ГЛАВА 1. Алгебраические структуры.

Приходовский М.А.

Алгебра (курс лекций)

ИПМКН ТГУ, группы 932024, 932025

Осень -2020

ЛЕКЦИЯ 1. 9.11.2020

ГЛАВА 1. Алгебраические структуры.

Бинарные алгебраические операции.

Взаимосвязь между матанализом и алгеброй.

В матанализе изучаются, в частности, функции одного и двух аргументов.   

Пример 1. , т.е.

Пример 2. , здесь   

Если множество, на котором задано отображение - не числовая прямая, а какое-то дискретное множество, то применяются алгебраические понятия - унарные и бинарные алгебраические операции (по числу аргументов). Существуют и n-арные операции, например, общий перпендикуляр к трём векторам в 4-мерном пространстве (тогда n=3).

 

Простейшие примеры. Отображение множества из 3 первых натуральных чисел в само себя. Если в верхней строке записать числа по порядку, а в нижней строке - образ каждого из них, то получится, к примеру,  такая запись:

Подстановка.

Впрочем, верхняя строка информации не несёт, можно писать только 2-ю строку, это называется перестановкой.    Пример: (3 1 2). 

Перестановок 2 порядка всего две: (1 2) и (2 1).

Перестановки 3 порядка:

(1 2 3), (1 3 2) (2 1 3), (2 3 1) (3 1 2), (3 2 1).  

Их всего 6. Чтобы перечислить их все, можно на 1 месте поставить число, а на двух других остаётся по 2 варианта расположить оставшиеся 2 числа.

Лемма. Существует n! перестановок порядка n. 

Доказательство.

Для n = 2 это очевидно, перестановки только (12) и (21).

Дальше, доказательство по индукции. Пусть теперь для (n-1) этот факт доказан. Рассмотрим для n. На первом месте может стоять любое из n чисел, и при каждой из этих ситуаций, остаётся (n-1) число, которые должны занять (n-1) место, а это возможно (n-1)! способами. Итак, получается  что как раз равно n!, что и требовалось доказать.

 

В частности, при n = 3 получается 6 перестановок: 

(123) (132) (213) (231) (312) (321)

На первом месте одно из 3 чисел, и при этом оставшиеся 2 числа можно расставить на 2 места двумя способами. Получается 6 способов. Заметим, что 3! = 6.

 

Назовём инверсией такую ситуацию, когда большее число в перестановке расположено раньше, чем меньшее. В перестановке (12) инверсий нет, количество инверсий 0, то есть чётно. В перестановке (21) одна инверсия (то есть, их количество нечётно).

 

Группоид

Определение 1. На множестве  задана бинарная алгебраическая операция, если каждой паре элементов  поставлен в соответствие однозначно определённый элемент .

 

Примечание. Результат операции также принадлежит М, другими словами, множество замкнуто относительно этой операции.

Это означает, что задано отображение (задана функция) , . В матанализе используется функциональные обозначения , а в алгебре - знаки алгебраической операции, например . 

Граница между матанализом и алгеброй очень тонкая. И та, и другая область математики изучает отображения. В матанализе они называются функциями, здесь - алгебраическими операциями.

Операция, например, может быть сложением или умножением, но не обязательно, на самом деле существует более обширный класс операций, а сложение и умножение - лишь частные случаи.

 

Определение 2. Если на  задана бинарная алгебраическая операция, то  называется группоидом, и обозначается . 

 

Примеры.

1. Множество целых чисел с операцией сложения.  является группоидом, так как результат операции - это снова целое число, то есть операция не выводит за пределы этого множества.

2. Множество целых чисел с операцией умножения. . Аналогично прошлому примеру, является группоидом.

3. , где  является группоидом. Положительная степень натурального числа есть снова натуральное число.

4. Множество натуральных чисел с операцией вычитания. . .

Не является группоидом, так как эта операция может привести к тому, что результат не принадлежит данному множеству, например, если .

 

Свойства операций.

1. Коммутативность. Если для любых  верно , то операция называется коммутативной, и соответственно, группоид - коммутативным.

Примеры.

1.    2.  3.   4.  коммутативные группоиды.

5. , где . Не коммутативный группоид. Как минимум, , есть и много других примеров.

2. Ассоциативность. Если  верно , то операция называется ассоциативной, и соответственно, группоид - ассоциативным (в таком случае его называют полугруппой).

Примеры.

1.    2.  3.   4.  ассоциативные группоиды.

5. , где . Не ассоциативный группоид. 

, так как в общем случае .

 

Нейтральный элемент. 

Пусть дан группоид . Если существует такой элемент , что  выполняется , то  называется нейтральным элементом этого группоида.

 

Пример 1.  операция сложения, тогда .

Пример 2.  операция умножения, тогда .

Нейтральный элемент существует не всегда.

Пример 3.  Векторное умножение в пространстве. Если каждой паре векторов ставится в соответствие их общий перпендикуляр, то результат действия операции перпендикулярен каждому из векторов, и невозможна ситуация . 

 

Пример 4. , операция . Тогда . .

 

Лемма.   Если существует нейтральный элемент, то он единственный.

Доказательство. Допустим, что существует 2 нейтральных элемента,  и . Если мы умножим их между собой, то должно быть во-первых , так как  нейтральный, но во-вторых, тогда , так как  тоже нейтральный. Получается

, , то есть . 

Симметричный (обратный) элемент

Определение. Пусть группоид  содержит нейтральный элемент . Элемент . Элемент  называется симметричным относительно , если .

Примеры.

1. При сложении, в  , нейтральный , симметричный это  противоположный элемент  .

2. При умножении, в , нейтральный  , симметричный это обратный элемент: для  существует .

3. , операция . . Обратный равен , так как .

Лемма. Пусть  полугруппа (т.е. операция ассоциативна). Тогда, если для элемента существует симметричный, то он единственный.

Доказательство. Пусть для  существует 2 разных симметричных элемента,  и . Тогда

, . Рассмотрим равенство , из него следует, что , но тогда . 

 

Пример. Подстановки, нейтральный

обратный элемент:     

 

Группы

Определение. Множество  с заданной на нём бинарной операцией   называется группой, если:

1) выполняется ассоциативность, т.е.

2) существует нейтральный элемент , то есть

3)  существует симметричный (обратный) , т.е. . 

Примеры.    

, ,   - «аддитивные» группы (по сложению).

,  - «мультипликативные» группы (по умножению).

Если операция коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой.

Определение подгруппы.

Непустое подмножество   группы  называется подгруппой, если само  является группой относительно операции, введённой в группе .

Примеры.

Крайние случаи:

1) сама группа есть подгруппа, .

2) множество, состоящее только из нейтрального элемента, .

Пример.   , все чётные числа. 0 нейтральный как в самой , так и в подгруппе.

Впрочем, подгруппой является любое подмножество вида . 

Пример. Подмножество  подгруппой не является, т.к. результат сложения может быть и больше 3, т.е. выводит за пределы этого множества.

Примеры.   

Пример. Конечная группа, дана таблица умножения элементов:

	1	2	3
1	1	2	3
2	2	3	1
3	3	1	2

Похоже на то, что было при изучении подстановок, только не унарная, а бинарная операция. Есть , это 1. Для каждого есть обратный. Для 2 это 3, для 3 это 2. В каждой строке (и каждом столбце) перестановка из трёх различных чисел. 

 

--- перерыв ---

Доказательство.

1. Необходимость - очевидно, по определению, если  сама является группой, то , . 

2. Достаточность. Если , то . 

Тогда для всякого , обратный также принадлежит, ведь .                       □

Примечание. Этот критерий - фактически эквивалентное свойство, которое могло бы быть принято в качестве определения подгруппы.

Теорема 2. Если  - подгруппы группы , то их пересечение

 тоже подгруппа.

Доказательство.   Если , то  всем . 

Но каждая  подгруппа, так что  (всем), а значит, их пересечению. Кроме того,  для всех номеров , а значит, тоже . В итоге,   подгруппа.              □

 

Пример.  Подгруппы  и , а их пересечение  - все числа, кратные 6.

Пример. Группа подстановок  называется симметрической группой степени n. Число элементов  

1) Ассоциативность есть. 

, , .

 а затем   переходит в , в итоге .

С другой стороны,  а  в результате композиции 2-й и 3-й подстановок, в итоге опять . 

2) Нейтральный элемент .

3) Обратный элемент.

Если  то обратный , где в верхней строке все n разных чисел и их можно расставить по порядку. 

Пример. Подгруппа  - группа всех чётных подстановок. Кол-во элементов .

Пример. Подмножество всех нечётных подстановок - не образует подгруппу, потому что: произведение подстановки и обратной к ней (обе нечётные) это тождественная подстановка, а она содержит 0 инверсий, значит - чётная, но тогда она не принадлежит этому подмножеству.

 

Пример. Группы движений и симметрий правильных n-угольников.

Например, для треугольника. Каждый поворот или зеркальное отражение, при котором 3 вершины переходят в какие-то другие, соответствует подстановке.

  вращения

  зеркальные отражения

Но при этом можно заметить, что всякое отражение может быть получено как композиция какого-то одного базового отражения (например, где меняются вершины 1 и 2) и поворота.

 называется группой Диэдра. Для  (в случае треугольника) она совпадает с группой всех подстановок,

Для , уже . 

 

ЛЕКЦИЯ 2. 14.11.2020

Кольца

       Теперь рассмотрим множества не с одной, а с двумя различными операциями. Интуитивно вам уже известны такие примеры: сложение и умножение на множестве чисел, к тому же, для них известен закон дистирибутивности: , .

Определение. Пусть  - множество, на котором заданы две бинарные операции (как правило, сложение и умножение), удовлетворяющие условиям:

1)  абелева группа 

2)  полугруппа (т.е. только ассоциативность)

3) операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности: , .

Тогда  называется кольцом.

Если существует нейтральный элемент по умножению, то кольцо называется кольцом с единицей. Если операция умножения коммутативна, то называется «коммутативное кольцо».

Примеры.

1)Числовые кольца. , ,   коммутативные кольца с единицей.

2) Кольцо функций. Функции, заданные на , можно поточечно складывать и умножать.

 , .

 по сложению - тождественно нулевая функция .  

По сложению есть противоположный элемент.

 по умножению - тождественная .

3) Множество векторов в 3-мерном пространстве относительно операции векторного умножения. Это пример некоммутативного кольца, и без единицы.

Лемма.

1. При умножении любого элемента на   по сложению получится . То есть, . 

2. Произведение 1-го элемента на противоположный ко 2-му это то же самое, что произведение противоположного 1-му на 2-й, и равно противоположному к их суммарному произведению, т.е. .

Доказательство.     

1.  = , вычтем  из обеих частей равенства, получим . 

2.  =  =

.

 

Определение. Непустое подмножество  называется подкольцом, если оно само образует кольцо относительно операций, заданных в кольце .

Примеры.  подкольцо в , , .

Все непрерывные на  функции - подкольцо в кольце всех (по поточечному умножению, см. пример был выше).

Теорема 1. (критерий подкольца).

Непустое множество  является подкольцом :

1)   2) . 

Доказательство.

Необходимость - очевидно. Если подкольцо, то произведение принадлежит, кроме того,  является подгруппой по сложению, тогда для любого элемент , а значит и .

Достаточность. Если  для любой пары элементов  то и для пары одинаковых , а тогда и , то есть для каждого элемента противоположный тоже , т.е.  подгруппа по сложению (логика док-ва как в док. критерия подгруппы, только там общий вид операции ).

Операция ассоциативна и на подмножестве, поэтому  полугруппа.

Дистрибутивность также сохраняется на подмножестве.

Вывод:  подкольцо.

 

Обратимые элементы.

Определение.  называется обратимым, если . 

Пример. В кольце  обратимые элементы только 1 и .

В кольцах  или  обратимые элементы все, кроме 0.

В кольце функций (с поточечным умножением) обратимые элементы это те функции, которые ни в одной точке не обращаются в 0.

 

Делители нуля

Определение. Если , , , но при этом , то  называются делителями нуля.

Пример в кольце функций.    только на  на . Тогда  на всей числовой оси.

В числовых множествах делителей нуля нет. В кольце матриц есть, например, .

 

Теорема 2. Обратимый элемент кольца не может являться делителем нуля.

Доказательство. Пусть  обратим, и пусть всё же он является делителем 0, тогда есть какой-то , что . Но тогда

,

но с другой стороны, , тогда .

Значит,  не делитель нуля.

 

Замечание. Обратное утверждение к теореме 2 неверно, т.е. из того, что он не делитель нуля, не следует, что обратимый. Пример: в кольце  все не делители нуля, но из этого не следует, что они обратимы, там обратимы только 1 и  (выше был пример).

 

Теорема 3. О мультипликативной группе кольца.

Все обратимые элементы кольца  с единицей образуют группу по умножению. (Обозначается ).  

Доказательство.

Докажем, что если  то тоже обратим, т.е. . Докажем, что обратный имеет такой вид: .

 =  =  =  = 1.

Кроме того, , ведь сам элемент 1 обратим, и обратный к нему тоже 1.

Обратный к любому элементу также , ведь если он обратный к какому-то, и равен  , то он автоматически обратим, обратный к нему это исходный .                                                         □

Идеал кольца.   

Определение. Подкольцо  называется идеалом, если . 

Пример во множестве функций. Все функции, обращающиеся в 0 в точке , образуют идеал. Если умножить произвольную функцию на такую, то произведение приобретает свойство .    

 

Кольца вычетов.

Определение. Два целых числа называются сравнимыми по модулю n, если при делении на n они дают одинаковые остатки, т.е. если их разность делится на n: . 

Обозначается . 

Например, числа 1, 4, 7, 10, 13,... дают при делении на 3 остаток 1. При этом разность любых из них делится на 3.

Таким образом, множество  распадается на n непересекающихся классов.  - класс вычетов по модулю n.   

 означает, что . 

Свойства сравнимости.

1. . Рефлексивность

2. .   Симметричность

3.  и .  Транзитивность

Из этих 3 свойств следует, что сравнимость является отношением эквивалентности в , и  распадается на непересекающиеся классы.

Свойство 4.  и

Докажем это свойство, оно не очевидно.

,    тогда   =

, то есть снова делится на n. 

Пример. 4 и 7 5 и 8 разность 3 тогда 9 и 15 разность кратна 3 тоже.

Свойство 5.  и

Докажем это свойство. 

,    тогда ,

 =

, это делится на n.

Пример. 4 и 7 5 и 8 разность 3 тогда 20 и 56 разность 36, кратна 3.

 

 называется представителем класса . 

Если  то .

Классы вычетов попарно не пересекаются:

Обозначим  - множество всех классов вычетов по модулю n. Введём на этом конечном множестве из n элементов операции сложения и умножения: , .

Это можно сделать, так как из свойств 4 и 5, ранее доказанных, следует, что произведение не зависит от выбора представителя класса.

Итак, на конечном множестве из n элементов заданы 2 операции, сложение и умножение. Множество классов вычетов тоже образует кольцо . Это коммутативное кольцо с единицей.

Другое обозначение класса вычетов: . 

Например,  = . 

 

- - - Перерыв - - -

Очевидно,  в , так как  само делится на  с остатком 0. 

Составим таблицы сложения. Первый пример - для

+

Обратите внимание, 3 простое число, и при умножении в каждой строке есть все классы. 

Составим таблицы сложения и умножения для кольца .

+