Философия математики, ее возникновение и этапы эволюции.

Распространенные в математике доказательства от противного неявно опираются на предположение о непротиворечивос­ти математики. После того как теория множеств в конце XIX в. стала фундаментом всего математического знания, обнаружение противоре­чий в самых простых с логической точки зрения теоретико-множествен­ных рассуждениях воспринимается довольно болезненно. Устранение парадоксов из математики составило важную задачу общенаучного ха­рактера. Попытки ее разрешения и ознаменовали рождение новой науч­ной дисциплины — философии математики.

В становлении аксиоматического метода В.Н. Молодший выделяет три основных периода: 1) период содержательной аксиоматизации; 2) период полуформальной аксиоматизации; 3) период формальной аксиоматизации¹. Принципы содержательной аксиоматики господствовали до середины XIX в. Полуформальный аксиоматический метод получил распростране­ние в последней четверти XIX в. Датой рождения формализованного акси­оматического метода принято считать 1904 г., когда Д. Гильберт выдвинул основные принципы формализации математики.

В настоящее время в философии математики имеются два основных направления — фундаменталистское и нефундаменталистское¹. Фунда­менталистская философия математики подчиняет исследование мате­матики одной целевой установке — выяснению проблемы сущности ма­тематики, не зависящей от ее конкретных исторических состояний. Именно эта цель преследуется при различных попытках редукции одних теоретических разделов математики к другим разделам и нахождения фундаментальных математических структур. Именно таким образом ис­следуется природа математических объектов и их соотнесенность с ми­ром природных объектов и объектов теоретического естествознания. Именно так осуществляется поиск единой сущности и непреходящих стандартов математического доказательства — стандартов, с которыми сравниваются реальные доказательства различных эпох.

Работы нефундаменталистского направления претендуют на поста­новку и решение проблем выявления концепций развития математики, поиска схем этого развития. Если для фундаменталистского направления в философии математики основными являются проблемы ее сущности, а не функционирования (исследование математики в «статике», а не в «ди­намике»), то нефундаменталистское направление считает возможным разобраться в законах реального функционирования древнейшей из наук без окончательного решения проблем установления ее сущности.

Пионерской работой нефундаменталистской ориентации стала серия статей И. Лакатоса «Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы», в которой он предпринял попытку вскрыть общую схему раз­вития математики на примере истории доказательства важного результа­та топологии — теоремы Эйлера о многогранниках.

Важной вехой в развитии нефундаменталистского направления явля­ется работа Р. Уайлдера «Математика как культурная система»², в кото­рой математика рассматривается как подразделение культуры в целом. Указанное представление опирается на понятие «культурного элемен та», под которым автор понимает набор убеждений, инструментов, риту­алов (в широком смысле слова) и т.п., принадлежащих некоторым обра­зом объединенной группе людей. На этой основе он строит типологию исторического взаимодействия различных частей математики, которая существенно отличается от привычного ее разделения на специальные теоретические дисциплины.

Значительным явлением в развитии нефундаменталистского направ­ления стала также книга Ф. Китчера «Природа математического зна­ния»¹, в которой делается попытка построения целостной и развернутой эмпирической концепции сущности и развития математического зна­ния как представленного в деятельности коллективного субъекта — на­учного сообщества математиков.