Предмет и объект газовой динамики

 

Предметом изучения газовой динамики являются движениягазов в связи с их взаимодействием с другими телами (обычно твердыми телами) и между самими газами при скоростях существенно меньших скорости света, т.е. когда справедливы законы классической механики Ньютона и отсутствуют релятивистские эффекты.

Объектом газовой динамики является газ, а в более широком обобщенном понятии – жидкость, т.е. легкоподвижная или текучая субстанция способная непрерывно и сколь угодно сильно деформироваться под действием сколь угодно малого касательного напряжения. Кроме того, используемая в газовой динамике модель жидкости обладает свойством сжимаемости.

Газовая динамика изучает движение газов при существенном изменении их плотности. Основная особенность газодинамических процессов – неразрывная связь одновременно протекающих механического процессадвижения газа (главным образом его ускорения или торможения) и термодинамического процесса его сжатия или расширения.

Плотность газа существенно изменяется при движении газа с большими скоростями (как показывают теория и опыт, при числах Маха более 0.3), а также при подводе к газу или отводе от него механической работы или тепла, т.е. при энергетическом обмене с внешней средой.

В учебном курсе по дисциплине «Газовая динамика» традиционно рассматриваются также некоторые вопросы, связанные с движением несжимаемой жидкости (газа) и составляющие основу ставших уже классическими «Аэродинамики», «Гидромеханики» или «Механики жидкости и газа».

Обобщенное понятие жидкости

 

Газовая динамика является одной из ветвей механики жидкости, в ней широко используются многие фундаментальные понятия последней, к числу которых относится и обобщенное понятие жидкости.

Жидкость (модель жидкости) в обобщенном понятии механики жидкости и газа – это абстрактная гипотетически сплошная, легкоподвижная среда, наделяемая дополнительными свойствами, необходимыми для решения той или иной конкретной задачи с приемлемой для практического использования точностью. 

Жидкостями называют субстанции, обладающие легкоподвижностью или текучестью, т.е. способностью непрерывно и сколь угодно сильно деформироваться под действием сколь угодно малого касательного напряжения. Этим свойством в равной степени обладают и капельные жидкости и газы.

Другим гипотетическим свойством, приписываемым как капельным жидкостям, так и газам (точнее, их моделям) является непрерывность или сплошность. Согласно гипотезе сплошности, при изучении направленного движения и силового взаимодействия жидкости с твердыми телами, жидкость можно рассматривать как сплошную среду - континуум (постулат Даламбера-Эйлера).

В действительности все тела (и газообразные и капельной жидкости) состоят из отдельных частиц, но их столь много в любом существенном для нас объеме, что тело можно приближенно рассматривать как среду, заполняющую пространство непрерывно – сплошным образом. Таким образом, реальные дискретные объекты заменяются упрощенными моделями материального континуума, т.е. абстрактной материальной средой, лишенной молекул и межмолекулярных пространств, масса которой непрерывно распределена по объёму.

В зависимости от того, какими свойствами наделяется жидкость или, наоборот, каких свойств она лишена, принято различать вязкую и идеальную жидкости, сжимаемую и несжимаемую жидкости. Причем, вязкая или идеальная жидкости могут быть как сжимаемыми, так и несжимаемыми. Если вес жидкости не играет существенной роли в рассматриваемом процессе, то можно говорить о модели невесомой жидкости. В большинстве задач прикладной газовой динамики сегодня используется модель вязкой сжимаемой невесомой жидкости.

Гипотеза сплошной среды

 

Для того чтобы стало возможным теоретическое исследование направленного движения жидкости с использованием математического аппарата исчисления бесконечно малых (дифференциального исчисления) и теории непрерывных функций (интегрального исчисления), необходимо выполнить определенную идеализацию жидкости и абстрагироваться от её дискретного молекулярного строения.

Все тела (в том числе и газообразные и капельной жидкости) состоят из отдельных элементарных частиц. Причём объёмы, занимаемые телами, значительно больше объёмов, в которых сосредоточено само вещество. По существу, все тела «состоят из пустоты», но в то же время в любом существенном для практических задач малом объёме пространства, занятого телом, заключено достаточно большое число частиц. Как правило, размеры рассматриваемых объёмов жидкости и твердых тел, обтекаемых этой жидкостью, оказываются несопоставимо бόльшими по сравнению с размерами молекул и межмолекулярными расстояниями. Указанные обстоятельства дают основание приближенно рассматривать жидкость как материальную среду, заполняющую пространство непрерывно – сплошным образом, и ввести гипотезу сплошной среды, на основании которой реальные дискретные объекты заменяются упрощенными моделями материального континуума. Эти умозрительные выводы сформулированы в постулате Даламбера – Эйлера, утверждающем, что при изучении направленного движения жидкостей и сил взаимодействия их с твердыми телами, жидкости можно рассматривать как сплошную среду - континуум, лишенную молекул и межмолекулярных пространств.

Принимая гипотезу сплошности мы тем самым предполагаем макроскопическое поведение жидкостей одинаковым, как если бы их структура была идеально непрерывной, а физические величины, например масса и количество движения, связанные с тем веществом, которое содержится внутри рассматриваемого объёма, считаем равномерно распределённым по этому объёму, отвлекаясь от того, что в действительности они концентрируются в его малых частях.

Гипотеза сплошной среды (или гипотеза сплошности) – первый шаг на пути формирования моделей жидкости, рассматриваемых в различных разделах механики жидкости и газа и, в том числе, в газовой динамике. Такая идеализация существенно упрощает реальную дискретную среду и позволяет, в частности, при исследовании движения жидкости использовать хорошо разработанный математический аппарат исчисления бесконечно малых (дифференциального и интегрального исчислений) и теорию непрерывных функций.  

Гипотеза сплошной среды даёт возможность придать определенный смысл понятию «значение в точке», применяемому к различным параметрам жидкости, например плотности, скорости, температуре, и вообще считать эти величины непрерывными функциями координат и времени. На этом основании можно составить уравнения, описывающие движение жидкости (уравнения движения), форма которых не зависит от микроскопической структуры частиц этой жидкости. В этом смысле движения жидкостей и газов изучаются одинаково – уравнения не зависят от того, существует ли какая-либо структура частиц. Аналогичная гипотеза вводится в механике деформируемых твердых тел, и потому эти два предмета вместе часто называют механикой сплошных сред.

Несмотря на естественность гипотезы сплошной среды, определение свойств этой гипотетически непрерывной среды, которая движется таким же образом, как и реальная жидкость с данной структурой частиц, оказывается трудным делом. Используя методы кинетической теории газов, с помощью упрощающих предположений о столкновении молекул можно показать, что уравнения, определяющие локальную скорость газа, имеют такой же вид, как и в случае движения некоторой непрерывной жидкости (хотя значения коэффициентов молекулярного переноса определяются не строго). Математическое обоснование рассмотрения движения газов как движения сплошной среды обычно выходит за рамки традиционных курсов механики жидкости и газа и, тем более, прикладной гидро- или газодинамики. Более того, это обоснование неполно для капельных жидкостей и поэтому принято ограничиваться введением такой гипотезы.

Критерием приемлемости всякой физической гипотезы является степень совпадения результатов, полученных на её основе, с результатами наблюдений и измерений. Для капельных жидкостей и газов правомерность использования гипотезы сплошной среды в широком диапазоне изменения параметров полностью подтверждается. Обширные экспериментальные данные свидетельствуют о том, что обычные реальные жидкости в нормальных условиях, а зачастую и при значительных отклонениях от них, движутся так, как если бы они были непрерывны.

Количественные пределы применимости законов газовой динамики, основанной на модели сплошной среды, определяются величиной критерия Кнудсена.

Континуум

 

Континуум (от лат. continuum – непрерывное, сплошное) – абстрактная материальная среда, лишенная молекул и межмолекулярных пространств, масса которой непрерывно распределена по объему.

Реально существующее хаотическое движение молекул в газах и капельных жидкостях отражается в величинах макроскопических параметров – плотности ρ, скорости W, давления p и температуры T, которые для континуума являются функциями точек пространства. Таким образом, модель континуума подразумевает, что все параметры, характеризующие термодинамическое состояние движущейся среды, непрерывно изменяются по всему объёму, занятому средой, за исключением отдельных точек, линий или поверхностей, где могут существовать разрывы. 

 

 

Постулат Даламбера – Эйлера

 

При теоретическом исследовании направленного движения жидкости необходимо решить один принципиальных вопрос: каким образом применить для анализа движения жидкости, имеющей дискретное молекулярное строение, математический аппарат исследования непрерывных функций.

Ответ на этот вопрос дает постулат Даламбера – Эйлера, утверждающий, что при изучении направленного движения жидкостей и сил взаимодействия их с твердыми телами, жидкости можно рассматривать как сплошную среду - континуум, лишенную молекул и межмолекулярных пространств.

Как и любой другой постулат или аксиома, постулат Даламбера – Эйлера представляет собой по сути умозрительное положение, принятое без какого-либо формального доказательства, и является отправной точкой в построении теоретической базы механики сплошных сред и механики жидкости и газа, в частности.

Критерий Кнудсена

Все законы газовой динамики, основанной на модели сплошной среды, справедливы до тех пор, пока справедлив постулат Даламбера – Эйлера или, другими словами, пока правомерно использование для описания движения реального газа модели континуума.

Количественные пределы применимости законов газовой динамики, основанной на модели сплошной среды, определяются величиной критерия Кнудсена. Можно сказать, что критерий Кнудсена – это критерий приемлемости модели континуума.

Критерий Кнудсена представляет собой отношение длины свободного пробега молекул газа ℓ к характерному размеру течения L: Kn = ℓ / L.

Все течения газов в зависимости от величины критерия Кнудсена делятся на две принципиально отличные области:

1. Kn < 0.01 – течение континуума, т.е. область, в которой справедливы все законы газовой динамики сплошной среды. При обтекании твердых тел сплошной средой молекулы её прилипают к твёрдой поверхности («гипотеза прилипания» Прандтля) и поэтому скорость и температура жидкости на поверхности твердых тел всегда равна скорости и температуре этой поверхности.

2.   Kn > 0.01 – течение разряженных газов. В этой области различают три степени разряженности:

2.1. 0.01 < Kn < 0.1 – течение со скольжением. В этой области течения не сильно разряженных газов происходит скольжение газа по поверхности твердого тела с некоторой конечной скоростью, и температура газа отличается от температуры поверхности на конечную величину. При исследовании течения газов в этой области используют уравнения газовой динамики сплошной среды с внесением поправок на скачки скорости и температуры.

2.2. 0.1 < Kn < 10 – переходная область, наименее исследованная область течения разряженных газов.                

2.3. Kn > 10 – свободномолекулярное течение. Газ состоит из отдельных молекул не взаимодействующих практически между собой. С телами взаимодействуют отдельные молекулы и расчет этого взаимодействия производится методами статистической физики.

В области достаточно сильно разряженных газов, т.е. при Kn > 0.1, постулат о сплошности, понятие о плотности в точке и законы газовой динамики сплошной среды не применимы.

Изучение течений разряженных газов является предметом супергазодинамики (газовой динамики разряженных газов).

Модели жидкости

Под моделью жидкости в механике жидкости и газа понимают такую гипотетическую среду, в которой учтены только некоторые физические свойства реальной среды, существенные для определенного круга явлений и технических задач.

В основе всех моделей жидкости, рассматриваемых в различных разделах механики жидкости и газа, лежит модель материального континуума – гипотетической сплошной среды.

Введение гипотезы сплошности – только первый шаг на пути формирования модели жидкости. К сожалению, идеализацию среды во многих случаях не удается ограничить только допущением её сплошности. Из-за сложности изучаемых явлений приходится не учитывать и некоторые другие свойства реальных жидкостей. В зависимости от тех свойств, которые приписывают гипотетической сплошной среде, получают различные её модели: вязкую и идеальную жидкости, сжимаемую и несжимаемую жидкости и др. Очевидно, что и вязкая и идеальная жидкости могут быть как сжимаемыми, так и несжимаемыми.

Газы являются средами легко сжимаемыми. Но, это их свойство не проявляется сколь-нибудь существенно, если скорость движения сравнительно невелика. Поэтому для газов, движущихся с небольшими скоростями, зачастую приемлемой оказывается модель несжимаемой жидкости. Кроме того, как правило, при описании движения газов (особенно легких газов - воздуха, например) допустимо пренебрегать влиянием сил тяжести. В этом случае можно говорить о модели невесомой жидкости.

При скоростях, сопоставимых со скоростью звука в газе и, тем более, превышающих её, сжимаемость существенно влияет на характер газодинамических явлений и учитывать сжимаемость часто бывает более важно, чем даже учитывать вязкость.

Решение большинства прикладных задач газовой динамики сегодня осуществля­ется с использованием   модели вязкой сжимаемой невесомой жидкости.

    

Идеальная и вязкая жидкости

Все реальные жидкости (капельные жидкости и газы) обладают вязкость и поэтому их называют вязкими жидкостями. Термин «вязкая жидкость» не следует понимать так, что жидкость имеет большую вязкость, речь идет только о том, что она обладает вязкостью вообще как свойством оказыватьсопротивление изменению формы, т.е. относительному сдвигу частиц (деформации сдвига). Движение вязкой жидкости сопровождается внутренним трением, а напряженное состояние такой жидкости характеризуется наличием касательных напряжений.

Напротив идеальная жидкость абсолютно лишена названных выше свойств и при исследовании её движения нет необходимости учитывать силы внутреннего трения, поскольку в жидкости, лишенной вязкости, касательные напряжения равны нулю. Идеальная жидкость не оказывает изменению формы никакого внутреннего сопротивления.

Некоторые жидкости, особенно важные в практическом отношении, например воздух и вода, обладают относительно очень малой вязкостью. Течение таких маловязких жидкостей во многих случаях весьма хорошо совпадают с течением идеальной жидкости, так как силы внутреннего трения в них в общем и целом остаются очень малыми. 

Теория движения идеальной жидкости математически очень хорошо разработана, поскольку отсутствие вязкости весьма существенно упрощает уравнения движения.

И вязкая жидкость и идеальная могут быть сжимаемыми и несжимаемыми.