Представление гармонических токов и напряжений комплексными функциями времени и числами

 

    Ввиду указанной выше особенности установившегося гармонического режима для линейных электрических цепей, согласно которой любую реакцию такой цепи можно задать ее амплитудой и начальной фазой, широкое распространение получило представление гармонических сигналов комплексными числами.

    Согласно данному представлению любая реакция линейной электрической цепи, а также воздействие на нее, представляется так называемой комплексной амплитудой:

, [1],            (1.26)

под которой понимают такое комплексное число, модуль которого равен амплитуде колебаний тока или напряжения, а аргумент - начальной фазе.

    Форма записи комплексной амплитуды вида (1.26) получила название экспоненциальной. Помимо этого, ту же комплексную амплитуду можно представить еще в двух формах записи комплексных чисел: алгебраической и тригонометрической:

;

,                  (1.27)

где  и  - вещественные части,  и  - мнимые части комплексных величин  и .

    Обратный переход от действительной и мнимой частей к амплитуде и начальной фазе гармонического напряжения описывается соотношениями:

, (1.28)

    При этом возможны частные случаи:

              (1.29)

    Аналогично можно осуществить обратный переход и к амплитуде и начальной фазе гармонического тока.

    При отыскании аргумента комплексной амплитуды необходимо всегда иметь в виду, что его значение, как и значение начальной фазы, должно лежать в пределах от  до  рад.

    Комплексная амплитуда, как и любое комплексное число, может быть также представлена вектором на комплексной плоскости, длина которого равна амплитуде гармонического сигнала , а угол между вектором и осью действительных чисел – начальной фазе колебаний  (рис. 1.3). При этом действительная и мнимая части представляют собой проекции данного вектора на оси действительных и мнимых чисел.

Рис. 1.3 - Графическое изображение комплексной амплитуды

    Совокупность векторов, представленных на комплексной плоскости с соблюдением амплитудных и фазовых соотношений между ними, носит название векторной диаграммы. Для построения векторной диаграммы необходимо, прежде всего, выбрать масштаб в соответствии с амплитудами откладываемых векторов (масштаб выбирается отдельно для токов и напряжений). После чего отложить вектора в направлениях, соответствующих их начальным фазам (против часовой стрелки в случае положительной начальной фазы, и по часовой стрелке – в случае отрицательной начальной фазы) (рис. 1.4).

Рис. 1.4 - Пример построения векторной диаграммы

    Вектор, соответствующий сумме двух гармонических колебаний, может быть найден по правилу параллелограмма. Амплитуда и начальная фаза данного колебания могут быть либо измерены, согласно выбранному масштабу, либо рассчитаны по геометрическим формулам:

            (1.30)