Уравнения геодезической линии эллипсоида

Рассмотрим элементарный полярный треугольник APB' (рис.5.3), образованный дугами меридианов AP и B'P (Р – полюс земного эллипсоида, А и В′ – точки на эллипсоиде) и элементарной дугой геодезической линии , соединяющей точки А и В′.

Рис. 5.3.  К выводу дифференциального уравнения геодезической линии

Пусть направление начального элемента геодезической линии  из точки A задано азимутом A. Проведем из точки B' элементарную дугу параллели B'C. Разности геодезических широт и долгот точек A и B' обозначим через  и , схождение меридианов в точке B' – через . Из элементарного треугольника AB'С имеем:

,

,                                    (5.1)

где:  - радиус параллели;

       B, L – геодезические широта и долгота.

Примечание. В этом разделе для геодезических широты и долготы используются обозначения B и L с целью подчеркнуть отличия этих координат от сферических, обозначаемых через φ и λ. Кроме того, для обозначения приведенной широты вместо символа j ¢¢ используется символ u.

Уравнения (5.1) справедливы для участка любой кривой на поверхности, для которой справедливо также выражение для геодезической кривизны γ линии [8]:

,                                         (5.2)

где γ₁ и γ₂ – геодезическая кривизна координатных линий L = const (меридиана) и B = const (параллели). Геодезическая линия поверхности отличается тем, что ее геодезическая кривизна равна нулю: γ = 0. Приравнивая нулю правую часть выражения (5.2), получим дифференциальное уравнение геодезической линии:

.                                         (5.3)

Если считать, что DАРВ¢ практически является сферическим. Тогда по теореме косинусов для углов имеем

,

Применим формулу для косинуса суммы и разложим в ряд, получим

,

учитывая (5.1) приходим к уравнению

.                                                     (5.4)

 

Уравнения (5.1) и (5.4) составляют систему дифференциальных уравнений геодезической линии земного эллипсоида:

                                                  (5.5)

Эта система уравнений служит основой для решения прямой и обратной геодезических задач.

Геодезическая линия на поверхности эллипсоида вращения обладает важным свойством, описываемым теоремой Клеро: произведение радиуса параллели на синус азимута в каждой точке геодезической линии есть величина постоянная:

r · sinA = const.                                                                    (5.6)

Для доказательства рассмотрим плоскость меридиана, проходящего через точки A, С и Р (рис.5.3 и 5.4).

Рис. 5.4. К доказательству теоремы Клеро

Если радиус параллели точки A обозначить через , то радиус параллели точки C будет , длина элементарной хорды АС будет равна R_N ∙ dB, а дифференциал радиуса параллели:

– dr = R_N · dB · sinB.                                                                         (5.7)

Из уравнений (5.1) следует

и .

Умножая первое из этих уравнений на rdA, а второе – на dr и складывая результаты, получим:

.

Преобразуя правую часть этого уравнения с учетом (5.7), получим:

,

или     

.

В левой части получено выражение для полного дифференциала, которое можно проинтегрировать и найти: . Теорема доказана.

Из рис. 1.3 следует, что радиус параллели связан с величиной приведенной широты u и большой полуосью a эллипсоида соотношением:

,                                                                          

поэтому уравнение (5.6) может быть переписано в виде

,                                                       (5.8)

а теорема Клеро сформулирована следующим образом: для геодезической линии на эллипсоиде вращения произведение косинуса приведенной широты точки на синус азимута геодезической линии в той же точке есть величина постоянная. Записав (5.8) для точки пересечения геодезической линии с экватором, для которой u = 0, а азимут геодезической равен А _o, найдем значение константы:  и перепишем теорему Клеро (5.8) в виде

.                                            (5.9)

Уравнения (5.6), (5.8) и (5.9) используются при выводе формул для решения геодезических задач.

 Общие принципы решения геодезических задач на эллипсоиде

Невозможность аналитического решения системы уравнений (5.5) в общем случае – с одной стороны, простота решения геодезических задач на сфере и малый эксцентриситет земного эллипсоида – с другой стороны, стали причиной того, что практически все разработанные методы решения геодезических задач на эллипсоиде включают следующие этапы [8]:

1. Вершины сфероидического треугольника APB (рис. 5.5), в котором Р – полюс эллипсоида, А и В – точки интереса при решении задач, отображаются на сферу.

2. Полученный на сфере треугольник А₁Р₁В₁ (рис. 5.5) решается относительно неизвестных элементов методами сферической тригонометрии.

5. Осуществляется переход от вычисленных элементов сферического треугольника к соответствующим элементам исходного сфероидического треугольника.

Рис. 5.5 Отображение эллипсоида на сферу

Система дифференциальных уравнений геодезической линии (ортодромии) на единичной сфере (ρ º 1), аналогичная системе (5.5), имеет вид:

                                                                               (5.10)

где:   j, l – сферические широта и долгота;

     a – азимут дуги большого круга;

     s – угловая длина дуги большого круга.

Здесь единичная сфера выбрана для упрощения выкладок. При необходимости в систему (5.10) в виде множителя может быть введен отличный от единицы радиус сферы ρ.

       Методы решения геодезических задач различаются конкретным видом реализации указанных этапов. В первую очередь это относится к виду отображения уравнений (5.5) на (5.10), которое устанавливает связь между углами широты B, долготы L, азимута A и длиной дуги S на эллипсоиде, с одной стороны, и широтой j, долготой l, азимутом a, длиной дуги ρ·s на сфере, с другой стороны, с помощью функций ¦₁ ¸ ¦₄:

.                                        (5.11)