Методы интегрирования определенного интеграла:

Непосредственное интегрирование.

Пример: .

 

2. Замена переменных.

Пусть задан интеграл , где f (x) – непрерывная функция на отрезке [ a, b ]. Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j (t).

1) j (a) = а, j (b) = b;

2) j (t) и j ¢ (t) непрерывны на отрезке [ a, b ];

3) f (j (t)) определена на отрезке [ a, b ], то .

Тогда

Пример:

 

3. Интегрирование по частям.

Формула имеет вид: .

Пример: = = =

= + =0.

Приближенное вычисление определенного

 интеграла

Потребность в приближенном вычислении интеграла возникает тогда, когда не существует или неизвестен метод отыскания точного значения интеграла, и тогда, когда этот метод известен, но неудобен.

Формула прямоугольников

Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция f (x).

Разобьем отрезок [ a, b ] на n равных частей, длины которых равны , где x₁, x₂, … x_n – точки разбиения. Тогда можно записать, что .

При таком разбиении имеем прямоугольники, площадь которых равна , где , а  – некоторая точка на отрезке, которая в частности выбирается середина отрезка .

Тогда сумма площадей всех прямоугольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение определенного интеграла и называемое общей формулой прямоугольников:

.

Формула трапеций

Эта формула является более точной по сравнению с формулой прямоугольников.

Подынтегральная функция в этом случае заменяется на вписанную ломаную. Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций.

Замечание: чем больше взять точек n разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл.

Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:

;

.

После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:

Формула парабол (формула Симпсона или квадратурная формула)

Данный метод основан на разбиении дуги линии f (x), соответствующую [ a, b ], дугами парабол, что позволяет получить более точную формулу приближенного вычисления. Для этого разделим отрезок интегрирования [ a, b ] на четное число отрезков (2 m).

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси OY и проходящей через точки кривой, со значениями f (x ₀), f (x ₁), f (x ₂).

Для каждой пары отрезков построим такую параболу.

0

y

x

x0

x2

x1

Уравнения этих парабол имеют вид

Ax² + Bx + C,

где коэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.

Для определения А, В, С имеется система уравнений:

  (1)

 Если обозначим и примем х₀ = - h, x ₁ = 0, x ₂ = h, то   (2)

Выразается S через величины (1):    

C учетом этого: .

Отсюда выражение (2) примет вид: 

Тогда для каждой пары отрезков имеется:

...

Суммируя эти выражения, получаем формулу называемую формулой Симпсона:

Пример:

Вычислим приближенное значение определенного интеграла  с помощью формулы Симпсона и формулы трапеций, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. По формуле Симпсона получим:

m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
f(x)	2.828	3.873	4	4.123	4.899	6.557	8.944	11.874	15.232	18.947	22.978

Точное значение этого интеграла: 91.173.

Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.

Несобственные интегралы

1.Несобственные интегралы первого рода

Если функция  определена и непрерывна на любом отрезке [ a, b ], то несобственным интегралом с бесконечным пределом или несобственным интегралом первого рода называется интеграл:

 или , или

, с – произвольное число.

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Теоремы о сходимости и расходимости:

1. Если на промежутке  непрерывные функции  и  удовлетворяют условию: , то из сходимости интеграла следует сходимости интеграла , а из расходимости интеграла  следует расходимость интеграла  («признак сравнения»).

2. Если при  и существует конечные предел , то интегралы  и  сходятся или расходятся одновременно («предельный признак сравнения»).

3. Если сходится интеграл , то сходится и интеграл , который в этом случае называется абсолютно сходящимся.

Примеры:

1. - не существует  несобственный интеграл расходится.

2.  - интеграл сходится.

2.Несобственные интегралы второго рода (интеграл от разрывной функции)

Если функция  непрерывна на промежутке  и имеет разрыв II-го рода при , то несобственным интегралом неограниченной функции или несобственным интегралом второго родва называется интеграл:  или , если функция терпит бесконечный разрыв в точке .

Если функция  терпит разрыв II-го рода во внутренней точке , то несобственным интегралом второго рода называют интеграл: .

Замечание: внутренних точек разрыва II-го рода внутри отрезка может быть несколько.

Теоремы о сходимости и расходимости:

1. Если на промежутке  функции  и  непрерывны, при  терпит разрыв II-го рода и удовлетворяют условию: , то из сходимости интеграла следует сходимости интеграла , а из расходимости интеграла  следует расходимость интеграла  («признак сравнения»).

2. Пусть функции  и  непрерывны на промежутке  и в точке  терпит разрыв II-го рода. Если существует предел , то интегралы  и  сходятся или расходятся одновременно («предельный признак сравнения»).

3. Если функция , знакопеременная на отрезке , имеет разрыв в точке , и несобственный интеграл  сходится, то сходится и интеграл .

Задания для самопроверки №2

Вычислить:

1.                                                       Ответ: 6-2ln4

2.                                                  Ответ:

3.                                                     Ответ: 0

4.                                                 Ответ:  

5.                                                 Ответ:   

6.                                                            Ответ:

7.                                                       Ответ: π

8. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

a)                                                    Ответ: сходится

b)                                             Ответ: расходится

c)                                            Ответ: сходится

d)                                                      Ответ: расходится