Объяснение и математическое обоснование.

Лекция.21.12.

Сферические зеркала

1) Вогнутое зеркало.

2) Выпуклое зеркало.

 

Р – полюс зеркала.

Применяя закон отражения света, выводится формулу сферического зеркала, связывающую расстояния от объекта и от изображения до зеркала с фокусным расстоянием или радиусом кривизны зеркала:

.

Оптическая сила сферического зеркала:

.

Правила:

1) Расстояние до объекта s считается положительным, если объект находится на той же стороне относительно поверхности зеркала, что и падающий свет. В противном случае расстояние s считается отрицательным.

2) Расстояние до изображения s' считается положительным, если изображение находится на той же стороне зеркала, что и отражённый свет. Такое изображение-действительное. В противном случае s' считается отрицательным, а изображение называется мнимым.

3) Радиус кривизны зеркала R положителен, если центр кривизны находится на той же стороне по отношению к поверхности зеркала, что и отражённый свет. В ином случае радиус кривизны отрицателен.

4) Знак фокусного расстояния сферического зеркала  определяется знаком R.

Особенности хода главных лучей:

1) Луч, проходящий через центр кривизны зеркала, отражается назад.

2) Луч, проходящий через фокус зеркала, отражается и идет параллельно главной оптической оси.

3) Луч, идущий параллельно главной оптической оси, отражаясь от зеркала, проходит через фокус.

Формула для зеркала справедлива во всех случаях:

а)  – вогнутое зеркало; изображение действительное и обратное;

б)  – выпуклое зеркало; изображение мнимое и прямое;

в)  – плоское зеркало; изображение мнимое, прямое, равное по размерам самому объекту; расстояние от зеркала до изображения следует считать отрицательным, поэтому увеличение .

Интерференция.

Интерференция волн - явление, наблюдающееся при одновременном распространении в пространстве двух или нескольких волн и состоящее в стационарном (или медленно изменяющемся) пространственном перераспределении амплитуды и фазы результирующей волны.

 

 

Интерференция волн на поверхности воды, возбуждаемых в двух точках.

Интерференция света – явление, наблюдающееся при одновременном распространении в пространстве двух или нескольких световых волн и состоящее в стационарном (или медленно изменяющемся) пространственном перераспределении светового потока, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других – минимумы интенсивности.(Интерференция света наблюдается на экране или иной поверхности в виде характерного чередования светлых и темных полос или пятен (для монохроматического[1] света) или окрашенных участков - для белого света.)

 

Опыт Юнга с двумя щелями (1800 г., исторически первый опыт по интерференции света).

 

Результат.

На экране возникает чередующаяся последовательность светлых и темных полос, причем яркость светлых полос убывает с расстоянием от центра.

Бипризма Френеля.

 

Она состоит из двух одинаковых, сложенных основаниями призм с малыми преломляющими углами. Свет от источника S преломляется в обеих призмах, в результате чего за бипризмой распространяются световые лучи, как бы исходящие из мнимых источников S ₁ и S ₂, являющихся когерентными. Таким образом, на поверхности экрана (в заштрихованной области) происходит наложение когерентных пучков и наблюдается интерференция.

Дифракция света.

Дифракция- огибание волнами препятствий, встречающихся на их пути, или в более широком смысле - любое отклонение распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики.

Принцип Гюйгенса: каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн задает положение волнового фронта в следующий момент времени.

Волновой фронт – геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t.

Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Пусть плоская волна нормально падает на отверстие в непрозрачном экране. Согласно Гюйгенсу, каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит источником вторичных волн (в однородной изотропной среде они сферические). Построив огибающую вторичных волн для некоторого момента времени, видим, что фронт волны заходит в область геометрической тени, т. е. волна огибает края отверстия.

 

 

Теория Гюйгенса не объясняет прямолинейное распространение света (в частности, формирование резкой тени предметом, освещаемым точечным источником света). Принцип Гюйгенса решает лишь задачу о направлении распространения волнового фронта, но не затрагивает вопроса об амплитуде, а следовательно, и об интенсивности волн, распространяющихся по разным направлениям.

Принцип Гюйгенса – Френеля: световая волна, возбуждаемая каким-либо источником S, может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, «излучаемых» фиктивными источниками.

Такими источниками могут служить бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S. Обычно в качестве этой поверхности выбирают одну из волновых поверхностей, поэтому все фиктивные источники действуют синфазно.

Метод зон Френеля.

1) Найдем в произвольной точке М амплитуду световой волны, распространяющейся в однородной среде из точечного источника S.

 

 

Согласно принципу Гюйгенса - Френеля, заменим действие источника S действием воображаемых источников, расположенных на вспомогательной поверхности Ф, являющейся поверхностью фронта волны, идущей из S (поверхность сферы с центром S).

2) Согласно Френелю, разобьем волновую поверхность Ф на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до М отличались на , т. е.

.

Подобное разбиение фронта волны на зоны можно выполнить, проведя с центром в точке М сферы радиусами , ,….

3) Так как колебания от соседних зон проходят до точки М расстояния, отличающиеся на , то в точку М они приходят в противоположных фазах и при наложении эти колебания будут ослаблять друг друга, поэтому амплитуда результирующего светового колебания в точке М:

,

где  - амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й, … зонами.

Амплитуда результирующего колебания в произвольной точке определяется только как бы действием половины центральной зоны Френеля, т. е. действие всей волновой поверхности на данную точку сводится к действию ее малого участка, меньшего центральной зоны.

Распространение света от S к М происходит так, как будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, т. е. прямолинейно.

Правомерность деления волнового фронта на зоны Френеля подтверждена экспериментально с помощью зонных пластинок.

Зонные пластинки (в простейшем случае) – стеклянные пластинки, состоящие из системы чередующихся прозрачных и непрозрачных концентрических колец, построенных по принципу расположения зон Френеля, т. е. с радиусами зон Френеля.

Дифракция на диске.

В данном случае закрытыйдиском участок волнового фронта

надо исключить из рассмотрения и зоны Френеля строить начиная

с краев диска.

Пусть диск закрывает m первых зон Френеля.

Тогда амплитуда результирующего колебания в

 точке В равна:

Следовательно, в точке В всегда наблюдается интерференционный максимум (светлое пятно), соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум окружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами, а интенсивность в максимумах убывает с расстоянием от центра картины.

Дифракция в параллельных лучах (дифракция Фраунгофера).

Осуществляется в том случае, когда источник света и точка наблюдения бесконечно удалены от препятствия, вызвавшего дифракцию.

Чтобы этот тип дифракции осуществить, достаточно точечный источник света поместить в фокусе собирающей линзы, а дифракционную картину исследовать в фокальной плоскости второй собирающей линзы, установленной за препятствием.

1. Дифракция Фраунгофера от бесконечно длинной щели (для этого практически достаточно, чтобы длина щели была значительно больше ее ширины).

Оптическая разность хода между

крайними лучами МС и ND, идущими

 от щели в произвольном направлении φ,

.

Разобьем открытую часть волновой поверхности

в плоскости щели

MN на зоны Френеля, имеющие вид полос,

параллельных ребру М щели. Ширина каждой зоны

выбирается так, чтобы разность хода от

краев этих зон была равна , т. е. всего на ширине щели уместится  зон. Так как свет на щель падает нормально, то плоскость щели совпадает с волновым фронтом, следовательно, все точки волнового фронта в плоскости щели будут колебаться в одинаковой фазе. Амплитуды вторичных волн в плоскости щели будут равны, так как выбранные зоны Френеля имеют одинаковые площади и одинаково наклонены к направлению наблюдения.

Число зон Френеля, укладывающихся на ширине щели, зависит от угла φ. От числа зон Френеля, в свою очередь, зависит результат наложения всех вторичных волн. Из приведенного построения следует, что при интерференции света от каждой пары соседних зон Френеля амплитуда результирующих колебаний равна нулю, так как колебания от каждой пары соседних зон взаимно гасят друг друга. Следовательно, если число зон Френеля четное, то

 (),

и в точке В наблюдается дифракционный минимум (полная темнота).

Если же число зон Френеля нечетное, то

 (),

и наблюдается дифракционный максимум, соответствующий действию одной нескомпенсированной зоны Френеля.

Отметим, что в направлении φ = 0 щель действует как одна зона Френеля, и в этом направлении свет распространяется с наибольшей интенсивностью, т. е. в точке В наблюдается центральный дифракционный максимум.

Лекция.21.12.

Сферические зеркала

1) Вогнутое зеркало.

2) Выпуклое зеркало.

 

Р – полюс зеркала.

Применяя закон отражения света, выводится формулу сферического зеркала, связывающую расстояния от объекта и от изображения до зеркала с фокусным расстоянием или радиусом кривизны зеркала:

.

Оптическая сила сферического зеркала:

.

Правила:

1) Расстояние до объекта s считается положительным, если объект находится на той же стороне относительно поверхности зеркала, что и падающий свет. В противном случае расстояние s считается отрицательным.

2) Расстояние до изображения s' считается положительным, если изображение находится на той же стороне зеркала, что и отражённый свет. Такое изображение-действительное. В противном случае s' считается отрицательным, а изображение называется мнимым.

3) Радиус кривизны зеркала R положителен, если центр кривизны находится на той же стороне по отношению к поверхности зеркала, что и отражённый свет. В ином случае радиус кривизны отрицателен.

4) Знак фокусного расстояния сферического зеркала  определяется знаком R.

Особенности хода главных лучей:

1) Луч, проходящий через центр кривизны зеркала, отражается назад.

2) Луч, проходящий через фокус зеркала, отражается и идет параллельно главной оптической оси.

3) Луч, идущий параллельно главной оптической оси, отражаясь от зеркала, проходит через фокус.

Формула для зеркала справедлива во всех случаях:

а)  – вогнутое зеркало; изображение действительное и обратное;

б)  – выпуклое зеркало; изображение мнимое и прямое;

в)  – плоское зеркало; изображение мнимое, прямое, равное по размерам самому объекту; расстояние от зеркала до изображения следует считать отрицательным, поэтому увеличение .

Интерференция.

Интерференция волн - явление, наблюдающееся при одновременном распространении в пространстве двух или нескольких волн и состоящее в стационарном (или медленно изменяющемся) пространственном перераспределении амплитуды и фазы результирующей волны.

 

 

Интерференция волн на поверхности воды, возбуждаемых в двух точках.

Интерференция света – явление, наблюдающееся при одновременном распространении в пространстве двух или нескольких световых волн и состоящее в стационарном (или медленно изменяющемся) пространственном перераспределении светового потока, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других – минимумы интенсивности.(Интерференция света наблюдается на экране или иной поверхности в виде характерного чередования светлых и темных полос или пятен (для монохроматического[1] света) или окрашенных участков - для белого света.)

 

Опыт Юнга с двумя щелями (1800 г., исторически первый опыт по интерференции света).

 

Результат.

На экране возникает чередующаяся последовательность светлых и темных полос, причем яркость светлых полос убывает с расстоянием от центра.

Объяснение и математическое обоснование.

Полезно сначала рассмотреть ситуацию, когда свет проходит через одну щель в перегородке.

В опыте с одной щелью монохроматический свет от источника проходит через узкую щель и регистрируется на экране. Неожиданным является то, что при достаточно узкой щели на экране видна не узкая светящаяся полоска (изображение щели), а плавное распределение интенсивности света, имеющее максимум в центре и постепенно убывающее к краям. Это явление обусловлено дифракцией света на щели и также есть следствие волновой природы света.

Пусть теперь в перегородке сделаны две щели. Последовательно закрывая то одну, то другую щель, можно убедиться, что картина распределения интенсивности на экране будет такой же, как и в случае одной щели, но только положение максимума интенсивности будет каждый раз соответствовать положению открытой щели. Если же открыть обе щели, то на экране возникает чередующаяся последовательность светлых и темных полос, причем яркость светлых полос убывает с расстоянием от центра.

Предположим, что две монохроматические световые волны, накладываясь друг на друга, возбуждают в определенной точке пространства колебания одинакового направления: , .Под х понимают напряженность электрического Е (или магнитного Н) поля волны. Напряженности электрического и магнитного полей подчиняются принципу суперпозиции. Амплитуду результирующего колебания в данной точке рассчитаем методом вращающегося вектора амплитуды.

 

Согласно теореме косинусов,

.

Если  имеет постоянное во времени, но свое для каждой точки пространства, значение (т. е. разность фаз колебаний волн постоянна – волны когерентны), то интенсивность результирующей волны:

, т. к. I ~ .

В точках пространства,

где , интенсивность ,

где , интенсивность .

Следовательно, при наложении двух (или нескольких) когерентных световых волн происходит пространственное перераспределение светового потока, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других - минимумы интенсивности.

Если  непрерывно изменяется (т. е. разность фаз колебаний волн постоянна - волны некогерентны), среднее во времени значение  равно нулю, и интенсивность результирующей волны всюду одинакова и при  равна  (для когерентных волн при данном условии в максимумах , в минимумах I = 0).

Для получения когерентных световых волн применяют метод разделения волны, излучаемой одним источником, на две части, которые после прохождения разных оптических путей накладываются друг на друга, и наблюдается интерференционная картина.

Произведение геометрической длины s пути световой волны в данной среде на показатель n преломления этой среды называется оптической длиной пути L, а  - разность оптических длин проходимых волнами путей - называется оптической разностью хода.

Если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме

,

то , и колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут происходить в одинаковой фазе. Следовательно, данное выражение является условием интерференционного максимума.

 

 

Если оптическая разность хода

,

то , и колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут происходить в противофазе. Следовательно, данное выражение является условием интерференционного минимума.

 

Итог.

1) конструктивная интерференция – ;

2) деструктивная интерференция – .