Интегрирование рациональных дробей

Дробно-рациональной функцией называется функция вида: , где - многочлен степени m, - многочлен степени n.

Замечание: Если m < n, то рациональную дробь называется правильной. Если m ³ n, то рациональную дробь называется неправильной.

Примеры:

a) = ;

b)

.

c)

d)

.

Интеграл вычисляется с помощью:

· рекуррентной формулы: Она выведена в курсе математического анализа:

Следовательно,

.

· интегрирования по частям:

 

В таблице 3 приведены общие виды правильных рациональных дробей и способы их интегрирования с помощью замены переменной.

Таблица 3.

№	подынтегральное выражение	преобразования	замена	dx
I.
II.
III.
IV.				и раскладывается на сумму двух интегралов
V.
		и применяется рекуррентная формула

m, n – натуральные числа (m ³ 2, n ³ 2) и D <0.

 

Подынтегральные выражения не вошедшие в таблицу 3 интегрируются с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Теорема (метод неопределенных коэффициентов). Если  - правильная рациональная дробь, где знаменатель имеет вид:

P (x) = (x - a) ^a …(x - b) ^b (x ² + px + q) ^l …(x ² + rx + s) ^m ) (причем множители типа x ² + px + q неразложимы на действительные множители первой степени), то эта дробь может быть разложена на сумму простейших дробей:

где A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i – некоторые постоянные величины.

Примеры:

a) =

 Подынтегральное выражение представляется в виде суммы простейших дробей .

После освобождения от знаменателей, получается:

.

Сгруппировываются члены с одинаковыми степенями:

             

    

                  

В итоге получается:

b) .

Так как дробь неправильная, то выделяется целая часть:

6x⁵ – 8x⁴ – 25x³ + 20x² – 76x – 7     3x³ – 4x² – 17x + 6

     6x⁵ – 8x⁴ – 34x³ + 12x²                     2x² + 3

                9x³ + 8x² – 76x - 7

                 9x³ – 12x² – 51x +18

                             20x² – 25x – 25

Следовательно,

    Для нахождения корней уравнения  применяем схему Горнера:

коэффициенты перед x
ре ше ние		3	– 4	– 17	6
	3	3	5	– 2	–
	– 2	3	– 1	–	–
	1/3	3	–	–	–

 

Получаются: .

Следовательно, корни этого уравнения: 3; -2; 1/3.

Отсюда .

Получившееся подынтегральное выражение раскладывается на элементарные дроби:

Применяем метод произвольных значений, суть которого состоит в том, что в полученное выражение подставляем поочередно (по числу неопределенных коэффициентов) значения х. Для упрощения вычислений принимают точки, при которых знаменатель дроби равен нулю. В нашем случае: 3, -2, 1/3. Получаем:

   

В итоге получаем:

 =

1.4. Интегрирование тригонометрических функций

· Метод тождественных преобразований.

Примеры:

a)

b)

· Метод замены переменной.

Примеры:

c)

d)

e)

· Метод универсальной тригонометрической подстановки (универсальной замены).

Примеры:

f)

g)

 

h)

Интеграл вычисляется методом неопределенных коэффициентов:

Получается:

.

Учитывая выше сказанное, представим основные типы тригонометрических функций в виде таблицы 4.

Таблица 4.

№	подынтегральное выражение	замена
1.		универсальная замена
2.
3.
4.
5.
6.		, ,
7.		Понижается степень по формуле
8.
9.		Применяются рекуррентные формулы

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sin (x) и cos (x). Функции sec(x)=1/cos(x) и csc(x)=cosec(x)=1/sin(x).