Доверительная вероятность по величине t определяется по специальной таблице.
При обобщении результатов выборочного наблюдения наиболее часто используют следующие уровни вероятности и соответствующие им значения t:
| Р | 0,683 | 0,950 | 0,954 | 0,997 |
| t | 1 | 1,96 | 2 | 3 |
Определение необходимой численности выборки (n) производится на основе алгебраического преобразования формы предельных ошибок выборки.
1. При определении среднего размера признака
- повторный отбор, (12)
- бесповторный отбор (13)
2. При определении доли признака
- повторный отбор, (14)
- бесповторный отбор. (15)
В случаях, когда частость 
даже приблизительно неизвестна, в расчёт вводят максимальную величину дисперсии доли равную 0,25 (если = 0,5, то (1 - ) = 0,25).
Примеры решения задач
Задача 20. Определите границы изменения среднего значения признака в генеральной совокупности, если известно следующее её распределение, основанное на результатах повторного выборочного обследования:
| Группировка значений признака | До 4 | 4 - 8 | 8 - 12 | 12 – 16 | 16 - 20 | Итого |
| Число единиц выборочной совокупности, входящих в данный интервал | 10 | 20 | 36 | 20 | 14 | 100 |
Уровень доверительной вероятности определите самостоятельно.
Решение
Среднее значение признака по выборке:
Выборочная дисперсия:
Вероятность ошибки установим – 0,954, соответственно уровень коэффициента доверия составит 2.
Установим границы изменения среднего значения признака в генеральной совокупности
|
|
Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что среднее значение признака в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 9,06 до 10,94.
Задача 21. В результате случайной повторной выборки в городе предполагается определить долю семей с числом детей три и более. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,02, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,27.
Решение
Необходимый объём выборки определим по формуле:
семей
Численность выборки должна составлять 2700 семей.
Задача 22. Проведено выборочное наблюдение партии однородной продукции для определения процента изделий высшего сорта.
При механическом способе из партии готовых изделий в 20000 единиц было обследовано 800 единиц, из которых 640 изделий отнесены к высшему сорту.
Определите с вероятностью 0,997 возможный процент изделий высшего сорта во всей партии.
Решение
В случае механического отбора предельная ошибка определяется по следующей формуле:
,
где t - коэффициент доверия t=3 при р = 0,997;
N – численность генеральной совокупности;
n- численность выборки;
w – выборочная доля.
Определяем выборочную долю w = 640/800 = 0.8
Рассчитываем предельную ошибку выборки
Устанавливаем границы генеральной доли изделий высшего сорта:
Следовательно, генеральная доля находится в пределах: 
Задача 23. На предприятии в порядке случайной бесповторной выборки было опрошено 100 рабочих из 1000 и получены следующие данные об их доходе за октябрь:
| Месячный доход, руб. | 600-1000 | 1000-1400 | 1400-1800 | 1800-2200 |
| Число рабочих | 12 | 60 | 20 | 8 |
Определить:
- среднемесячный размер дохода у работников данного предприятия, гарантируя результат с вероятностью 0,997;
- долю рабочих предприятия, имеющих месячный доход 1400 руб. и выше, гарантируя результат с вероятностью 0,954;
- необходимую численность выборки при определении среднего месячного дохода работников предприятия, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 50 руб.;
|
|
- необходимую численность выборки при определении доли рабочих с размером месячного дохода 1400 руб. и выше, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка не превышала 2 %.
Решение
Средний месячный доход по выборке
Определяем дисперсию выборочной средней
Предельная ошибка выборки при вероятности р=0,997 t=3 составит:
Доверительный интервал среднего размера месячного дохода работников предприятия
Следовательно, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что среднемесячный размер дохода у работников данного предприятия находится в пределах от 1209,1 до 1382,9 руб.
2) Определим долю рабочих (w), имеющих размер месячного дохода 1400 руб. и выше:
Предельная ошибка выборки при вероятности р=0,954 t=2 составит:
Устанавливаем доверительные интервалы для генеральной доли:
С вероятностью 0,954 можно гарантировать, что доля рабочих предприятия имеющих месячный доход 1400 руб. и выше, находится в пределах от 19,5 до 363,5 %.
Необходимая численность выборки для определения среднего месячного дохода определяется по формуле:
Необходимая численность выборки для определения доли рабочих, имеющих доход 1400 руб. и выше, определяется по формуле:
Задача 24. На основании выборочного обследования в отделении связи города предполагается определить долю писем частных лиц в общем, объёме отправляемой корреспонденции. Никаких предварительных данных об удельном весе этих писем в общей массе отправляемой корреспонденции не имеется.
Требуется определить численность выборки, если результаты выборки дать с точностью до 1 % и гарантировать это с вероятностью 0,95.
Решение
По условию задачи известны:
Так как значение w не дано, то следует ориентироваться на наибольшую дисперсию, которой соответствует значение w=0.5
Необходимая численность выборки составит:
Следовательно, чтобы с заданной точностью определить долю частных писем в общем, объёме отправляемой корреспонденции необходимо в порядке случайной выборки отобрать 9604 письма.
Задания для практической работы
Задача 60. Используя данные обследования представленные в задаче 40, определите:
- долю числа изделий имеющих вес готового изделия 510г. и более гарантируя результат с вероятностью 0,997;
- необходимую численность выборки при определении доли числа изделий с весом готового изделия 510г. и выше, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка не превышала 4 %.
Задача 61. Методом механического отбора проведено 5 % обследование веса расфасованного груза (мешки муки). Распределение 60 отобранных мешков по весу дало следующие результаты:
| Вес мешка, кг. | До 45 | 45 - 50 | 50 - 55 | 55 - 60 | 60 и более |
| Число мешков | 3 | 6 | 40 | 7 | 4 |
Определите:
- средний вес одного мешка муки в выборке;
- долю мешков муки, вес которых не превышает 50кг. в выборке;
- с вероятностью 0,997 пределы, в которых может быть гарантирован средний вес мешка муки во всей партии и доли мешков с весом менее 50 кг.;
- отклонение фактического объёма полученного груза от объявленного (1вагон - 60тонн).
Задача 62. При выборочном бесповторном собственно-случайном отборе получены следующие данные о недовесе коробок конфет, весом 20 кг.:
| Недовес 1 коробки (кг.) | 0,4 - 0,6 | 0,6 - 0,8 | 0,8 - 1,0 | 1,0 - 1,2 | 1,2 - 1,4 |
| Число обследованных коробок | 10 | 18 | 40 | 20 | 12 |
|
|
Определите:
- средний недовес коробок конфет и с вероятностью 0,954 установите возможные пределы выборочной средней для всей партии, состоящей из 1000 единиц;
- с вероятностью 0,683 (t=1.0) пределы отклонения доли коробок с недовесом до 1 кг.;
- какова должна быть численность выборки, чтобы ошибка доли не превышала 10 % (с вероятностью 0,954)?
Задача № 63. Для анализа структуры вкладов населения было проведено выборочное бесповторное собственно-случайное обследование 10% банковских вкладов. В результате получено следующее распределение:
| Размер вклада, тыс. руб. | До 1,0 | 1,0 - 5,0 | 5,0 - 10,0 | 10,0 - 15,0 | 15,0 и более |
| Количество вкладов, % | 10,0 | 20,0 | 35,0 | 15,0 | 20,0 |
Определите:
- средний размер вклада и с вероятностью 0,954 установите возможные пределы выборочной средней для всей совокупности вкладов населения;
- с вероятностью 0,683 определите пределы отклонения доли вкладов свыше 15 тыс. руб.
Задача 64. Дорасчёт ВВП провели с использованием распределения малых предприятий региона по объёму выпуска продукции (работ, услуг), полученного на основе 10% механического наблюдения:
| Группы предприятий по объёму выпуска продукции (работ, услуг), тыс. руб. | Число предприятий |
| До 100,0 100,0 - 200,0 200,0 - 300,0 300,0 - 400,0 400,0 - 500,0 500,0 и более | 84 156 492 324 108 36 |
| Итого: | 1200 |
Определите:
1) по предприятиям, включённым в выборку:
а) средний размер произведённой продукции (работ, услуг) на одно предприятие;
б) долю предприятий с объёмом производства продукции (работ, услуг) более 400 тыс. руб.;
2) в целом по региону с вероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать:
а) средний объём производства продукции (работ, услуг) на одно предприятие;
б) долю предприятий с объёмом производства продукции более 400 тыс. руб.
Задача 65. Для изучения безработицы в регионе была проведена 5% механическая выборка, которая дала следующие результаты:
| Группы безработных по продолжительности отсутствия работы, мес. | Число безработных |
| до 3 3 - 6 6 - 9 9 - 12 12 - 15 15 - 18 18 и более | 6 21 70 115 60 21 7 |
Определите:
1) среднюю продолжительность отсутствия работы у опрошенных;
2) долю лиц, не имеющих работу больше 1 года;
3) с вероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать среднюю продолжительность безработицы и долю безработных более 1 года в генеральной совокупности;
4) Ннобходимую численность выборки при определении средней продолжительности отсутствия работы, чтобы с вероятностью 0,997 предельная ошибка выборки не превысила 3 месяцев.
|
|
Задача 66. В коммерческом банке в порядке собственно-случайной выборки обследовано 5% кредитных договоров, в результате чего установлено:
| Группы договоров со ссудозаёмщиками по размеру кредита, млн. руб. | Число договоров со ссудозаёмщиками |
| До 20,0 20,0 - 60,0 60,0 - 140,0 140,0 - 300,0 300,0 и более | 47 117 105 47 34 |
| Итого: | 350 |
Определите:
1) по договорам, включённым в выборку:
а) средний размер выданного ссудозаёмщикам кредита;
б) долю ссудозаёмщиков, получивших кредит в размере более 300 млн. руб.;
2) с вероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать средний размер выданного ссудозаёмщикам кредита и доли ссудозаёмщиков, получивших кредит в размере более 300 млн. руб. в целом по отделению банка.
Задача 67. Определите границы изменения среднего значения признака в генеральной совокупности, если известно следующее её распределение, основанное на результатах повторного выборочного обследования:
| Группы значений признака, усл. ед. | Число единиц выборочной совокупности, входящих в данный интервал |
| до 4 4 - 8 8 - 12 12 - 16 16 - 20 | 8 15 46 20 11 |
| Итого: | 100 |
Уровень доверительной вероятности установите самостоятельно.
Задача 68. Партия роз, поступивших из Голландии, количеством 2000 штук была подвергнута выбраковке. Для этого было обследовано 200 роз, отобранных при помощи механического способа отбора. Среди обследованных обнаружено 80 бракованных.
Определите с вероятностью 0,997 возможный размер убытка от некачественной транспортировки, если цена приобретения розы 30 руб.
Задача 69. Для определения зольности угля месторождения в порядке случайной повторной выборки взято 200 проб. В результате лабораторных исследований установлена средняя зольность угля в выборке 17% при среднем квадратическом отклонении 3%. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится средняя зольность угля месторождения.
Задача 70. В результате случайной выборки в городе предполагается определить долю семей с числом детей три и более.
Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,03, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,4.
Задача 71. Определите, какова должна быть численность выборки, если размер ошибки выборки не должен превышать 0,1, а дисперсия равна 1,44 при вероятности 0,95 (p=0,95 t=1.96)?
Задача 72. Какова должна быть численность выборки, если с вероятностью 0,954 гарантировать, что размер ошибки выборки не превысит 0,1.
При этом установлено, что дисперсия или средний квадрат отклонений 
равен 2,25.
Задача 73. Произведено выборочное наблюдение партии однородной продукции для определения процента изделий высшего сорта.
При механическом способе отбора из партии готовых изделий в 20000 единиц было обследовано 800 единиц, из которых 640 изделий отнесли к высшему сорту.
Определите с вероятностью 0,997 возможный процент изделий высшего сорта во всей партии.
|
|
Задача 74. Из партии готовой продукции в порядке механической повторной выборки проверено 400 изделий и установлено, что 80 % из них соответствует первому сорту.
С вероятностью 0,954 определите долю (процент) продукции первого сорта во всей партии.
Задача 75. Из партии готовой продукции в порядке механической бесповторной выборки проверено 400 изделий и установлено, что 80 % из них соответствует первому сорту.
С вероятностью 0,954 определите долю (процент) продукции первого сорта во всей партии, состоящей из 2000 изделий.
Задача 76. В порядке случайной выборки обследован дневной надой молока 50 коров. Результаты обследования приведены в таблице:
| Дневная удойность, кг. | Количество коров |
| 10 – 14 | 5 |
| 14 – 18 | 15 |
| 18 – 22 | 20 |
| Свыше 22 | 10 |
| Итого | 50 |
Определить:
1) средний надой молока от одной коровы;
2) среднюю ошибку выборки;
3) вероятность того, что при определении выборочного среднего надоя молока допущена ошибка, не превышающая 1 кг. (Р =?).
Рекомендуемая литература
Основные источники:
1. Общая теория статистики: учебное пособие. Проява С.М., Гусаров В.М., Юнити-Дана, 2014 - 207 с.
Дополнительные источники
1. Вестник НГУЭУ: Научный журнал 2015,2016,2017,2018 №3, 260 с.
2.Статистика: учебное пособие Кузнева Е.И., Гусаров В.М., Юнити-Дана, 2014г – 479
3.Общая теория статистики: Учебное пособие. Балдин К.В., Рукосуев А.В., 2015г. – 312
4.Общая теория статистики: Учебник. Шеремет Н.М., Издательство УМЦ ЖДТ «Маршрут», 2016г. – 316 с.
5..Статистика: Учебник. Годин А.М., Дашков И.К., 2015г. – 458 с.
6. Вестник НГУЭУ 2015. №2 Издательство СО РАН.2015г. 263 с.
7..Анализы временных рядов и прогнозирование Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М., Финансы и статистика 2015г. – 320 с.
8.Биржевая статистика. Салин В.Н., 2017г. – 103 с.
9. Демография и статистика населения. Логос,2017 г. – 92 с.
Интернет-ресурсы:
Http: // statistica. ru
http:// nlr. ru
http:// kv. by. ru
http://www.vedomosti.ru
http://www.finam.ru
http: // libuarybseuby. ucoz.ru
http://www.znanium.com/
