Математические задачи и головоломки. Для школьников младших и старших классов

Владимир Павловец

Математические задачи и головоломки. Для школьников младших и старших классов

 

 

ISBN 9785449035721

Аннотация

 

В любой работе, в том числе, и в творческой деятельности, каждому человеку нужны некоторые знания, сообразительность и находчивость. Там, где родители обеспокоены этим, они заполняют досуг своих детей полезными и интересными задачками и материалами. В брошюре представлены задачи по математике, шутки и головоломки, которые требуют определённого ума и рассуждений. На все задачки имеются ответы, но, смотреть в них не спешите. Для школьников младших и старших классов.

 

Математические задачи и головоломки

Для школьников младших и старших классов

Владимир Павловец

 

© Владимир Павловец, 2018

 

ISBN 978-5-4490-3572-1

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

 

Задачи

 

1. Нужно сосчитать!

Посмотрите внимательно на представленную геометрическую фигуру. Как Вы думаете, сколько треугольников в данной фигуре?

 

 

За три хода.

Разделите спички на 3 кучки – в одну 11, другую – 7 и в третью – 6 спичек. А сейчас нужно переложить спички из любой одной кучки в любую другую, так, чтобы спичек в каждой кучке было поровну, то есть, по 8 штук.

Но, нужно соблюсти условие: в кучку можно добавлять столько спичек, сколько в ней имеется. И сделать это нужно за 3 хода.

Примечание: Вместо спичек могут быть использованы другие предметы.

 

Дробим на части.

У нас есть число 45. Нужно раздробить его на четыре части так, что если к первой части прибавить 2, от второй отнять 2, третью умножить на 2, а четвертую разделить на 2, то все числа будут одинаковыми.

 

Попробуйте отвесить.

В пакете содержится 9 кг крупы. Необходимо при помощи чашечных весов с гирями в 50 и 200 граммов развесить всю крупу в два пакета: в один – 2 кг, в другой – 7 кг. Разрешается это сделать только 3-мя взвешиваниями.

 

Скоростное сложение.

Напишите одно под другим какие-нибудь 2 числа любой величины. Я припишу третье и мгновенно, слева направо напишу сумму всех трех чисел.

Например, вы написали:

72603294

51273081

Я припишу число: 48726918 и сразу назову вам сумму.

Сообразите! Какое число следует приписывать и как в этом случае быстро находить сумму?

 

Сколько их?

У мальчика столько же сестер, сколько и братьев, а у его сестры – сестер вдвое меньше, чем братьев.

Сколько в этой семье братьев и сколько сестер?

 

Лестница.

В доме 6 этажей. Подсчитайте, во сколько раз путь по лестнице на шестой этаж длиннее, чем путь по той же лестнице на третий этаж, если пролеты между этажами имеют по одинаковому числу ступенек?

 

Попробуйте угадать.

Половина – треть его. Попробуйте угадать, какое это число?

 

Сколько мне лет?

Когда моему отцу был 31 год, мне было 8 лет, а теперь отец старше меня вдвое. Сколько мне лет теперь?

 

От 1 до 19.

В девятнадцати кружках требуется расставить все целые числа от 1 до 19 так, чтобы сумма чисел в любых трех кружках, лежащих на одной прямой, равнялась 30.

 

 

Головоломка

Какой знак надо поставить между написанными рядом цифрами 2 и 3, чтобы получилось число, большее двух, но меньшее трех?

 

Пять минут на размышления.

Представьте себе деревянный куб со сторонами 30 см, вся поверхность которого окрашена в один красный цвет.

1). Сколько потребуется разрезов, чтобы разделить куб на кубики со стороной 10 см?

2). Сколько получится таких кубиков?

3). Сколько кубиков будут иметь по 4 окрашенные грани?

4). Сколько кубиков будут иметь по 3 окрашенные грани?

5). Сколько кубиков будут иметь по 2 окрашенные грани?

6). Сколько кубиков будут иметь по 1 окрашенной грани?

7). Сколько кубиков будет не окрашенными?

 

13. Прогноз погоды (шутка).

Если в 12 часов ночи идет дождь, то можно ли ожидать, что через 72 часа будет солнечная погода?

 

Трехзначное число.

Если от задуманного мной трехзначного числа отнять 7, то оно разделится на 7, а если отнять от него 8, то оно разделится на 8, если отнять от него 9, то оно разделиться на 9. Какое число я задумал?

 

Сколько Вам лет?

– Не хотите сказать? Тогда скажите, сколько получится, если от числа, в 10 раз большего, чем число ваших лет, вычесть произведение какого-нибудь однозначного числа умноженного на 9. Благодарю вас, теперь мне известно, сколько вам лет.

Способ отгадывания: отделить от объявленного результата число единиц и сложить его с оставшимся числом. Например: от числа 170, которое в 10 раз больше число лет, отняли, скажем, 27. после этого объявили результат: 143. Определяем возраст: 14+3=17. Продумайте основу фокуса.

 

Угадать возраст.

Для разнообразия можно предложить умножить число лет на 2, прибавить 5, а сумму опять умножить на 5; попросить сказать результат. Последней цифрой результата, очевидно, будет 5. надо ее отбросить, а от оставшегося числа отнять 2. Разность и будет искомым возрастом. Пример: Пусть возраст 22 года. Производим требуемые действия: 22*2=44, 44+5=49, 49*5=245. Угадываем возраст: 24—2=22.

Необходимо доказать вариант угадывания возраста.

 

Сколько деталей?

В токарном цехе завода вытачиваются детали из свинцовых заготовок. Из одной заготовки – деталь. Стружки, получившиеся при выделке шести деталей, можно переплавить и приготовить еще одну заготовку.

Сколько деталей можно сделать, таким образом, из 36 свинцовых заготовок?

 

Спящий пассажир.

Когда пассажир проехал половину всего пути, то лег спать и спал до тех пор, пока не осталось ехать половину того пути, что он проехал спящим.

Какую часть пути пассажир проехал спящим?

 

Может ли быть такое число?

Может ли быть такое число, которое при делении на 3 дает в остатке 1, при делении на 4 – в остатке 2, при делении на 5 – в остатке 3 и при делении на 6 дает в остатке 4? Какое это число?

 

Вечный» календарь.

Все «вечные» календари сводятся в основном к трем типам: табличные, механические и аналитические. Наибольший интерес для обыденной жизни представляют аналитические календари. Это, как правило, математическая формула, представляя в которую известные числа и производя несложные математические вычисления, можно определить день недели в любую дату, как в прошлом, так и в будущем. Из всего многообразия формул приведем одну (для нового стиля; кроме того, следует учесть, что годы 1700, 1800 и 1900 не високосные):

 

 

где А – календарное число месяца, Б – месячный коэффициент, В – номер года, Г – число столетий. Месячный коэффициент Б находится по таблице: январь – 6 (для високосных лет – 5), февраль – 2 (для високосных лет – 1), март – 2, апрель – 5, май – 7, июнь – 3, июль – 5, август – 1, сентябрь – 4, октябрь – 6, ноябрь – 2 и декабрь – 4.

В приведенной формуле символ () означает, что нужно взять только целую часть частного. По формуле вычисляем число Д. Если теперь разделить Д на 7, то остаток укажет день недели (1 – понедельник, 2 – вторник, 3 – среда и т.д.). Если Д делится на 7 без остатка, то это будет соответствовать воскресенью.

Вычислим день недели 22 июня 1941 г. А =22, Б =3, В =1941, (В/4) =485, Г =19, (Г/4) =4. После подстановки этих чисел в формулу получим Д = 2436. Это число на 7 делится без остатка. 22 июня 1941 года было, как известно, воскресенье.

 

Мальчики и яблоки.

Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый из мальчиков дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет; и третий мальчик также дает каждому из двух других столько яблок, сколько имеется у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок.

Сколько яблок было вначале у каждого мальчика?

 

Сколько у кого денег?

Двое крестьян поделили между собой 7 рублей, причем один получил на 3 рубля больше другого.

Сколько денег досталось каждому из них?

 

Они любят есть вместе.

Лошадь съедает стог сена за 2 дня, корова – за 3, овца – за 6. За сколько дней они съедят стог, если будут есть его, вместе?

 

Превратить 14 в пять.

Из спичек (счетных палочек) выложена цифра 14. Как превратить ее в цифру 5, переложив только одну спичку (счетную палочку)?

 

 

Сколько раз?

Сколько раз можно прочитать слово «ОРХИДЕЯ» в представленной фигуре?

 

 

Исправить ошибку.

Берем 12 спичек (палочек) и выкладываем из них «равенство», как показано на рисунке.

Как видите, «равенство» 6—4 не может равняться 9.

Как переложить одну спичку так, чтобы получилось правильное равенство? Задача решается несколькими способами.

 

 

Хитроумная головоломка.

Из 6 спичек выложите дробь, как показано на рис. Не касаясь других спичек, нужно передвинуть только одну так, чтобы получилась арифметическая дробь равная 1. Спичку, изображающую горизонтальную черту дроби, двигать нельзя.

 

 

Жук.

На рисунке изображен «жук» из 10 спичек (счетных палочек). Необходимо изменить направление движения жука, переложив всего три спички (счетные палочки).

 

 

Сложить метр.

Каждая из имеющихся 13 спичек имеет длину 4,5 см. Как из них сложить метр?

 

Превратить дробь.

На рисунке из семи спичек выложено число 1/7. Переложив всего одну спичку нужно превратить эту дробь в число 1/3. Попробуйте!

 

 

Сколько стоит книга?

За книгу заплатили 1 рубль и еще половину стоимости книги. Сколько стоит книга?

 

Шутка.

Приготовьте 8 квадратов с числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 и расположите их в два столбца, как показано на рисунке. Необходимо переместить всего два квадрата и добиться того, чтобы сумма чисел в обоих столбцах была одинаковой.

 

 

Три в ряд.

Расположите на столе 9 шашек в форме квадрата по 3 шашки на каждой стороне и одну в центре. Если вдоль какой-нибудь прямой линии располагаются две шашки или более, то такое расположение мы будем называть «рядом». Так, АВ и СD ряды, в каждом из которых по 3 шашки в каждом, а ЕF – ряд содержащий две шашки.

 

 

Необходимо определить, сколько на рисунке всего рядов по 3 шашки в каждом и сколько таких рядов, в каждом из которых только по 2 шашки.

А теперь необходимо убрать 3 любые шашки, а оставшиеся 6 расположить в 3 ряда так, чтобы в каждом ряду было по 3 шашки.

 

Десять рядов.

Нетрудно догадаться, как расположить 16 шашек в 10 рядов по 4 шашки в каждом ряду. Гораздо труднее расположить 9 шашек в 10 рядов так, чтобы в каждом ряду было по три шашки.

Попробуйте решить обе задачи.

 

Из «кувшина» – квадрат.

Перерисуйте на лист бумаги фигуру, имеющую форму кувшина, и разрежьте ее двумя прямолинейными разрезами на такие 3 части, из которых можно было бы сложить квадрат.

 

 

Красивое превращение.

Перерисуйте на тонкий картон или плотную бумагу изображенный на рисунке правильный восьмиугольник и в центре вырежьте отверстие тоже в форме правильного восьмиугольника. Образовавшуюся фигуру требуется разрезать на 8 равных частей и, перекладывая их составить восьмиконечную звезду, которая бы также имела восьмиугольное отверстие.

 

 

Найти центр окружности.

Как найти центр начерченной окружности (см. рис.) при помощи одного только чертежного треугольника без делений и карандаша (карандаш разрешается применять только для того, чтобы проводить необходимые линии).

 

 

Кристалл.

На рисунке показана «кристаллическая решетка». Необходимо в кружки этой решетки подобрать и вписать 13 целых чисел, из них 11 различных и 2 одинаковых так, чтобы сумма чисел в каждом ряду (вдоль указанных на рисунке линий) равнялась 20.

 

 

Наименьшее из искомых чисел равно 1, а наибольшее – 15.

 

Орнамент.

Перед вами своеобразный орнамент, состоящий из 16 маленьких треугольников. Некоторые группы из соседних четырех маленьких треугольников образуют большие треугольники.

На рисунке нетрудно заметить шесть больших треугольников, «вплетенных» один в другой.

 

 

Впишите в каждый маленький треугольник орнамента одно из целых чисел от 1 до 16 (не повторяя их), таким образом, чтобы сумма чисел в любом из шести больших треугольников составляла 34.

 

Звездочка.

1На рисунке расположена шестиконечная «звездочка». В кружки этой звездочки необходимо расставить цифры от 1 до 12 так, чтобы сумма чисел в четырех кружках каждого из шести лучей равнялась 26.

 

 

Сколько весит брусок мыла?

На одну чашку весов положен брусок мыла, на другую – 3/4 такого же бруска и еще 3/4 килограмма. Весы остановились в равновесии.

Сколько весит брусок мыла?

 

45. Три да две – восемь (шутка).

Положите на стол 3 спички и предложите кому-нибудь добавить к ним еще 2 так, чтобы получилось восемь. Ломать спички нельзя.

 

Как из трех сделать четыре?

Перед Вами на столе лежат 3 спички. Как сделать из них 4? Ломать и прибавлять спички нельзя.

 

Четырьмя прямыми.

На рисунке расположено 9 точек. Необходимо перечеркнуть их четырьмя прямыми линиями, не отрывая карандаш от бумаги.

 

 

Найти площадь луга.

Бригада косцов в первый день скосила половину луга и еще 2 га, а во второй день – 25% оставшейся части и последние 6 га. Определите площадь луга.

 

На равные части.

Зарисуйте фигуру (см. рис.) на 5 равных частей так, чтобы получилось 5 одинаковых квадратиков.

 

 

Как это может быть правдой?

Откуда взялось пустое место на рисунке, который ниже?

 

 

Перевоз через реку.

Человеку нужно было перевезти через реку волка, козу и капусту. В лодке можно перевезти только кого-то одного. Если начать перевоз с волка, то коза съест капусту. Если перевозить сначала капусту, то волк съест козу. В присутствии человека «никто никого не ел». Поразмыслив, человек всё-таки перевёз свой багаж на другой берег. Как он это сделал?

 

 

Расставьте стулья.

Попробуйте в квадратной комнате поставить вдоль стен 10 стульев так, чтобы у каждой стены стояло стульев поровну.

Решение задач

Ответ на задачу №1. Нужно сосчитать!

35 треугольников.

Ответ на задачу №29. «Жук.»

 

 

Ответ на задачу №30. Сложить метр (шутка).

 

 

Ответ на задачу №34. Шутка.

Поменять местами квадраты с числами 8 и 9, при этом 9 перевернуть, как 6. Тогда в каждом столбике будет по 18.

 

Владимир Павловец

Математические задачи и головоломки. Для школьников младших и старших классов

 

 

ISBN 9785449035721

Аннотация

 

В любой работе, в том числе, и в творческой деятельности, каждому человеку нужны некоторые знания, сообразительность и находчивость. Там, где родители обеспокоены этим, они заполняют досуг своих детей полезными и интересными задачками и материалами. В брошюре представлены задачи по математике, шутки и головоломки, которые требуют определённого ума и рассуждений. На все задачки имеются ответы, но, смотреть в них не спешите. Для школьников младших и старших классов.