Величина — понятие аксиоматическое

Ход урока.

I. Организационный момент.

Дети входят в класс под музыку.

Учитель:

– Эта книга – ваш учебник.

В ней живет один волшебник.

(Из книги появляется волшебник: у него строгое выражение лица.)

Он и весел, он и строг –

И готов начать урок.

Вот коснулся он страницы –

И страница, словно птица,

Машет весело крылом

И зовет покинуть дом!

Мир волшебный перед вами

Здесь, за книжными листами.

Поздравляет вас звонок –

Начинается урок!

А девиз у нас такой:

То, что знаешь, не скрывай: на вопросы – отвечай!

II. Подготовительная работа.

Практическая работа у доски и индивидуальная на местах.

– О какой величине мы говорили на прошлом уроке? (О длине.)

– Измерьте синий отрезок, красный отрезок (с помощью моей мерки). Выразите результат измерения с помощью числа.

– Сравните отрезки по длине.

– Почему длину можно назвать величиной?

– Какой единой единицей мы пользуемся для измерения длины?

– Какие вы молодцы!

III. Постановка проблемной ситуации. Поиск решения проблемной ситуации.

1. Введение понятия «масса».

Учитель (надевая шляпу):

– А я ведь от волшебника

Пришла к вам в первый раз!

И очень мне понравился

Ваш, ребята, класс!

Теперь я поняла, почему волшебник послал меня к вам. Только вы сможете помочь мне открыть новые знания. Дал мне сегодня мудрый и строгий волшебник двух матрешек и задание найти в них отличие. А я смотрю на них и ничего не пойму – они же совсем одинаковые.

Я задумалась всерьез:

Получается курьез.

Что сделать?

Что делать?

Показываю детям внешне два совершенно одинаковых предмета (матрешки). Они отличаются только массой, но визуально дети не могут это определить. Я предлагаю детям найти отличия. Проблема разрешается только тогда, когда дети берут предметы в руки и определяют, что один из них легче, а другой тяжелее.

– Оказывается, есть такие свойствапредметов, которые мы не всегда можем увидеть. Чтобы обнаружить эти свойства, надо взять предметы в руки.

А как же называется это свойство предметов?! Забыла...

На помощь к нам придет мой учитель; он научил меня в трудных ситуациях произносить волшебные слова.

Повторяйте их за мной:

Источник знаний, появись!

Живой водою поделись!

На доске появляется слово масса.

– Да, когда мы говорим, что один предмет легче или тяжелее другого, то имеем в виду свойство предметов, которое называется масса.

– Так о чем мы будем сегодня говорить на уроке? (О массе.)

Задание 1.

– Возьмите в руки тетрадь и учебник. Что тяжелее? Что легче?

Задание 2.

– Сравните по массе два предмета, которые я вам предложу.

Сравнивая мои предметы по массе (визуально), приходим к противоречию: у одних детей тяжелее один предмет, у других – другой.

– Как же так? Кто же прав?

2. Введение инструмента для измерения массы.

– Что же помогает нам точно сравнивать предметы по массе? Какой инструмент? (Весы.)

Демонстрация чашечных весов.

Введение понятия равновесие (происходит от слова вес).

На одну чашку весов ставим 1 мешок риса, на другую – 1 мешок гречки.

Дети видят, что весы находятся в равновесии.

– Когда весы стоят в равновесии, то говорят, что массы данных предметов равны, то есть масса мешка риса равна массе мешка гречки.

На доске появляется карточка или запись: р = г.

– Когда одна чашка весов находится ниже, она тяжелее; когда выше – легче. Где тяжелее, там масса больше; где легче, там масса меньше.

На доске появляется карточка или запись: т > л.

Задание 3.

По макету на доске сравниваем массу арбуза и массу дыни. Приходим к выводу: масса арбуза меньше массы дыни, то есть а < д (карточка или запись на доске).

Сравниваем полученный результат с выводом учебника.

Третий пример разбираем по учебнику.

Демонстрация различных весов в зависимости от назначения предметов, которые они измеряют.

Задание 4.

Записать предложения с помощью знаков >, <, = (самопроверка):

– пакет с сахаром тяжелее пакета с мукой;

– масса курицы меньше массы гуся;

– заяц тяжелее белки;

– масса воробья равна массе синицы.

3. Физминутка (изображаем работу весов).

4. Масса – величина.

– Итак, предметы можно сравнивать по массе с помощью знаков >, <,=.

– А как называется свойство предмета, которое можно сравнивать? (Величина.)

– Какой вывод можно сделать?

(Масса – величина.)

Вывод записан на карточке, которую учитель показывает детям.

5. Введение мерки для измерения массы.

– Если масса – это величина, то ее можно измерить. Что обязательно надо выбрать, чтобы что‑то измерить? (Мерку.)

– Я выбрала мерку (показываю). Давайте измерим массу книги с помощью моей мерки.

Вывод: чтобы измерить массу предмета, надо выбрать мерку и уравновесить весы (одной или несколькими мерками).

– Какие еще мерки можно использовать, чтобы измерить массу? (Предложения детей.)

– Измерьте массу книги с помощью вашей мерки.

– Почему вам потребовалось больше мерок для уравновешивания весов?

– Зависит ли результат измерения от мерки?

Вывод:

· чем меньше мерка, тем больше их требуется, чтобы уравновесить данный предмет;

· массу можно измерить и результат измерения выразить числом.

– Сравните:

1) Крокодил Гена = 3 Чебурашкам;

Винни‑Пух = 5 Чебурашкам.

Кто тяжелее?

2) Крокодил Гена = 3 Чебурашкам;

Винни‑Пух =10 уткам.

Кто тяжелее?

– Сделайте вывод.

Вывод: сравнивать предметы можно лишь тогда, когда они выражены в одинаковых мерках.

Исторические сведения.

– Какие мерки для измерения массы использовали в старину?

– Раньше мерами сыпучих тел были бочка и кадь. Существовало и много местных мер: коробья, рогожа и другие. Древнейшей русской единицей массы была гривна. Позже появились фунт, пуд и другие единицы. Соотношения между ними были весьма запутанными, так как значения одной и той же единицы измерения для взвешивания разных предметов в разных губерниях были разными. Например, в российском дореволюционном справочнике можно найти 120 различных фунтов: большой, малый, старый, новый, обыкновенный, казенный, монетный, торговый, городской, горный, артиллерийский, медицинский, аптекарский, фунт для мяса, фунт для железа и т. д. Все в старину было по‑другому.

6. Физминутка (музыкальная).

7. Введение единой единицы измерения – килограмм.

– А как же так получается, что, когда мы приходим в магазин, продавец нас понимает и взвешивает продукциистолько, сколько мы пожелаем? Какойже меркой для измерения массы мыпользуемся? (Килограмм.)

Карточка на доске: 1 кг.

Показываю детям гирю в один килограмм.

Уравновешиваем на весах гирю и мешок с рисом и получаем массу –1 кг. (Сравниваем с выводом учебника.)

Вывод: масса мешка с рисом равна одному килограмму.

Задачи на логику:

– Что тяжелее: 1 кг железа или 1 кг ваты?

– Гусь, стоящий на одной ноге, весит 1 кг. Сколько он весит, когда стоит на двух ногах?

– Щука весит больше, чем карась, а карась – больше, чем вьюн. Кто самый легкий?

8. Итог урока.

Вручаю жетоны за правильные ответы на вопросы:

– С какой величиной вы сегодня познакомились?

– Почему масса – это величина?

– Какой инструмент помогает измерить массу?

– В каком положении находятся весы? (Демонстрация.)

– Сравните (весы находятся не в равновесии, но на доске записано равенство). (Нарушен принцип равновесия, либо надо изменить знак.)

– Какая единая мерка массы используется?

Вывод:

Нынче на уроке в классе

Все узнали мы о массе.

Знаю я, ты, он, она:

Масса есть величина.

И совсем это не сложно,

И уже нельзя забыть,

Что измерить массу можно,

И, коль захотим, сравнить.

Обращаем внимание на волшебника: он в конце урока заулыбался; собираю полученные детьми жетоны, и получаем слово спасибо – это волшебник благодарит нас за работу на уроке.

 

Анна Ивановна Лячек – учитель начальных классов школы № 7 г. Магнитогорска;

Людмила Ивановна Чернова– доцент кафедры методики начального образования Магнитогорского государственного университета.

 

Фрагмент 2

Учитель предлагает учащимся в форме математического диктанта заполнить таблицу, диктуя значения величин, обозначающих сроки жизни, скорости передвижения и массы животных.

Животное	Срок жизни	Скорость передвижения (км/ч)	Масса (кг)
Лось	20 лет	72	825
Верблюд	30 лет	27	700
Жираф	36 лет	51	1800
Акула	50 лет	67	500
Медведь	47 лет	48	450
Кит	70 лет	110	37000
Олень	25 лет	72	380
Уж	20 лет	3	1
Стрекоза	3 мес.	80	320
Дельфин	25 лет	32	136
Гепард	19 лет	95	65
Черепаха	150 лет	400 м/ч	400
Рыба-меч	6 лет	110	50
Борзая	20 лет	66	20
Лошадь	35 лет	65	1000
Утка	20 лет	96	2
Лев	30 лет	80	320

 

После заполнения таблицы детям предлагаются следующие вопросы:

Кто из представленных в таблице представителей животного мира:

1. Имеет самую большую массу? Самую большую скорость? Дольше все х живёт?

2. Имеет самую маленькую массу? Самую маленькую скорость? Меньше всех живёт?

3. Имеет одинаковые сроки жизни? Одинаковые скорости передвижения?

4. имеют скорости, выражающиеся: а) тремя друг за другом слудующими числами; б) двумя друг за другом следующими числами?

5. Имеют скорости, выражающиеся: неравными числами, но записанными одними и теми же цифрами? Двузначным числом, записанным двумя одинаковыми цифрами?

6. Имеет массу, выраженную круглыми сотнями? Круглыми десятками? Однозначный числом? Четырехзначным числом?

7. Имеют сроки жизни, равные суммам чисел 20 и 15, 17 и 30, 15 и 15, 2 и 5?

8. Имеют массу: равну масса оленя и льва? Равную двум массами черепахи, рыы-меч и медведя? Выраженную числом из 1 сот. 3 дес. и 6 ед.? 8 сот. 2 дес. 5 ед.?

9. Имеет массу на 100 кг большую, чем масса черепахи?

 

В дальнейшем обучении данные этих таблиц можно использовать для составления текстовых задач с вопросами: " На сколько больше (меньше)?", " Какова общая масса...?" и др.

Наибольшее раскрытие познавательный возможностей использование числовых данных предоставляется при обучении решению текстовых задач. Приведём некоторые из них.

 

1. Самая большая высота Крымских гор 1545 м. Уральские горы на 349 м выше Крымских, но ниже Карпатских на 769 м, которые ниже горы Эльбрус на 2970 м. Определите высоту горы Эльбрус.

2. Крымские горы имеют протяжённость 150 км, Карпатские в 10 раз большую и такую же, как и Кавказские, но на 600 км меньшую, чем протяжённость Уральских гор. Определите протяжённость Уральских гор.

3. Длина реки Днепр 2280 км. Днепр короче реки Дунай на 570 км, который короче Волги на 840 км. Определите длину реки Волги.

4. Самое большое озеро в мире, которое находится на территории СНГ, - Каспийское. Его площадь 400 кв. км, что на 368 кв. км больше площади озера Байкал. Определите площадь озера Байкал.

5. Самое глубокое озеро в мире, которое находится в России, - Байкал, его глубина 1740 м. Оно находится на 840 и глубже Каспийского моря. Вычислите глубину Каспийского моря.

6. Наибольшая глубина Азовского моря 14 м. Это в 160 раз меньше глубины Чёрного моря, которое на 1780 м глубже Балтийского моря. Определите наибольшую глубину Балтийского моря.

7. Средняя высота дождевых облаков 900 м, высота полёта ласточки на 1600 м выше дождевых облаков. Сокол поднимается на 1500 м выше ласточек. Самое высокое человеческое жилище построено на 979 м выше полёта сокола. Орёл поднимается на 1500 м выше сокола, кондор- на 300 м выше орла, а перистые облака поднимаются на 3500 м выше кондора. Определите все эти высоты.

8. В водах океана в среднем на 1000 г воды приходится 35 г соли. В Азовском море соленость воды составляет 2/5 океанской. В Чёрном море в 1 кг воды на 4 г больше соли, чем в Азовском. Узнайте, сколько граммов соли в 1 кг черноморском воды.

 

Формирование вычислительных навыков- трудоемкая и порой скучная для учащихся работа, если не вносится разнообразие в её организацию. Один из приёмов, активизирующий детей, следующий: в предлагаемых заданиях даны словесный формулировки познавательный вопросов, а также возможные варианты ответов, один из которых правильный, а остальные нет. Учащиеся должны выбрать правильный ответ. Для этого им необходимо выполнить математические задания, например, вычисления. Затем учащиеся получают информацию познавательного характера. Например, на уроке учащиеся выполняют математические действия, используя различные способы задания и описания алгоритмов, чередуя эту работу с получением информации в форме беседы о животных, событиях и т. п. Это даёт возможность усилить воспитательной эффект, осуществить межпредметные связи, повысить познавательную активность детей и т. п.

 

Разнообразная подача математического материала эмоционально воздействует на детей. Дополнительные сведенияпознавательного характера способствуют активности учащихся, так как в заданиях, подобным выше: 1) заложена смена деятельности детей (они слушают, думают, отвечают на вопросы, считают, составляют выражения, находят их значения и записывают результаты). 2) узнают интересные факты, что не только способствует взаимосвязи изучаемых в школе предметов, расширяет кругозор, способствует общему развитию, но и побуждает к самостоятельному познанию нового.

В. Ф. Ефимов

 

Пропедевтические задачи

 Регулятивные УУД: различать способ и результат действия.

Познавательные УУД: работать с реальными и графическими моделями (чертежом, рисунком), ориентироваться в разнообразии способов решения задач.

Коммуникативные УУД: планировать и согласованно выполнять совместную деятельность, распределять роли, в том числе и в парах, взаимно контролировать действия друг друга, уметь договариваться, вести дискуссию.

 Большое значение для формирования УУД имеет использование задач на установление зависимости между линейными элементами фигур и площадями плоских фигур, поверхностей и объемами пространственных фигур.

При измерении геометрических величин сначала выбирают единичную фигуру, своего рода эталон, с которым сравнивают все остальные фигуры. Для измерения объемов в качестве тела, с которыми сравнивают все другие тела, выбран куб, ребро которого равно единичному отрезку. Такой куб называют единичным кубом, и его объем считают равным единице.

При измерении объемов различных тел опираются на следующие основные свойства объема: а) если тела равны, то объемыих также равны; б) если тело разбито на несколько тел, то его объем равен сумме объемов этих тел.

Практика показывает, что для измерения объема прямоугольного параллелепипеда можно не разбивать его на единичные кубы и не пересчитывать их, а сразу измерить длины трех его смежных ребер, используя одну и ту же единицу длины.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда имеет вид V = a b c, где а, b, с — длины ребер прямоугольного параллелепипеда. Так как куб является прямоугольным параллелепипедом, у которого все ребра равны, то объем куба с ребром а определяется по формуле V = a3.

З а д а ч а 1. Из кубиков с ребром 2 см сложили параллелепипед (рис. 5). Подумайте и определите его длину, ширину и высоту. Из какого количества кубиков сложен этот параллелепипед?

Особенный интерес представляют задачи, имеющие несколько вариантов решений. Анализируя их, нужно определить, является ли задача открытой или нет, сколько решений имеет задача и каковы условия их существования.

На уроке можно разбить класс на группы и предложить каждой группе решить задачу различными способами. После этого учащиеся сравнивают способы решения задачи и выбирают наиболее привлекательный. Возможность решения одной и той же задачи различными способами демонстрирует непрерывность выводов математики, подчеркивает красоту содержания учебного предмета.

Задачи на сложение кубиков

Регулятивные УУД: осуществлять итоговый и пошаговый контроль по результату деятельности.

Познавательные УУД: выполнять логические операции сравнения, анализа по заданным критериям и т.п.

Коммуникативные УУД: выражать свои мысли, уважать в общении и сотрудничестве партнера и самого себя и т.п.

З а д а ч а 8. Можно ли из кубов с ребром 1 см составить прямоугольный параллелепипед, объем которого равен 8 см 3? Рассмотрите несколько вариантов решений.

Ход решения.

Задача допускает несколько вариантов решений. Здесь (как и в задачах 2, 3) целесообразно использовать межпредметную связь геометрии и арифметики, представив число 8 в виде произведения трех натуральных множителей. Прямоугольный параллелепипед, объем которого равен 8 см 3, изображен на рис. 11, так как 8 = 1 2 4 (это один из вариантов решения задачи).

З а д а ч а 9. Из кубиков с ребром 2 см сложили параллелепипед. Определите его объем. Рассмотрите несколько вариантов решений. З а д а ч а 10. В какую коробку (в форме прямоугольного параллепипеда) войдет больше кубиков с ребром 1 см: с размерами 4 см, 3 см и 2 см или с размерами 2 см, 2 см и 3 см? Сделайте вывод.

Смешанные задачи

Регулятивные УУД: проявлять инициативу, самостоятельность и т.п.

Познавательные УУД: проводить обоснование, поиск и отбор необходимой информации, выполнять логические действия и логические операции сравнения, установление аналогий по заданным критериям и т.п.

Коммуникативные УУД: учитывать разные мнения и стремиться к координации различных позиций в сотрудничестве.

Задача 13. Сколько одинаковых квадратов надо взять, чтобы из них можно было сложить в 2 раза больший квадрат (по периметру)? Сколько одинаковых кубиков надо взять для составления из них куба в 2 раза большего (по сумме периметров всех граней)?

Ход решения.

Если считать, что в 2 раза больший квадрат (по периметру) — это квадрат, сторона которого в 2 раза больше стороны исходного квадрата, то для его получения надо взять 4 одинаковых исходных квадрата. Для составления в 2 раза большего куба (по сумме периметров всех граней) надо взять 8 кубиков.

С целью организации дифференциации и индивидуализации обучения данные задачи можно предлагать на печатной основе и в электронном виде. Последнее позволяет учителю организовать как фронтальную работу с классом, демонстрируя задания на экране (например, задачи 1, 7, 9 и др.), так и индивидуальную (если текст представлен на мониторе компьютера). Ученики могут построить нужную фигуру с помощью компьютерных чертежных инструментов в программах MicrosoftWord, Paint (к примеру, после решения задачи 5 и др.), а для представления результатов решения задачи могут использовать программу PowerPoint.

Вариативность учебных заданий, учет опыта учеников, включение в обучение математике игровых ситуаций, коллективное обсуждение результатов самостоятельно выполненных заданий оказывают положительное влияние на развитие познавательных интересов обучающихся и способствуют формированию мотивации в учении.

Ход урока.

I. Организационный момент.

Дети входят в класс под музыку.

Учитель:

– Эта книга – ваш учебник.

В ней живет один волшебник.

(Из книги появляется волшебник: у него строгое выражение лица.)

Он и весел, он и строг –

И готов начать урок.

Вот коснулся он страницы –

И страница, словно птица,

Машет весело крылом

И зовет покинуть дом!

Мир волшебный перед вами

Здесь, за книжными листами.

Поздравляет вас звонок –

Начинается урок!

А девиз у нас такой:

То, что знаешь, не скрывай: на вопросы – отвечай!

II. Подготовительная работа.

Практическая работа у доски и индивидуальная на местах.

– О какой величине мы говорили на прошлом уроке? (О длине.)

– Измерьте синий отрезок, красный отрезок (с помощью моей мерки). Выразите результат измерения с помощью числа.

– Сравните отрезки по длине.

– Почему длину можно назвать величиной?

– Какой единой единицей мы пользуемся для измерения длины?

– Какие вы молодцы!

III. Постановка проблемной ситуации. Поиск решения проблемной ситуации.

1. Введение понятия «масса».

Учитель (надевая шляпу):

– А я ведь от волшебника

Пришла к вам в первый раз!

И очень мне понравился

Ваш, ребята, класс!

Теперь я поняла, почему волшебник послал меня к вам. Только вы сможете помочь мне открыть новые знания. Дал мне сегодня мудрый и строгий волшебник двух матрешек и задание найти в них отличие. А я смотрю на них и ничего не пойму – они же совсем одинаковые.

Я задумалась всерьез:

Получается курьез.

Что сделать?

Что делать?

Показываю детям внешне два совершенно одинаковых предмета (матрешки). Они отличаются только массой, но визуально дети не могут это определить. Я предлагаю детям найти отличия. Проблема разрешается только тогда, когда дети берут предметы в руки и определяют, что один из них легче, а другой тяжелее.

– Оказывается, есть такие свойствапредметов, которые мы не всегда можем увидеть. Чтобы обнаружить эти свойства, надо взять предметы в руки.

А как же называется это свойство предметов?! Забыла...

На помощь к нам придет мой учитель; он научил меня в трудных ситуациях произносить волшебные слова.

Повторяйте их за мной:

Источник знаний, появись!

Живой водою поделись!

На доске появляется слово масса.

– Да, когда мы говорим, что один предмет легче или тяжелее другого, то имеем в виду свойство предметов, которое называется масса.

– Так о чем мы будем сегодня говорить на уроке? (О массе.)

Задание 1.

– Возьмите в руки тетрадь и учебник. Что тяжелее? Что легче?

Задание 2.

– Сравните по массе два предмета, которые я вам предложу.

Сравнивая мои предметы по массе (визуально), приходим к противоречию: у одних детей тяжелее один предмет, у других – другой.

– Как же так? Кто же прав?

2. Введение инструмента для измерения массы.

– Что же помогает нам точно сравнивать предметы по массе? Какой инструмент? (Весы.)

Демонстрация чашечных весов.

Введение понятия равновесие (происходит от слова вес).

На одну чашку весов ставим 1 мешок риса, на другую – 1 мешок гречки.

Дети видят, что весы находятся в равновесии.

– Когда весы стоят в равновесии, то говорят, что массы данных предметов равны, то есть масса мешка риса равна массе мешка гречки.

На доске появляется карточка или запись: р = г.

– Когда одна чашка весов находится ниже, она тяжелее; когда выше – легче. Где тяжелее, там масса больше; где легче, там масса меньше.

На доске появляется карточка или запись: т > л.

Задание 3.

По макету на доске сравниваем массу арбуза и массу дыни. Приходим к выводу: масса арбуза меньше массы дыни, то есть а < д (карточка или запись на доске).

Сравниваем полученный результат с выводом учебника.

Третий пример разбираем по учебнику.

Демонстрация различных весов в зависимости от назначения предметов, которые они измеряют.

Задание 4.

Записать предложения с помощью знаков >, <, = (самопроверка):

– пакет с сахаром тяжелее пакета с мукой;

– масса курицы меньше массы гуся;

– заяц тяжелее белки;

– масса воробья равна массе синицы.

3. Физминутка (изображаем работу весов).

4. Масса – величина.

– Итак, предметы можно сравнивать по массе с помощью знаков >, <,=.

– А как называется свойство предмета, которое можно сравнивать? (Величина.)

– Какой вывод можно сделать?

(Масса – величина.)

Вывод записан на карточке, которую учитель показывает детям.

5. Введение мерки для измерения массы.

– Если масса – это величина, то ее можно измерить. Что обязательно надо выбрать, чтобы что‑то измерить? (Мерку.)

– Я выбрала мерку (показываю). Давайте измерим массу книги с помощью моей мерки.

Вывод: чтобы измерить массу предмета, надо выбрать мерку и уравновесить весы (одной или несколькими мерками).

– Какие еще мерки можно использовать, чтобы измерить массу? (Предложения детей.)

– Измерьте массу книги с помощью вашей мерки.

– Почему вам потребовалось больше мерок для уравновешивания весов?

– Зависит ли результат измерения от мерки?

Вывод:

· чем меньше мерка, тем больше их требуется, чтобы уравновесить данный предмет;

· массу можно измерить и результат измерения выразить числом.

– Сравните:

1) Крокодил Гена = 3 Чебурашкам;

Винни‑Пух = 5 Чебурашкам.

Кто тяжелее?

2) Крокодил Гена = 3 Чебурашкам;

Винни‑Пух =10 уткам.

Кто тяжелее?

– Сделайте вывод.

Вывод: сравнивать предметы можно лишь тогда, когда они выражены в одинаковых мерках.

Исторические сведения.

– Какие мерки для измерения массы использовали в старину?

– Раньше мерами сыпучих тел были бочка и кадь. Существовало и много местных мер: коробья, рогожа и другие. Древнейшей русской единицей массы была гривна. Позже появились фунт, пуд и другие единицы. Соотношения между ними были весьма запутанными, так как значения одной и той же единицы измерения для взвешивания разных предметов в разных губерниях были разными. Например, в российском дореволюционном справочнике можно найти 120 различных фунтов: большой, малый, старый, новый, обыкновенный, казенный, монетный, торговый, городской, горный, артиллерийский, медицинский, аптекарский, фунт для мяса, фунт для железа и т. д. Все в старину было по‑другому.

6. Физминутка (музыкальная).

7. Введение единой единицы измерения – килограмм.

– А как же так получается, что, когда мы приходим в магазин, продавец нас понимает и взвешивает продукциистолько, сколько мы пожелаем? Какойже меркой для измерения массы мыпользуемся? (Килограмм.)

Карточка на доске: 1 кг.

Показываю детям гирю в один килограмм.

Уравновешиваем на весах гирю и мешок с рисом и получаем массу –1 кг. (Сравниваем с выводом учебника.)

Вывод: масса мешка с рисом равна одному килограмму.

Задачи на логику:

– Что тяжелее: 1 кг железа или 1 кг ваты?

– Гусь, стоящий на одной ноге, весит 1 кг. Сколько он весит, когда стоит на двух ногах?

– Щука весит больше, чем карась, а карась – больше, чем вьюн. Кто самый легкий?

8. Итог урока.

Вручаю жетоны за правильные ответы на вопросы:

– С какой величиной вы сегодня познакомились?

– Почему масса – это величина?

– Какой инструмент помогает измерить массу?

– В каком положении находятся весы? (Демонстрация.)

– Сравните (весы находятся не в равновесии, но на доске записано равенство). (Нарушен принцип равновесия, либо надо изменить знак.)

– Какая единая мерка массы используется?

Вывод:

Нынче на уроке в классе

Все узнали мы о массе.

Знаю я, ты, он, она:

Масса есть величина.

И совсем это не сложно,

И уже нельзя забыть,

Что измерить массу можно,

И, коль захотим, сравнить.

Обращаем внимание на волшебника: он в конце урока заулыбался; собираю полученные детьми жетоны, и получаем слово спасибо – это волшебник благодарит нас за работу на уроке.

 

Анна Ивановна Лячек – учитель начальных классов школы № 7 г. Магнитогорска;

Людмила Ивановна Чернова– доцент кафедры методики начального образования Магнитогорского государственного университета.

 

Величина — понятие аксиоматическое

Автор: В.С. САМОЙЛОВ, Курский государственный университет

Журнал «Начальная школа» 2005 выпуск 7

https://vk.com/away.php?to=https%3A%2F%2Fn-shkola.ru%2Fstorage%2Farchive%2F1407238695-1207148035.pdf&cc_key= ст.30

Понятие величина всегда в той или иной степени рассматривалось в курсе арифметики, начиная с момента появления соответствующих учебников (в России таковые появились в начале XVIII в.), а затем с 70х годов прошлого столетия и в курсе математики начальных классов. Термин величина

стал широко использоваться в курсе математики в начальной школе в связи с необходимостью общей трактовки этого понятия в различных дисциплинах. В курсе арифметики использовался другой термин — именованное число, который и сейчас можно встретить в обучении математике в начальных классах.

В большинстве учебников математики (например, учебники авторского коллектива под руководством М.И. Моро), по которым обучение начинается с изучения нумерации натуральных чисел первого десятка, сравнение величин и действий с величинами, как правило, сводятся к соответствующим операциям над числовыми значениями, т.е. проводятся опосредованно. И лишь в некоторых случаях сравнение производится непосредственно, например, с помощью наложения. Несмотря на то, что величины в указанных учебниках в основном отождествляются с числовыми значениями величин, постепенно у учащихся формируется представление о самих величинах: длине, площади, массе и т.д. При этом четкого обоснования связи величин и чисел (всякую величину a при выбранной единице измерения е можно представить в виде a = kе), непосредственного и опосредованного способов сравнения величин (если две величины находятся в отношении «больше», то и соответствующие числовые значения находятся в таком же отношении) не приводится. Указанные связи постепенно раскрываются в практических действиях над величинами.

 

Совершенно другой подход наблюдается в учебниках математики для начальных классов, написанных в соответствии с системой Д.Б. Эльконина — В.В. Давыдова (авторы В.В. Давыдов, О.В. Савельева, Г.Г. Микулина, С.Ф. Горбов). По этим учебникам курс математики начинают изучать с величин и их основных свойств. Сложение, вычитание, сравнение геометрических (длина, площадь) и физических величин (масса, время, емкость) проводятся с помощью практических действий: откладывания суммы отрезков, наложения отрезков, сравнения масс с помощью весов, уравнивания масс на весах и др, — в ходе которых выявляются и обобщаются основные свойства величин (сравнимость, возможность складывать, переместительное и сочетательное свойства сложения, возможность вычитать из большей величины меньшую, неизменяемость суммы при замене равных величин на равные, монотонность сложения), которые затем используются в качестве средства для изучения чисел, действий над ними и законов этих действий. Трудность, а во многих случаях невозможность непосредственного сравнения величин позволяет мотивировать введение понятия числа, после чего действия над величинами более обоснованно сводятся к действиям над числовыми значениями величин при выбранной единице измерения.

 

Таким образом, понятие величины как одно из важнейших математических понятий может служить теоретической основой для введения понятия числа и изучения действий с числами.

 

При сравнении методик формирования понятия числа в различных учебниках математики для начальных классов невольно возникает вопрос: что в своей практической деятельности человек начал использовать раньше — числа или величины? Ответ на этот вопрос склоняется в пользу величин, так как первоначально человек встретился с необходимостью сравнивать расстояния,

длины предметов, например, при изготовлении стрел одинаковой длины. Позднее люди научились считать предметы, а вместе с ними и именованные числа. Наименование здесь выступало в роли единицы счета, или, как мы теперь говорим, единицы измерения величины. Другими словами, именованные числа — это форма представления величин. Числа как таковые еще не выделялись, они использовались только вместе с наименованиями. Чтобы получить числа в «чистом виде», необходимо было «оторвать» их от наименований, рассмотреть операции над ними и их свойства. Эта работа была проделана успешно в период образования научных школ в Древней Греции и

в странах Дальнего Востока.

 

Обобщению творчества математиков школ Древней Греции посвящен знаменитый труд Евклида «Начала». Здесь приводится и первое аксиоматическое определение величины. Перечислим аксиомы Евклида, описывающие общие свойства положительных скалярных величин:

· — равные одному и тому же равны между собой;

· — если к равным прибавить равные, то и целые будут равны;

· — если от равных отнимаются равные, то и остатки будут равны;

· — если к неравным прибавляются равные, то и целые будут не равны;

· — удвоенные одного и того же равны между собой;

· — половины одного и того же равны между собой;

· — совмещающиеся друг с другом равны между собой;

· — целое больше части.

 

Представленная система аксиом в целом не удовлетворяет современным требованиям кподобного рода системам, так как она является зависимой и не является полной (например, четвертая аксиома является следствием второй). Однако математическая теория Евклида до сих пор привлекает внимание историков, методистов, а также самих математиков, так как обладает значительными дидактическими достоинствами: геометрический язык позволяет в тесной связи рассматривать арифметические, геометрические и алгебраические факты; достаточно простой язык позволяет использовать его в школьных курсах математики. Видимо, поэтому геометрический язык все больше места занимает в школьных учебниках математики начальных классов, все чаще можно услышать рассуждение учащихся с логическим клише: «если к равным

прибавить равные, то и получатся равные».

 

После Евклида многие известные математики (Архимед, Герон, Л. Эйлер и др.) пытались определить понятие величины, выделяя те или иные видовые отличия величины.

 

Обобщением различных попыток определить понятие величины является система аксиом замечательного российского ученого, академика А.Н. Колмогорова (1903–1987), которую он опубликовал в Большой советской энциклопедии в 1951 г. В этой аксиоматике первоначальное понятие «величина» является обобщением понятий длины, площади, массы и т.п. Каждый род величины связан с определенным способом сравнения физических тел и других объектов. В пределах каждой из рассматриваемых систем однородных величин отношение a < b и операция a + b = c обладают следующими свойствами.

· Каковы бы ни были a и b, имеет место одно и только одно из трех соотношений:

· a = b, или a < b, или b < a.

· Если a < b и b < c, то a < c (транзитивность отношения меньше).

· Для любых величин a и b существует однозначно определенная величина

· c = a + b.

· a + b = b + a (коммуникативность сложения).

· (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения).

· a + b > a (монотонность сложения).

· Если a > b, то существует одна и только одна величина c, для которой b + c = a.

· Каковы бы ни были величина a и натуральное число n, существует величина b, что nb = a (возможность деления).

· Каковы бы ни были величины a и b, существует натуральное число n, такое, что a <nb. Это свойство называют аксиомой Евдокса, или аксиомой Архимеда.

· Если последовательность величин a1 < a2 <... < b2 < b1 обладает тем свойством, что bn – an< c для любой величины c при достаточно большом номере n, то существует единственная величина x, которая больше всех ai и меньше всех bi. Это свойство называют аксиомой Г. Кантора.