Сборник задач к практическим занятиям

О. А. Шушерина

 

Математика

Сборник задач к практическим занятиям

Направление подготовки 080200.62 Менеджмент

Профиль подготовки Производственный менеджмент (по отраслям)

Направление подготовки 080400.62 Управление персоналом

Профиль подготовки Контроллинг и аудит персонала

Квалификация (степень) выпускника Бакалавр Очная форма обучения

 

Содержание

Введение

Модуль 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Тема 1. Функции одной переменной, свойства и графики.

Тема 2. Предел функции. Замечательные пределы.

Тема 3. Непрерывные функции.

Тема 4. Производные функции одной переменной.

Тема 5. Экстремум, наибольшее и наименьшее значения функции.

Контрольная работа № 1 «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»

Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций

Нескольких переменных

Тема 1. Функции двух переменных, линии уровня. Частные производные.

Тема 2. Экстремум функции двух переменных (безусловный и условный).

Тема 3. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области. Градиент функции.

Контрольная работа № 2 «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных»

Модуль 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Тема 1. Методы нахождения неопределенного интеграла.

Тема 2. Интегрирование рациональных функций.

Тема 3. Вычисление определенного интеграла (формула Ньютона-Лейбница, метод подстановки).

Тема 4. Вычисление площадей плоских фигур. Несобственные интегралы.

Контрольная работа № 3 «Неопределенный и определенный интегралы»

Вопросы к зачету (1-й семестр)

Библиографический список

 

ВВЕДЕНИЕ

Учебно-практическое пособие «Математика. Сборник задач к практическим занятиям» является компонентом учебно-методического комплекса дисциплины. Его цель – помочь студентам в организации самостоятельной деятельности и овладении практическими навыками уверенного решения задач.

 

Для приобретения профессиональных, культурных и математических компетенций в процессе решения задач предлагаем следующий порядок работы:

§ проработать теоретический материал по разделу (учебному модулю) – усвоить язык дисциплины, осмыслить базовые понятия, формулы, теоремы;

§ прорешать задачи по изучаемому разделу – сначала общие для всех студентов, а затем из индивидуального задания иовладеть методами их решения;

§ ответить на контрольные вопросы.

 

Это поможет освоить весь объем задач, который следует решить по данной теме и сформировать общекультурные компетенции: владение методами количественного анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования.

 

В Сборник задач (1-й семестр) включены учебно-методические материалы по учебным модулям:

1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

2. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.

3. Интегральное исчисление функции одной переменной.

 

Каждая тема учебного модуля содержит задачи для решения на практическом занятии и дома.

Предлагаются задачи студентам с различным уровнем математической подготовки. Студент видит весь объем задач, которые следует решить, и в случае, если он работает быстрее, чем остальные, то ему не нужно терять время на ожидание новой задачи и проверки правильности решенной задачи. Если студент справился с задачами практического занятия, то он начинает решать задачи для домашнего задания.

Приведены примерные варианты контрольных работ по учебным модулям.

 

Желаем успехов!

 

Модуль 1. дифференциальное исчисление функции одной переменной

 

Построение графиков функций

1.4. Построить графики функций с помощью геометрических преобразований графиков основных элементарных функций (сдвиг, растяжение и сжатие по осям).

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

 

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) .

.

 

Вычисление предела

2.1. Вычислить пределы функций при .

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ; 7) .

2.2. Вычислить пределы функций при .

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Первый замечательный предел

2.3. Используя первый замечательный предел, вычислить пределы.

ж) ;       з) ;      и) .

Второй замечательный предел

2.4. Используя второй замечательный предел, вычислить пределы.

1) ;     2) ;     3) ;

4) ;      5) ;  6) .

 

 

Тема 3. Непрерывные функции

 

Точки разрыва функции

3.1. Найти точки разрыва функции

Характер точек разрыва

3.3. Определить характер точек разрыва функции.

 

 

Производные сложных функций

4.4. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найти производные функций.

1) ; 2) ; 3) ; 

4) ;         5) ;         6) ;

7) ;            8) ;                 9) ;

10) , 1 1) ; 12) .

Производные высших порядков

4.5. Найти производные 2-го порядка функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) y = ;     6) y = e^2x;        7) y = 5^x;           8) y = ln(1+x).

Экстремум функции

5.1. Определить интервалы монотонности и исследовать на экстремум функции.

1) ; 2)    3) .

Контрольная работа № 1

« Дифференциальное исчисление функции одной переменной»

Вариант 0

Примерные задачи в контрольной работе

Задача 1. Вычислить пределы функций.

1) ; 2) ; 3) .

Задача 2. Построить график функции, заданной несколькими аналитическими выражениями

Исследовать функцию на непрерывность в точках  и .

Задача 3. Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производные функций:

1) ;

2) .

Задача 4. Найти значение производной функции  в точке .

 

Задача 5. Найти производные сложных функций:

1) ;

2) .

Задача 6. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .

Задача 7. Найти экстремумы функции . Сделать схематичный чертеж.

Задача 8. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .

Задача 9. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .

 

Линии уровня функции

1.3. Построить линии уровня функции двух переменных  при заданных значениях .

1) , ; 2) , ; 3) , .

Частные производные функции

1.5. Найти частные производные 1-го порядка функции:

1) ;       2) ;                3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ;             8) ;         9) .

1.6. Вычислить значения частных производных функции в точке.

1) , ; 2) , .

1.7. Найти частные производные второго порядка. Убедиться в равенстве смешанных частных производных.

1) ; 2) ;      3) ;

4) .

Условный экстремум функции

2.2. Найти условный экстремум функции, применяя метод подстановки.

1) , если ;

2) , если ;

3) , если .

 

 

Градиент функции

3.2. Найти градиент  функции:

1) 2)       3)

3.3. Построить линии уровня и  в точке А(1;2) для функций:

1) ;   2) ;        3) .

 

Контрольная работа № 2

«Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных»

Вариант 0

Примерные задачи в контрольной работе

Задача 1. Дана функция двух переменных

.

1. Описать математически область определения функции

2. Изобразить геометрически на плоскости область определения функции.

Задача 2. Дана функция .

1. Найти все частные производные первого и второго порядка функции.

2. Убедиться в равенстве смешанных производных.

Задача 3. Дана функция .

1. Записать уравнение линии уровня, проходящей через точку , и построить линию уровня

2. Найти градиент функции в точке  и наибольшую скорость изменения функции в этой точке.

3. Построить градиент.

Задача 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в области, заданной уравнениями границ , , .

Задача 5. Найти экстремумы функции .

Задача 6*. Дана функция , где  - выпуск продукции,  и  - ресурсы двух видов.

1. Вычислите коэффициент эластичности  в точке .

2. Дайте истолкование результату.

 

 

 

Формула Ньютона-Лейбница

4.2. Вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

1) ;                     2) ; 3) ;      

4)          5)             6) .

7) ; 8) ; 9) .

Несобственные интегралы

4.2. Вычислить несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (или установить их расходимость).

1)  ;      2) ;       3) ;   

4) ;              5) ;    6)

Контрольная работа № 3

«Неопределенный и определенный интегралы»

Примерные задачи в контрольной работе

Задача 1. Найти неопределенныеинтегралы.

1) ;               2) ;

3) ;                             4) ;

5) ;                           6) .

Задача 2. Вычислить определенные интегралы, применяя формулу Ньютона-Лейбница:       

1) ; 2) ; 3) .

Задача 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

 

вопросы к зачету (1-й семестр)

Студент должен знать:

Определения:

1. функции одной и нескольких переменных,

2. предела функции  при стремлении  к числу , при стремлении  к бесконечности,

3. функции, непрерывной в точке,

4. производной функции одной переменной;

5. дифференциала функции;

6. экстремума функции одной переменной;

7. частных производных второго порядка, третьего, -го порядка функции ,

8. первообразной функции;

9. неопределенного интеграла;

10. определенного интеграла;

11. несобственных интегралов функции на бесконечном промежутке.

Теоремы и свойства:

1. основные теоремы о пределах функций,

2. необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке,

3. необходимые условия экстремума функции: а) одной переменной; б) двух переменных,

4. достаточное условие экстремума функции одной переменной,

5. достаточное условие экстремума функции двух переменных,

6. свойства неопределенного интеграла, их символическую запись,

7. таблицу основных интегралов.

Правила:

1. нахождения производных, их математическую запись,

2. нахождения производной сложной функции,

3. нахождения экстремума функции одной переменной,

4. нахождения частных производных,

5. нахождения экстремума функции двух переменных,

6. нахождения наименьшего и наибольшего значения функции  в замкнутой ограниченной области,

7. нахождения наименьшего и наибольшего значения функции  в замкнутой ограниченной области,

8. метода замены переменной в неопределенном интеграле,

9. методы вычисления определённого интеграла.

 

Библиографический список

Основная литература

1. Кремер, Н. Ш. Высшая математика [Текст]: учебник и практикум (части I и II) / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М Н. Фридман. 3-е изд.– М.: Юрайт-Издат, 2011. – 909 с.

2. Общий курс математики для экономистов [Текст]: учебник / под ред. В. И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2008. – 656 с.

3. Сборник задач по высшей математике [Текст]: учеб. пособие / под ред. В. И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2007. – 575 с.

4. Красс, М. С. Математика в экономике. Математические методы и модели [Текст]: учебник / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 544 с.

5. Красс, М. С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании [Текст]: учебник / Красс М. С., Чупрынов Б. П. - М.: Дело, 2007. – 544 с.

6. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс [Текст] / Д. Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2010. – 608 с.

7. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам [Текст] / Д. Т. Письменный. – М: Айрис-пресс, 2008. – 288 с.

8. Жуков, В. М. Практические занятия по математике: теория, задания, ответы [Текст] / В. М. Жуков. – Ростов н/Д: Феникс, 2012. – 343 с. – (высшее образование).

 

О. А. Шушерина

 

Математика

Сборник задач к практическим занятиям

Направление подготовки 080200.62 Менеджмент

Профиль подготовки Производственный менеджмент (по отраслям)

Направление подготовки 080400.62 Управление персоналом

Профиль подготовки Контроллинг и аудит персонала

Квалификация (степень) выпускника Бакалавр Очная форма обучения

 

Содержание

Введение