x = é¥ ù =

 

 

lim

(ln x) ¢ =

 

 

lim

1 = 0.

x ®+¥  x

êë ¥ úû

x ®+¥

(x) ¢

x ®+¥  x

Пример. Найти

x 2

lim x.

Решение.

x ®+¥ e

x ² = é¥ù =

 

 

(x ²)¢ =

 

 

2 x = é¥ù =

 

 

(2 x)¢ =

 

 

2 =.

lim

x ®+¥ e x

êë ¥ úû

lim

x ¢

x ®+¥ (e)

lim

x ®+¥ e x

êë ¥ úû

lim

x ¢

x ®+¥ (e)

lim         0

x ®+¥ e x

ТЕМА 2.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Возрастание и убывание функции на интервале. Экстремум, наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной на интервале.

2.6.1. Возрастание и убывание функций на интервале. Достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале.

2.6.2. Точки максимума и  минимума  функций. Необходимый признак экстремума.

2.6.3. Первый достаточный признак экстремума. Второй достаточный признак экстремума.

2.6.4. Наибольшее и наименьшее значение функции одной

переменной на интервале.

 

2.6.1. Возрастание и убывание функций на интервале. Достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале.

Определение. Функция y=f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. f(x₁) < f(x₂) при х₁ < x₂ (x₁,х₂ Î (a,b)).

Определение. Функция y=f(x) называется убывающей в интервале (a,b), если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. f(x₁) > f(x₂) при х₁ < x₂ (x₁,х₂ Î(a,b).

 

Возрастающие и убывающие функции в интервале называются

монотонными в этом интервале.