Применение метода Джонсона для приостановленных испытаний

 

Рассмотрим данный метод на примере.

Пусть под наблюдением находятся 74 двигателя, на которых испытывается долговечность распределительных валов. В ходе наблюдений двигатели имели различную наработку. При этом часть валов износилась, а часть еще находилась в работоспособном состоянии и могла продолжать работу, однако по различным причинам испытания приостанавливались и производилась оценка надежности валов по результатам незавершенных испытаний.

Метод Джонсона дает возможность прогнозировать долговечность оставшихся работоспособных валов и определить показатели надежности всей выборки. Пусть с момента прекращения испытаний из 74 валов 36 имели недопустимые износы и были признаны исчерпавшимисвой ресурс, а 38 оставались работоспособными. 36 валов относятся к группе отказавших, а 38 — к группе приостановленных. Таким образом, приостановленными изделиями называется та часть наблюдаемых объектов, которая после приостановки незавершенных испытаний остается работоспособной. Предполагается, что каждое приостановленное изделие со временем откажет.

Обработка результатов испытаний производится следующим образом:

1. Составляется вариационный ряд раздельно из отказавших и приостановленных изделий в порядке нарастания наработки (табл. 10.1).

2. Определяется средний порядковый номер отказавшего изделия из наблюдаемой выборки, состоящей из изделий, с учетом приостановлений:

 m_i=m_i-1+ zn_i                                                   (10.1)

 

     где  — коэффициент приращения отказов в i-м интервале;       

   zn_i — число отказавших изделий в интервале

 

где K _i zn _i – порядковый номер приостановленного

изделия;

 

q_i — число приостановленных изделий в интервале 

3. Определяется оценка вероятности отказа при данной наработке (среднее значение накопленной частоты отказов (или статистическая вероятность отказа):

 

                                                                                            F ˆ(t _i ) m _i / N ₀1                                       (10.2)

 

 

4. Делается предположение о законе распределения и вычисленные значения. F ˆ(t _i )наносятся на вероятностную бумагу для этого закона.

5. Производятся подсчет показателей надежности и оценка правильности сделанного предположения.

 

Таблица 10.1

Параметры		Обозначение и формула для расчета	Номера интервалов наработки
			1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.
Значение середины интервала, тыс. км		ti	25	35	45	55	65	75	85	95
Число, отказов в интервале		zni	2	3	4	7	8	7	4	1
» приостановленных изделий в интервале		qi	2	2	-	4	11	13	5	1
		N0+1-mi-1	75	72,946	69,775	65,547	57,637	46,109	29,120	12,480
Порядковый номер приостановленного изделия		zn i )	4	9	13	24	43	63	72	74
		K i zn i	2	6	9	17	35	56	68	73
		N0+1-Ki	73	69	66	58	40	19	7	2
Коэффициент приращения отказов			1,027	1,057	1,057	1,130	1,441	2,427	4,160	6,240
		zn i	2,054	3,171	4,228	7,910	11,528	16,989	16,640	6,240
Средний порядковый номер отказавшего изделия		m i zn i	2,054	5,225	9,453	17,363	28,891	45,880	62,520	68,760
Накопленная частость отказов (оценка вероятности отказа).		m F ˆ(t i )	0,0274	0,0697	0,1260	0,2316	0,3852	0,6117	0,8337	0,9168

Примечание. Порядок расчета: расчет ведется от интервала к интервалу; в интервале 1 средний порядковый номер отказавшего изделия т.е. т_i-1=0, так как в интервале i —1, т. е. до первого интервала, отказов не было; для второго интервала значение т_i-1= т_i первого интервала 

Значение n _i берется из задания предыдущей задачи (условно берем zn _i=70% от значения n _i/ q _i=30% от значения n i т. к. эти значения определяются опытным путем).

 

 

Практическое занятие №11.

Графический метод определения параметров распределения

 

 

Оценка параметров распределения производится по опытным данным. По ним же определяется, какому закону распределения соответствуют эти данные.

Можно было бы поступить следующим образом: нанести на график F(t) в прямоугольных координатах с равномерными шкалами значения этих величин, полученные из наблюдений, соединить точки F(t) плавной кривой и определить визуально, какому распределению это соответствует, сравнив с известными графиками. Однако кривые F(t) для разных законов распределения в ряде случаев похожи друг на друга и при, таком методе может быть допущена грубая ошибка.

Оказывается, что путем несложных преобразований функцию F(t) можно в той же системе координат с неравномерными шкалами представить в виде прямой линии. В этом случае визуальное сравнение эмпирических данных с предполагаемым теоретическим может быть сделано с достаточной для практики точностью. Прямоугольная координатная сетка с измененным масштабом по осям носит название вероятностной сетки или вероятностной бумаги. Рассмотрим метод построения вероятностной сетки для распределения Вейбулла 

Представим функцию F (t) из табл. 2 в виде

                                                                        1/1[1-F(t)]= e ^{(t / t 0 ) b}                                              (11.1)

и дважды прологарифмируем:

lnln ln10 b (lg t lg t ₀ )                     (11.2) lnln2.303 b lg t ₀            (11.3)

Обозначим:

                                                                      Y=2.303bx+C                                                  (11.4)

 

Тогда:

                                           lnln y; lgt=x; -2.303blgt₀=C                                (11.5)

т.е. получена линейная зависимость. Если теперь построить координатную

сетку, на которой по оси ординат будут отложены отрезки, пропорциональные х, а по оси абсцисс – пропорциональные у. Обозначим масштаб по оси абсцисс К _х и отложим на ней отрезки:

         S_x (t) K _x x K _x lgt

где K_x=L/(lgt_max-lgt_min); L— ширина графика, которая выбирается исходя из

размера бумаги и таким образом, чтобы К _х было удобным, лучше круглым числом.

Для выбора масштаба по оси ординат зададимся значениями F_min(t)=0.0001 и F_max(t)=0.999(при F(t) = 0 и F(t) =l выражение y lnln теряет смысл).

Тогда:

                                                                                           Y _max;                                                      (11.6)

                                                                                           Y _min;                                                       (11.7)

 

 

Таблицa 11.1

Обозначение			Номера интервалов
			1	2	3	4	5	6	7	8
1			2	3	4	5	6	7	8	9
ti тыс. км			5	15	25	35	45	55	65	75
xi=lg ti			0,699	1,176	1,397	1,544	1,653	1,740	1,812	1,876
Sx(ti)=Kxxi		мм	669,9	117,6	139,8	154,4	165,3	174,0	181,3	187,5
MMF(ti)			0.013	0.026	0.026	0.093	0.227	0.440	0.693	0.693
1-F(ti)=P(ti)			0.987	0.974	0.974	0.907	0.773	0.560	0.307	0.107
1 Y i   lnln                               1 F (t i )			-4.336	-3.637	-3.637	-2.327	-1.357	-0.545	0.166	0.804
S y F Y i			-98.1	-82.3	-82.3	-52.6	-30.7	-12.3	3.8	18.2

 

По оси ординат будем откладывать отрезки:

 

                                                                         S _y (F) Y _i                                              (11.8)

 

Где Н – высота графика, а У подсчитывается по формуле из табл. 10.1. Y_i- значение для дополнительного интервала.

 

 

Практическое занятие №12.

Анализ вероятностной бумаги

 

 

Произведем оценку параметров надежности для термостатов, наблюдения над которыми представлены в таблице 9.1. Предположим, что отказы, зафиксированные в этой таблице распределены но закону Вейбулла. Построим вероятностную шкалу, для чего составим вспомогательную таблицу (табл. 3).

 

Определим ширину графика L и масштаб Кх по оси х. В табл. 9.1 наименьшее значение наработки t_min=5, а t_max=95

Lgt_max-lgt_min=lg95-lg5=1,28 Выберем Кх = 100 мм. Ширина графика 

Подсчитаем значение x_i=lgt_i Это можно сделать с помощью таблиц логарифмов или микрокалькулятора. 

Подсчитаем   S_x(t_i)=Kx xi=100 lg ti мм. Внесем в таблицу значения F (ti) из табл. 1. Выберем размер графика по высоте Н = 200 мм.

                                                                               S _y (F) Y _i    

Промежуточные значения можно с некоторой погрешностью получить интерполированием или рассчитать без особого труда на микрокалькуляторе по формуле.

Построим вероятностную шкалу, отложив по осям t и P(t) соответствующие отрезки S_x(t_i) и S_y(F). Найдем пересечения значений t_i и F(t_i) из таблицы 11.1 и пометим их точками. Проведем прямую линию таким образом, чтобы точки были как можно ближе к этой прямой (равное количество по обе ее стороны). Все это проделано на рис. 6, из которого следует, что, начиная с наработки t=35 тыс. км, прямая соединила почти все точки. Это свидетельствует о том, что сделанные нами предположения о выборе закона распределения, по крайней мере начиная с этой наработки, правильны. Можно предположить, что в начальный период, т. е. при наработке до 25 тыс. км, отказы распределяются по экспоненциальному закону, т.е. соответствуют участку 1 на рис. 9.3.

Полученный график позволит нам определить параметры распределения и подсчитать показатели надежности.

 

 

Рис. 12.1. Определение параметров распределения Вейбулла с помощью вероятностной сетки.

 

Практическое занятие №13.