Однофакторный дисперсионный анализ

 

Цель работы: научиться выявлять влияние отдельного фактора на параметр оптимизации.

Задачи:

1. Получить задание, включающее серию выборок с разными значениями фактора на параметры технологического процесса.

2. Рассчитать общую, внутригрупповую и межгрупповую сумму квадратов и соответствующие им дисперсии.

3. Провести проверку гипотезы об отсутствии влияния фактора с помощью критерия Фишера.

4. Сделать вывод о влиянии фактора (или об отсутствии такового).

 

Краткие теоретические сведения

    Задачей однофакторного дисперсионного анализа является выявление влияния фактора на параметр y. Достоинством метода является то, что фактор не обязательно должен иметь числовые уровни варьирования — уровни могут быть словесными, относительными или носить номинальный характер. Метод основан на том, что общая сумма квадратов отклоненийпредставляет собой сумму межгрупповой и внутригрупповой суммы квадратов.

    Нуль-гипотеза заключается в том, что математические ожидания всех групп не отличаются друг от друга, т. е. фактор не влияет на значения x, а весь разброс данных объясняется случайной ошибкой (или неучтёнными факторами). Проверка проводится по критерию Фишера.

Ход работы

    Работу целесообразно проводить с использованием электронных таблиц.

    Сначала рассчитывают средние арифметические для каждой выборки (для каждого уровня варьирования факторов) (Mj) и общее среднеарифметическое значение (M) для всех y. Затем определяют внутригрупповую сумму квадратов отклонений и соответствующую дисперсию:

 

где n_j — число значений x в группе j; m – число групп; N – общее количество опытов во всех группах.

    Затем определяют межгрупповую сумму квадратов отклонений

 

    Затем проверяют «нулевую» гипотезу, находя расчётное значение критерия Фишера:

    Его сравнивают стабличным для заданной доверительной вероятности (как правило, p=0,95, α=0,05) с числом степеней свободы числителя N—m и знаменателя m-1. В случае, если расчётное значение больше табличного, то делается вывод с выбранной доверительной вероятностью о значимости фактора. В противном случае однозначный вывод сделать сложно, поэтому проводят проверку с другими значениями доверительной вероятности. Альтернативный вариант — с помощью компьютерных программ MS Excel или LibreOffice (OpenOffice) Calc определяют распределение Фишера для полученного Fp и тех же степеней свободы, получая при этом вероятность незначимости. Если это значение находится в пределах от 0,2 до 0,8, то о значимости фактора по имеющимся данным сделать вывод затруднительно; необходимы дополнительные данные.

В MSExcel используются следующие функции для определения параметров распределения Фишера:

FРАСП(x;ст.св. числ, ст.св.знам.) – возвращает вероятность нуль-гипотезы;

FРАСП(вероятность н.г.;ст.св. числ, ст.св.знам.) – возвращает табличное значение критерия Фишера

Содержание отчёта

    Общие требования к содержанию отчёта приведены в рамках практической работы № 1. В данной работе в разделе «ход работы» необходимо представить расчёт внутригрупповых и межгрупповых сумм квадратов отклонений, а также дисперсий, расчёт критерия Фишера, привести табличноеего значение или непосредственно вероятность принятия (или опровержения) нуль-гипотезы. В качестве вывода следует указатьналичие, отсутствие или незначимость (малую значимость) влияния фактора на параметр оптимизации.

 

Вопросы для самоконтроля

1. В чём состоит задача дисперсионного анализа?

2. Чем отличаются однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ?

3. Укажите достоинства и недостаткииспользования дисперсионного анализа для оценки значимости влияния факторов на параметр оптимизации по сравнению с другими методами, позволяющими выполнить эту задачу.

4. Какие требования предъявляются (не предъявляются) к значениям факторов в дисперсионном анализе?

5. Что такое критерий Фишера? Для чего его используют в дисперсионном анализе?

Задание для работы

Задание для работы приведено в таблице 3.1.

 

Таблица 3.1 – Задание для работы.

Вариант	Параметр оптимизации	Фактор	Значения параметра оптимизации для уровней фактора: (уровни выделены жирным)
1	Степень обезвоживания, %	Форма ёмкости	Цилиндр	Усечённый конус (сужение вниз)	Усечённый конус (сужение вверх)

Полусфера