Таким образом, понятие величины как одно из важнейших математических понятий может служить теоретической основой для введения понятия числа и изучения действий с числами.

При сравнении методик формирования понятия числа в различных учебниках математики для начальных классов невольно возникает вопрос: что в своей практической деятельности человек начал использовать раньше — числа или величины? Ответ на этот вопрос склоняется в пользу величин, т.к. первоначально человек встретился с необходимостью сравнивать расстояния, длины предметов, например, при изготовлении стрел одинаковой длины. Позднее люди научились считать предметы, а вместе с ними и именованные числа. Другими словами, именованные числа — это форма представления величин. Числа как таковые еще не выделялись, они использовались только вместе с наименованиями. Чтобы получить числа в «чистом виде», необходимо было «оторвать» их от наименований, рассмотреть операции над ними и их свойства. Эта работа была проделана успешно в период образования научных школ в Древней Греции и в странах Дальнего Востока.

Обобщению творчества математиков школ Древней Греции посвящен знаменитый труд Евклида «Начала». Здесь приводится и первое аксиоматическое определение величины. Перечислим аксиомы Евклида:

· равные одному и тому же равны между собой

· если к равным прибавить равные, то и целые будут равны;

· если от равных отнимаются равные, то и остатки будут равны;

· если к неравным прибавляются равные, то и целые будут не равны;

· удвоенные одного и того же равны между собой;

· половины одного и того же равны между собой;

· совмещающиеся друг с другом равны между собой;

· целое больше части

Представленная система аксиом в целом не удовлетворяет современным требованиям, к подобного рода системам, т.к. она является зависимой и не является полной (например, четвертая аксиома является следствием второй). Однако математическая теория Евклида до сих пор обладает значительными дидактическими достоинствами: геометрический язык позволяет в тесной связи рассматривать арифметические, геометрические и алгебраические факты; достаточно простой язык позволяет использовать его в школьных курсах математики.

После Евклида многие известные математики (Архимед, Герон, Л. Эйлер и др.) пытались определить понятие величины, выделяя те или иные видовые отличия величины. Например, Герон Александрийский (I в.) утверждал, что величина есть все, что может быть увеличено или разделено безгранично, Л. Эйлер (XVIII в.) называл величиной все, что может увеличиваться или уменьшаться. До сих пор существуют попытки определить понятие величины, положив в основу только одно свойство, например, свойство сравнимости. В частности, в свое время о таких величинах писал академик А.Н. Крылов, соотнося их с такими свойствами, как красота, безобразие, храбрость, трусость и т.д.

Обобщением различных попыток определить понятие величины является система аксиом замечательного российского ученого, академика А.Н. Колмогорова (1903–1987). В этой аксиоматике первоначальное понятие «величина» является обобщением понятий длины, площади, массы и т.п. Каждый род величины связан с определенным способом сравнения физических тел и других объектов.

Таким образом, существующие подходы к определению понятия величины — аксиоматические. Это означает, что не существует какого-либо свойства, которое могло бы служить единственным видовым отличием для величины. Все сказанное говорит об имеющихся возможностях построения достаточно интересной теории скалярной величины для студентов. Понятие скалярной аддитивной величины — это неопределяемое понятие, которое находит свое наиболее полное описание с помощью одной из систем аксиом.

К вопросу о формировании ключевых математических компетенций младших школьников.

Начальная школа, 2006, №4

Автор: А.В.Тихоненко

https://n-shkola.ru/storage/archive/1407237078-66353042.pdf

Опишем фрагмент урока на тему «Длина ломаной линии».

Цель: формирование компетенций, необходимых для осознания понятия длина ломаной линии.

Оборудование: измерительная линейка, циркуль, карандаш.

При изучении понятия длина ломаной линии мы предлагаем отказаться от монологической формы изложения материала, которое в соответствии с учебником происходит с опорой на объяснительно-иллюстративный метод. Мы предлагаем при формировании понятия длина ломаной линии опираться на те знания, которые учащиеся приобрели на предыдущих уроках, которые сформированы у них исходя из практической деятельности людей: родных, близких, учеников старших классов и др.

Для этой цели за один-два урока до изучения данной темы мы даем задание: пойти в магазин «Ткани» и понаблюдать за работой продавца, а именно за тем, как он отмеряет кусок ткани нужной длины от ткани, скатанной в рулон.

— Сегодня мы научимся находить длину ломаной линии. (Каждая пара учеников получает карточку с изображением ломаной линии. Звенья ломаной линии содержат целое число сантиметров.) Воспользуйтесь ранее накопленными знаниями и найдите разные способы вычисления длины ломаной линии. Не поможет ли вам в решении задачи посещение магазина «Ткани» или какие-либо другие задания?

Учащиеся обсуждают предложенную задачу, работая в парах, и выдвигают пути ее решения. Приведем рассуждения некоторых учеников.

— Когда продавец отпускает нужный кусок ткани, ему приходится размотать рулон ткани, отмерить нужную меру, используя деревянный метр. Значит, и нам нужно сделать так, чтобы ломаная линия стала прямой.

— Это можно было бы сделать, если бы ломаная линия была как столярный метр, а у нас она изображена на карточке, и ее не вытянешь в линию.

— Почему не вытянешь? Ведь звенья ломаной линии можно «перенести» на прямую линию.

— Для этого нужно начертить прямую линию, а можно и не чертить ее, а воспользоваться тетрадью в клетку. Отметить в тетради точку. Измерим длину каждого звена ломаной линии и последовательно отложим от этой точки вдоль линии тетради каждое звено ломаной линии, отмечая начало и конец каждого звена точкой или черточкой.

В обсуждении принимают участие все ученики. Затем учитель дает время на выполнение работы. Учащиеся в паре распределяют, кто и каким видом деятельности будет заниматься. На выполнение задачи уходит не менее 5 минут.

После того как работа выполнена, учитель предлагает открыть учебник и сопоставить свои рассуждения с данным здесь объяснением нового материала.

— Вы сами нашли способ определения длины ломаной линии. Как вы думаете, какая информация помогла вам отыскать способ нахождения длины ломаной линии?

Первый ученик. Я вспомнил столярный метр, как мы его складывали и раскладывали. Звенья столярного метра являются как бы звеньями ломаной линии. Если столярный метр разложить полностью, то он дает представление о прямой линии и длина всех звеньев составляет длину всего метра.

Второй ученик. Мне помогли наблюдения за работой в магазине «Ткани». Ведь рулон ткани также представляет собой как бы ломаную линию, размотав который продавец отпускал нужный кусок ткани.

Третий ученик. Я наблюдал за работой моего дяди в столярном цехе, как он, используя столярный метр, отмеривал нужные ему куски доски.)

Итак, при формировании понятия длина ломаной линии учащиеся проявили способность мобилизировать полученные ранее знания, использовали практический опыт взрослых, проявили способность доказывать (обосновывать) свою точку зрения, сумели организовать взаимосвязь прошлых и настоящих знаний в решении конкретной ситуации, т.е. пользовались приобретенными ранее компетенциями. Знания, полученные таким образом, оказываются более прочными и качественными.