Бинарные алгебраические операции.

Взаимосвязь между матанализом и алгеброй.

В матанализе изучаются, в частности, функции одного и двух аргументов.   

Пример 1. , т.е.

Пример 2. , здесь   

Если множество, на котором задано отображение - не числовая прямая, а какое-то дискретное множество, то применяются алгебраические понятия - унарные и бинарные алгебраические операции (по числу аргументов). Существуют и n-арные операции, например, общий перпендикуляр к трём векторам в 4-мерном пространстве (тогда n=3).

 

Простейшие примеры. Отображение множества из 3 первых натуральных чисел в само себя. Если в верхней строке записать числа по порядку, а в нижней строке - образ каждого из них, то получится, к примеру,  такая запись:

Подстановка.

Впрочем, верхняя строка информации не несёт, можно писать только 2-ю строку, это называется перестановкой.    Пример: (3 1 2). 

Перестановок 2 порядка всего две: (1 2) и (2 1).

Перестановки 3 порядка:

(1 2 3), (1 3 2) (2 1 3), (2 3 1) (3 1 2), (3 2 1).  

Их всего 6. Чтобы перечислить их все, можно на 1 месте поставить число, а на двух других остаётся по 2 варианта расположить оставшиеся 2 числа.

Лемма. Существует n! перестановок порядка n. 

Доказательство.

Для n = 2 это очевидно, перестановки только (12) и (21).

Дальше, доказательство по индукции. Пусть теперь для (n-1) этот факт доказан. Рассмотрим для n. На первом месте может стоять любое из n чисел, и при каждой из этих ситуаций, остаётся (n-1) число, которые должны занять (n-1) место, а это возможно (n-1)! способами. Итак, получается  что как раз равно n!, что и требовалось доказать.

 

В частности, при n = 3 получается 6 перестановок: 

(123) (132) (213) (231) (312) (321)

На первом месте одно из 3 чисел, и при этом оставшиеся 2 числа можно расставить на 2 места двумя способами. Получается 6 способов. Заметим, что 3! = 6.

 

Назовём инверсией такую ситуацию, когда большее число в перестановке расположено раньше, чем меньшее. В перестановке (12) инверсий нет, количество инверсий 0, то есть чётно. В перестановке (21) одна инверсия (то есть, их количество нечётно).

 

Группоид

Определение 1. На множестве  задана бинарная алгебраическая операция, если каждой паре элементов  поставлен в соответствие однозначно определённый элемент .

 

Примечание. Результат операции также принадлежит М, другими словами, множество замкнуто относительно этой операции.

Это означает, что задано отображение (задана функция) , . В матанализе используется функциональные обозначения , а в алгебре - знаки алгебраической операции, например . 

Граница между матанализом и алгеброй очень тонкая. И та, и другая область математики изучает отображения. В матанализе они называются функциями, здесь - алгебраическими операциями.

Операция, например, может быть сложением или умножением, но не обязательно, на самом деле существует более обширный класс операций, а сложение и умножение - лишь частные случаи.

 

Определение 2. Если на  задана бинарная алгебраическая операция, то  называется группоидом, и обозначается . 

 

Примеры.

1. Множество целых чисел с операцией сложения.  является группоидом, так как результат операции - это снова целое число, то есть операция не выводит за пределы этого множества.

2. Множество целых чисел с операцией умножения. . Аналогично прошлому примеру, является группоидом.

3. , где  является группоидом. Положительная степень натурального числа есть снова натуральное число.

4. Множество натуральных чисел с операцией вычитания. . .

Не является группоидом, так как эта операция может привести к тому, что результат не принадлежит данному множеству, например, если .

 

Свойства операций.

1. Коммутативность. Если для любых  верно , то операция называется коммутативной, и соответственно, группоид - коммутативным.

Примеры.

1.    2.  3.   4.  коммутативные группоиды.

5. , где . Не коммутативный группоид. Как минимум, , есть и много других примеров.

2. Ассоциативность. Если  верно , то операция называется ассоциативной, и соответственно, группоид - ассоциативным (в таком случае его называют полугруппой).

Примеры.

1.    2.  3.   4.  ассоциативные группоиды.

5. , где . Не ассоциативный группоид. 

, так как в общем случае .

 

Нейтральный элемент. 

Пусть дан группоид . Если существует такой элемент , что  выполняется , то  называется нейтральным элементом этого группоида.

 

Пример 1.  операция сложения, тогда .

Пример 2.  операция умножения, тогда .

Нейтральный элемент существует не всегда.

Пример 3.  Векторное умножение в пространстве. Если каждой паре векторов ставится в соответствие их общий перпендикуляр, то результат действия операции перпендикулярен каждому из векторов, и невозможна ситуация . 

 

Пример 4. , операция . Тогда . .

 

Лемма.   Если существует нейтральный элемент, то он единственный.

Доказательство. Допустим, что существует 2 нейтральных элемента,  и . Если мы умножим их между собой, то должно быть во-первых , так как  нейтральный, но во-вторых, тогда , так как  тоже нейтральный. Получается

, , то есть . 

Симметричный (обратный) элемент

Определение. Пусть группоид  содержит нейтральный элемент . Элемент . Элемент  называется симметричным относительно , если .

Примеры.

1. При сложении, в  , нейтральный , симметричный это  противоположный элемент  .

2. При умножении, в , нейтральный  , симметричный это обратный элемент: для  существует .

3. , операция . . Обратный равен , так как .

Лемма. Пусть  полугруппа (т.е. операция ассоциативна). Тогда, если для элемента существует симметричный, то он единственный.

Доказательство. Пусть для  существует 2 разных симметричных элемента,  и . Тогда

, . Рассмотрим равенство , из него следует, что , но тогда . 

 

Пример. Подстановки, нейтральный

обратный элемент:     

 

Группы

Определение. Множество  с заданной на нём бинарной операцией   называется группой, если:

1) выполняется ассоциативность, т.е.

2) существует нейтральный элемент , то есть

3)  существует симметричный (обратный) , т.е. . 

Примеры.    

, ,   - «аддитивные» группы (по сложению).

,  - «мультипликативные» группы (по умножению).

Если операция коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой.

Определение подгруппы.

Непустое подмножество   группы  называется подгруппой, если само  является группой относительно операции, введённой в группе .

Примеры.

Крайние случаи:

1) сама группа есть подгруппа, .

2) множество, состоящее только из нейтрального элемента, .

Пример.   , все чётные числа. 0 нейтральный как в самой , так и в подгруппе.

Впрочем, подгруппой является любое подмножество вида . 

Пример. Подмножество  подгруппой не является, т.к. результат сложения может быть и больше 3, т.е. выводит за пределы этого множества.

Примеры.   

Пример. Конечная группа, дана таблица умножения элементов:

	1	2	3
1	1	2	3
2	2	3	1
3	3	1	2

Похоже на то, что было при изучении подстановок, только не унарная, а бинарная операция. Есть , это 1. Для каждого есть обратный. Для 2 это 3, для 3 это 2. В каждой строке (и каждом столбце) перестановка из трёх различных чисел. 

 

--- перерыв ---