Тема: «Производная сложной функции»

Цель: сформировать умение находить производные сложных функций

Теоретические сведения к практическому занятию:

Производной функции  называется конечный предел отношения приращения функции  к приращению независимой переменной  при стремлении последнего к нулю:

            

 

Производная сложной функции .

Производной n -го порядка называется производная от производной (n –1)-го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

Производная второго порядка  или

Производная третьего порядка  или  и т. д.

Пример.  Найти производную функции

Решение: Сложная степенная функция, независимая переменная есть v,
т. е. v =1; используя формулу, получим:

Самостоятельная работа:

1) Найти производные функций:

Содержание практического занятия:

А. Ответить на вопросы:

1) Дайте определение производной функции.

2) Укажите формулу для нахождения производной сложной функции.

3) Дайте определение производной n-го и высшего порядка. Укажите формулы для нахождения.

4) Приведите примеры нахождения производных сложных функций.

Б. Выполнить задания:

1) Найти производные функций:

2) Найти производные второго порядка:

3) Найти производные третьего порядка:

 

Тема: «Геометрический смысл производной»

Цель: сформировать умение составлять уравнение касательной, знать геометрический смысл производной

Теоретические сведения к практическому занятию:

23

Геометрический смысл производной.

Если кривая задана уравнением ,
то — угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке ().

Уравнение касательной к кривой  
в точке х₀ (прямая М₀Т) имеет вид:

                                                                 

а уравнение нормали (М₀N):

                                       

Пример. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой х ₀=-2.

Используем уравнения касательной (2) и нормали (3):

1)

2)

Подставим  в уравнения и получим:

или  — уравнение касательной.

 или — уравнение нормали.

Самостоятельная работа:

1.Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀

2.Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀

            

Содержание практического занятия:

А. Ответить на вопросы:

1) В чем заключается геометрический смысл производной функции. Укажите уравнения касательной и нормали к данной функции.

2) Приведите примеры нахождения уравнений касательной и нормали к данной функции.

Б. Выполнить задания:

1.Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀

2.Составить уравнение нормали к графику функции в точке с абсциссой х₀