Применение метода Байеса при диагностике

Основным преимуществом статистических методов распознавания состоит в возможности учета признаков различной физической природы, так как они характеризуются безразмерными величинами – вероятностями их появления при различных состояниях системы.

Среди методов технической диагностики метод, основанный на обобщенной формуле Байеса, занимает особое место благодаря простоте и эффективности.

Формула Байеса.

Пусть событие А может наступать лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) В₁, В₂, … В_n, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса:

                                                                                                                                                                                     (6.1)

                                                                                                                                                                                             (6.2)

 

Пример 1.

Известно, что 90% шарикоподшипников генераторов в системе электрооборудования автомобилей ВАЗ-2108 вырабатывают ресурс в исправном состоянии. Признак А – падение напряжения на клеммах АКБ на 5 вольт встречается у исправных подшипников только в 5% случаев. Требуется определить вероятность исправного состояния подшипника при появлении признака А. 

Решение

Признак А – падение напряжения; В₁ – исправное состояние подшипников; В₂ – неисправное состояние. 

        Известно, что PB ₁      0,9; PB ₂    1 0,9 0,1.

Условные вероятности: P _{B 1} A 0,05; P _{B 2} A 0,95.

Тогда по формуле (1) получаем:

                                                   P B 1 P B 1 A                    0,9 0,05       0,321

P A B 1

                               P B ₁ P _{B 1} A P B ₂  P _{B 2} A 0,9 0,05 0,1 0,95

Ответ: Вероятность исправного состояния 32%.

 

Пример 2.

Пусть под наблюдением за двигателем внутреннего сгорания проверяются два признака: К₁ – повышение температуры масла в картере двигателя более чем на 50С; К₂ – увеличение времени выхода на максимальную частоту вращения при заданной передаче более чем на 5с.

Предположим, что для данного типа двигателя проявление этих неисправностей связано либо с неисправностью карбюратора (Д₁) или с неисправностью системы смазки (Д₂). 

При нормальном состоянии двигателя (Д₃) признак К₁ не наблюдается, признак К₂ наблюдается в 5% случаев. На основании статистических данных известно, что 80% двигателей вырабатывают ресурс в нормальном состоянии, 5% двигателей имеют состояние Д₁, а 15% – состояние Д₂. Известно также, что признак К₁ встречается в состоянии Д₁ в20% случаев, а при состоянии Д₂ в 40% случаев, признак К₂ при состоянии Д₁ встречается в 30% случаев, а при состоянии Д₂ – в 50% случаев.

Необходимо определить условные вероятности диагнозов Д₁, Д₂, Д₃ и сделать выводы.

Решение.

В задании необходимо определить условные вероятности: Р К 1 К 2(Д 1); Р К 1 К 2(Д 2); Р К 1 К 2(Д 3); наблюдаются все признаки

 

Р К 1 К 2(Д 1); Р К 1 К 2(Д 2); Р К 1 К 2(Д 3); наблюдается ттольк второй признак

Р К 1 К 2(Д 1); Р К 1 К 2(Д 2); Р К 1 К 2(Д 3); не наблюдаются признаки

 

 

Сведем исходные данные в таблицу:

Дi	РДi(К1)	РДi(К2)	Р(Дi)
Д1	0,2	0,3	0,05
Д2	0,4	0,5	0,15
Д3	0	0,05	0,8

 

Найдем вероятности состояний двигателя, когда обнаруживаются оба признака К₁ и К₂.

K 1

K 2

P D 2

P D 2

0,09

K 1

P D 3 K 2

P

D 2

P D 2

K 1

P D 2

K 2

PD 1

P D 1

K 1

P D 1

K 2

P

D 2

P D 2

K 1

P D 2

K 2

P

D 3 0,91

P D 3

K 1

P D 3

K 2

P

D 3

P D 3

K 1

P D 3

K 2

                                                                                              P D 1    P D 1 K 1    P D 1 K 2                                                                                             

P K 1 K 2

P K 1 K 2 D

          P K 1 K 2                                                                                                     

P K 1 K 2 D

P K 1 K 2 P D 1            P D 1 K 1 P D 1 K 2 P D 2       P D 2 K 1 P D 2 K 2 P D 3       P D 3 K 1 P D 3 K 2

       P K 1 K 2 D  0

 

Определим вероятности состояний двигателя, если обследование показало, что признак К₁ отсутствует, признак К₂ наблюдается.

Отсутствие признака К₁ есть событие противоположное наличию:

P Di K 1 1 P Di K 1

         P _{D 1} K ₁     1 0,2 0,8; P _{D 2} K ₁     1 0,4 0,6; P _{D 3} K ₁

PD 1			D 1	P D 1 K
	D 1	D 1	P D 2 K 1	D 2	P D 3 K 1	P D 3 K 2

          P K 1 K 2                                                                                                     

     P _{K 1 K 2} D 0,123

     P _{K 1 K 2} D 0,464

     P _{K 1 K 2} D 0,413

 

Аналогично вычислим вероятности состояний в том случае, когда оба признака отсутствуют.

 

Отметим, что вероятности событий Д₁ и Д₂отличны от нуля, т.к. рассматриваемые признаки не являются для них однозначными и детерминирующими. Из проведенных расчетов можно установить, что при наличии признаков К₁ и К₂ в двигателе с вероятностью 91% имеет состояние Д₂. При отсутствии обоих признаков наиболее вероятно нормальное состояние Д₃ (логично). При отсутствии признака К₁ и наличии признака К₂ вероятности состояний Д₂ и Д₃ примерно одинаковы (0,46 и 0,41). Для уточнения состояний требуется проведение дополнительного обследования.

 

Варианты заданий для выполнения задачи.

Вариант 1                               Вариант 2                             Вариант 3                

Дi РДi(К1) РДi(К2) Р(Дi) Д1 0,18 0,3 0,04 Д2 0,42 0,5 0,16 Д3 0 0,05 0,8

Дi РДi(К1) РДi(К2) Р(Дi) Д1 0,2 0,3 0,06 Д2 0,4 0,5 0,15 Д3 0 0,05 0,79

Дi РДi(К1) РДi(К2) Р(Дi) Д1 0,2 0,3 0,07 Д2 0,4 0,5 0,16 Д3 0 0,05 0,77

                                                                                                                                                      

Вариант 4                               Вариант 5                             Вариант 6                

Дi РДi(К1) РДi(К2) Р(Дi) Д1 0,1 0,32 0,03 Д2 0,5 0,48 0,17 Д3 0 0,05 0,8

Дi РДi(К1) РДi(К2) Р(Дi) Д1 0,11 0,32 0,02 Д2 0,49 0,48 0,18 Д3 0 0,05 0,8

Дi РДi(К1) РДi(К2) Р(Дi) Д1 0,12 0,32 0,05 Д2 0,48 0,48 0,15 Д3 0 0,05 0,8

                                                                                                                                                      

Вариант 7                               Вариант 8                             Вариант 9                

Дi РДi(К1) РДi(К2) Р(Дi) Д1 0,13 0,32 0,06 Д2 0,47 0,48 0,14 Д3 0 0,05 0,8

Дi РДi(К1) РДi(К2) Р(Дi) Д1 0,14 0,32 0,04 Д2 0,46 0,48 0,26 Д3 0 0,05 0,7

Дi РДi(К1) РДi(К2) Р(Дi) Д1 0,14 0,32 0,03 Д2 0,46 0,48 0,27 Д3 0 0,05 0,7

                                                                                                                                                   

Вариант 10                             Вариант 11                            Вариант 12                

Дi РДi(К1) РДi(К2) Р(Дi) Д1 0,14 0,32 0,02 Д2 0,46 0,48 0,28 Д3 0 0,05 0,7

Дi РДi(К1) РДi(К2) Р(Дi) Д1 0,16 0,32 0,05 Д2 0,44 0,48 0,25 Д3 0 0,05 0,7

Дi РДi(К1) РДi(К2) Р(Дi) Д1 0,17 0,31 0,03 Д2 0,43 0,49 0,27 Д3 0 0,05 0,7

                                                                                                                                                        

Вариант 13                             Вариант 14                            Вариант 15                

Дi РДi(К1) РДi(К2) Р(Дi) Д1 0,18 0,3 0,02 Д2 0,42 0,45 0,28 Д3 0 0,04 0,7

Дi РДi(К1) РДi(К2) Р(Дi) Д1 0,18 0,3 0,2 Д2 0,42 0,5 0,2 Д3 0 0,05 0,6

Дi РДi(К1) РДi(К2) Р(Дi) Д1 0,179 0,3 0,1 Д2 0,41 0,5 0,3 Д3 0 0,05 0,6

                                                                                                                                                        

Вариант 16                             Вариант 17                            Вариант 18                

Дi РДi(К1) РДi(К2) Р(Дi) Д1 0,19 0,3 0,02 Д2 0,41 0,5 0,28 Д3 0 0,05 0,7

Дi РДi(К1) РДi(К2) Р(Дi) Д1 0,2 0,3 0,02 Д2 0,4 0,5 0,38 Д3 0 0,05 0,6

Дi РДi(К1) РДi(К2) Р(Дi) Д1 0,21 0,3 0,03 Д2 0,39 0,5 0,37 Д3 0 0,05 0,6

                                                                                                                                                        

Вариант 19                             Вариант 20                            Вариант 21                

Дi РДi(К1) РДi(К2) Р(Дi) Д1 0,19 0,32 0,02 Д2 0,41 0,48 0,18 Д3 0 0,05 0,8

Дi РДi(К1) РДi(К2) Р(Дi) Д1 0,2 0,3 0,05 Д2 0,4 0,5 0,25 Д3 0 0,05 0,7

Дi РДi(К1) РДi(К2) Р(Дi) Д1 0,21 0,31 0,05 Д2 0,39 0,49 0,15 Д3 0 0,05 0,8

                                                                                                                                                        

Вариант 22                             Вариант 23                            Вариант 24                

Дi РДi(К1) РДi(К2) Р(Дi) Д1 0,19 0,32 0,02 Д2 0,41 0,48 0,18 Д3 0 0,05 0,8

Дi РДi(К1) РДi(К2) Р(Дi) Д1 0,2 0,32 0,05 Д2 0,4 0,48 0,25 Д3 0 0,05 0,7

Дi РДi(К1) РДi(К2) Р(Дi) Д1 0,19 0,31 0,12 Д2 0,41 0,49 0,18 Д3 0 0,05 0,7

 

 

Практическое занятие №7.