Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Методы упрощения задач в прикладной газовой динамике
Математическое описание движения жидкой среды общими дифференциальными уравнениями, учитывающими все физические свойства, присущие этой среде, является сложной, а в большинстве случаев и неразрешимой задачей. Для прикладной газовой динамики характерным является использование упрощенных моделей жидкости и их движений, позволяющих получить результаты, удовлетворяющие по точности практику. К числу «методов упрощения» задач газовой динамики можно отнеси следующие: 1) Формулировка задачи в рамках установившегося движения. Несмотря на то, что в природе и технике практически всякое течение жидкости является, строго говоря, неустановившимся (нестационарным), во многих случаях отклонение скорости от некоторого среднего значения по времени бывает достаточно малым по сравнению с величиной скорости, и это дает основание приближенно считать движение установившимся («квазистационарным»). 2) Переход от пространственного к двумерному или одномерному течению. Одномерные задачи при установившемся течении жидкости составляют предмет рассмотрения отдельного раздела газовой динамики – газовой динамики элементарной струйки, который иногда ещё называют газовой гидравликой. 3) Выбор наиболее простой модели жидкости – идеальной жидкости. Моделью идеальной жидкости пользуются в расчетах, выполняемых в первом приближении, когда явлениями трения пренебрегают, а также при расчетах тех областей течения, которые расположены на значительном расстоянии от обтекаемой поверхности (стенок канала), т.е. там, где влияние трения незначительно. 4) Переход от сжимаемой к несжимаемой жидкости. Существуют методы, позволяющие пересчитывать данные, полученные для течения несжимаемой жидкости, на случай движения сжимаемой жидкости. При таком подходе расчет течения несжимаемой жидкости является первым этапом решения задачи, а учет сжимаемости – вторым. 5) Использование модели баротропной жидкости, у которой плотность является функцией только давления, в отличие от бароклинной жидкости, плотность которой зависит и от давления и от температуры. Если при расчете течения жидкости известен термодинамический процесс, т.е. давление и плотность связаны однозначной зависимостью, например уравнением политропного процесса p/ρn=Const, то жидкость в этом случае подходит под понятие баротропной жидкости.
Скорость звука Скорость звука – скорость распространения в упругой среде малых возмущений. Малыми или слабыми принято называть такие возмущения среды, в которых местное изменение давления среды в точке возмущения, т.е. амплитуда давления, пренебрежимо мало по сравнению с общим давлением. Понятие скорости звука является одним из важнейших в теории течения сжимаемой жидкости. Рассмотрим процесс распространения малого (слабого) возмущения в сжимаемой среде. Пусть неподвижная сжимаемая жидкость с заданными параметрами r, p, T находится в длинной трубе постоянного по длине сечения, ограниченной слева поршнем (см. рис.21). В некоторый момент времени поршень начинает двигаться слева направо с постоянной скоростью W и «наталкивается» на неподвижную жидкость. «Слой» жидкости, непосредственно примыкающий к поршню, в результате движения поршня несколько уплотняется (сжимается) и давление в нем повышается – до величины p + dp; кроме того, жидкость в этом «слое» из состояния покоя приходит в движение со скоростью W. Далее сжимается и приходит в движение «слой» жидкости, примыкающий к «первому слою», и т.д. Можно представить себе движущуюся в жидкости «слабую волну сжатия», подобную той, которая возникает при трогании с места длинного железнодорожного состава – вагоны не одновременно, а последовательно (поочерёдно) приходят в движение благодаря упругости сцепки. Другим примером может служить картина падающих костяшек домино, выстроенных в длинный ряд.
Таким образом, в жидкости распространяется слабая волна сжатия, фронт которой можно представить в виде перемещающегося вдоль трубы (точнее - вдоль жидкости) сечения А-А, отделяющего сжатую – «возмущённую», область жидкости с параметрами p + dp, r + d r, T + dT (слева от сечения А-А)от невозмущённой области жидкости, т.е. области, куда возмущения ещё не проникли (справа от сечения А-А). Если перемещение сечения А-А за время dt обозначить dx, то скорость распространения фронта слабой волны в этом случае может быть выражена как dx / dt. Скорость движения фронта слабой волны относительно жидкости называют скоростью звука и обозначают обычно а. «Относительность» особенно важно иметь в виду, поскольку жидкость в общем случае в момент возникновения в ней возмущения не обязательно должна находиться в состоянии покоя, а может изначально двигаться с некоторой скоростью.
За время dt фронт волны – сечение А-А, переместится на расстояние dx = a × dt и при этом будет сжат «новый слой» жидкости, т.е. произойдет уплотнение жидкости - увеличение плотности распределения массы в элементарном объёме dV = F × dx = F × a × dt, заключённом между начальным и конечным в указанный промежуток времени положениями сечения А-А. Поскольку в рассматриваемом элементарном объёме dV нет источников и стоков, то приращение массы жидкости в этом объёме может происходить только за счет притока в него за время dt некоторого количества жидкости из «возмущённой» области со скоростью W. Очевидно, что из уравнения неразрывности для рассматриваемого случая: dV × d r = (r + d r) × F × W × dt или F × a × dt × d r = (r + d r) × F × W × dt, где F – площадь поперечного сечения трубы, dV × d r - изменение массы жидкости в элементарном объёме dV; (r + d r) × F × W × dt – масса жидкости, притекающая в элементарный объём dV за время dt; с точностью до малых величин первого порядка (пренебрегая бесконечно малой величиной второго порядка F × W × d r × dt) можно получить следующее соотношение: a × d r = r W. (1) Применим к рассматриваемому элементарному объёму dV закон о сохранении количества движения, не учитывая при этом действия сил трения в жидкости (допустим, что жидкость идеальная). Изменение количества движения элементарного объёма d (mW) (здесь m – масса элементарного объёма) должно быть равно импульсу внешних сил, приложенных к этому объёму. В рассматриваемом случае в качестве внешних сил выступает только поверхностная сила, обусловленная разностью (градиентом) давления в звуковой волне dp. Заменяя массу произведением плотности на объём, и учитывая, что скорость движения рассматриваемого объёма в начальный момент времени (до прохождения через него фронта волны) была равна нулю, получим уравнение движения (уравнение количества движения) для рассматриваемого элементарного объёма: (r + d r) × F × a × W × dt = F × dp × dt, где слева стоит приращение количества движения элемента, а справа – импульс сил, действующих на элемент за время dt. Из уравнения движения, рассуждая аналогично предыдущему (пренебрегая бесконечно малой величиной второго порядка F × a × W × d r × dt), получим ещё одно соотношение a r W = dp. (2) Исключив из полученных соотношений (1) и (2) скорость W, получим уравнение для определения скорости звука: . (3) Для того чтобы воспользоваться уравнением (3) нужно знать, как происходит процесс распространения звуковых волн, т.е. для каких условий следует вычислять производную dp / d r. Одним из первых, кто практически решил эту задачу, был Исаак Ньютон. Он вычислил скорость звука в воздухе при атмосферном давлении и комнатной температуре (при этих параметрах воздух с хорошим приближением можно рассматривать как совершенный газ, для которого справедливо уравнение состояния p = r RT). Ньютон считал, что процесс распространения звука в воздухе происходит в изотермических условиях и производную надо брать при постоянной температуре, т.е. при условии T = const. Воспользовавшись уравнением Бойля-Мариотта для изотермического процесса в совершенном газе pv = const или p = r × const, для производной получим
, а для скорости звука . (4) Однако при прямых измерениях скорости звука в воздухе было получено значение а примерно на 20% превосходящее величину, вычисленную Ньютоном. Причина этих расхождений была установлена Лапласом, который отметил, что поскольку звуковые колебания (волны) в упругой среде (воздухе) распространяются очень быстро, то можно предположить, что сколь-нибудь заметного теплообмена между зонами разряжения и сжатия звуковой волны и окружающей средой при этом не успевает произойти (что, кстати, хорошо подтверждается опытом). Поэтому, процесс распространения звуковой волны можно считать адиабатным и изоэнтропийным и производную в (3) нужно брать при постоянной энтропии, т.е. при условии S = const. Уравнение Лапласа для скорости звука
. (5) В случае изоэнтропийного процесса плотность и давление будут связаны уравнением изоэнтропы p / r k = const. Тогда dp = k × r k - 1 × d r × const и dp / d r = k × r k - 1 × const, определяя постоянную из уравнения изоэнтропы, для производной (¶ p / ¶ r) S получим , (6) а для скорости звука . (7) Для совершенного газа, имея в виду, что p / r = RT, может быть установлена однозначная связь скорости звука с абсолютной температурой газа . (8) Из соотношения (8) видно что, чем выше температура газа, тем больше скорость распространения звуковых волн в нём. Кроме того, скорость звука зависит от физических свойств газа (k и R). Этот вывод находится в полном соответствии с газокинетическими представлениями о процессе распространения малых возмущений в среде, состоящей из движущихся молекул. Скорость распространения возмущений должна зависеть от скорости движения молекул, которая, в свою очередь, определяется температурой. Известно, что скорость движения молекул газа (средняя скорость) близка к скорости звука. В этой связи необходимо подчеркнуть, что квадрат числа Маха M 2 = W 2 / a 2 определяет соотношение в потоке средней кинетической энергии направленного движения газа как целого и средней кинетической энергии беспорядочного движения молекул, т.е. частиц, составляющих это целое.
Следует иметь в виду, что формула (7), как и уравнение Лапласа (5) справедливы и для газов и для капельных жидкостей и для твердых упругих тел, в то время как формула (8) имеет отношение только к совершенному газу. В несжимаемых средах r = const, d r = 0 и a = ¥, т.е. звуковые волны распространяются мгновенно.
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-12-09; просмотров: 172; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.19.239.194 (0.015 с.) |